Tema: 4 Los números enteros 1Matemáticas 1º Los números enteros Buena temperatura: + 20 ºC IMAGEN FINAL +20 +10 +7 +8 –7 – 250 0 El submarino navega a.

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2 Tema: 4 Los números enteros 1Matemáticas 1º Los números enteros Buena temperatura: + 20 ºC IMAGEN FINAL +20 +10 +7 +8 –7 – 250 0 El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar Carlos tiene 10 euros Laura debe 8 euros Los números naturales se consideran enteros positivos: Da lo mismo escribir 4 que +4. Por cada entero positivo se añade el correspondiente entero negativo: +12 … –12; 1545...–1545;... –8 Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo – 776 Los números enteros están formados por: enteros positivos, enteros negativos y el cero

3 Tema: 4 Los números enteros 2Matemáticas 1º Representación de los números enteros IMAGEN FINAL 1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0. 2º. A la derecha del 0 se representa el +1. 3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos. 4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros positivos. 4º. A la izquierda del 0 se colocan los enteros negativos. Positivos Negativos Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos: +1 +2 +3 +4 +5+6–1 0–2–3 –4–5

4 Tema: 4 Los números enteros 3Matemáticas 1º Valor absoluto de un número entero IMAGEN FINAL Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso: Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero: +1 +2 +3 +4 +5+6–1 0–2–3 –4–5 –2+2 El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2. Se indica así: Otro ejemplo:

5 Tema: 4 Los números enteros 4Matemáticas 1º Suma de números enteros del mismo signo IMAGEN FINAL 0+1+3+2+4+6+5–2–1 (+2) + (+3) = +(2 + 3) = +5 Para sumar enteros del mismo signo: 1.º Se suman sus valores absolutos. (–2) + (–3) = – (2 + 3) = –5 2.º Al resultado se añade el signo que tienen. +2 +3 –4–3–1–20+2+1–6–5 –2 –3 (+16) + (+14) = +30 (+5) + (+21) + (+7) = +33 (+28) + (+56) = +84 (–35) + (–72) = –107 (–15) + (–81) + (–93) = –189 (–15) = (–8) + (–7) Enteros positivos Observa: Enteros negativos Observa:

6 Tema: 4 Los números enteros 5Matemáticas 1º Suma de números enteros de distinto signo IMAGEN FINAL (+12) + (–9) = +3 Para sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor. (+18) + (–19) = –1 2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. Teresa y Miguel hacen cuentas... Nos han dado 12 euros Y hemos gastado 9 euros Les quedan 3 euros Carola y Pablo también hacen sus cuentas... Nos han dado 18 euros Y hemos gastado 19 euros Deben 1 euro ¿Les queda o deben dinero? (Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto).

7 Tema: 4 Los números enteros 6Matemáticas 1º Suma de varios números enteros IMAGEN FINAL Para sumar varios números enteros: 1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos. 2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido. Otros ejemplos: (+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5 (+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17 Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos. (+100) + (–40) + (–70) + (+50) = = (+150) + (–110) = +40 Veamos un ejemplo: (+100) + (+50) + (–40) + (–70) =

8 Tema: 4 Los números enteros 7Matemáticas 1º Opuesto de un número entero IMAGEN FINAL 4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. 4 = op.(–4) –4 = op. (+4) El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número 86–2–8–6 –7–12712 +1+2+3+4+5+6–10–2–3–4–5–6 Se llaman opuestos. Opuesto del opuesto: op.(–5) = 5 op.(5) = –5 Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos. 2 –5512 a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b)

9 Tema: 4 Los números enteros 8Matemáticas 1º Resta de números enteros IMAGEN FINAL Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. (+9) – (+4) = 9 – 4 = 5 (+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0). (–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8 (–9) – (+4) = –9 + (– 4) = –13(–9) – (–4) = –9 + 4 = –5 Algunos ejemplos: –7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43 Fíjate: 9 – 4 = 9 + op.(4) = 9 + (– 4) = 5 (+9) – (–4) = 9 + 4 = 13 Que es lo mismo que: Otros casos:

10 Tema: 4 Los números enteros 9Matemáticas 1º El uso de paréntesis IMAGEN FINAL Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras: 1º. Haciendo las operaciones del paréntesis. 2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene. 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6 9 – (12 + 3) Vamos a calcular: 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6 2º. También se puede hacer así: 12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8 12 – (10 – 6) Calculamos ahora: 1º. Operando antes el paréntesis: Como ves, sale el mismo resultado. 12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8 2º. También se puede hacer así: Son iguales

11 Tema: 4 Los números enteros 10Matemáticas 1º Multiplicación de números enteros IMAGEN FINAL Cada día gasta 8 euros El producto de dos números enteros es un número entero : (–8) · (–5) = 40 –8 Luís gasta 8 euros cada vez que va a la playa. Si no va en cinco días, ¿cuánto dinero ahorra? Deja de ir a la playa 5 días –5 Ahorra lo que hubiera gastado si hubiera ido: 5 · 8 = 40 euros 40 Un entero positivo por un entero: La multiplicación puede expresarse como una suma: 7 x 8 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 56 5 x (–7) = (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) = –35 –8 x 4 = 4 x (–8) = (–8) + (–8) + (–8) + (–8) = –32 Dos enteros negativos: Positivo cuando los factores tienen el mismo signo. Negativo, si los dos factores son de signo distinto. Su valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

12 Tema: 4 Los números enteros 11Matemáticas 1º Regla de los signos IMAGEN FINAL Hay cuatro posibilidades: Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. Regla de los signos: 1º. Se halla el producto de sus valores absolutos. Observa: 2º. El resultado es positivo (+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo.

13 Tema: 4 Los números enteros 12Matemáticas 1º Producto de varios enteros IMAGEN FINAL Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en el orden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas. Calculamos –4 x 8 x (–3) Observa: –4 x 8 x (–3) = –32 x (–3) = 96 –4 x 8 x (–3) = –4 x (–24) = 96 Luego: Otros ejemplos: –5 x 7 x (–3) = –35 x (–3) = 105 –5 x 7 x (–3) = –5 x (–21) = 105 Se obtiene el mismo resultado 1º. El producto –5 x 7 x (–3) puede hacerse: 2º. 5 x 8 x (–4) x 3 5 x 8 x (–4) x 3 = 40 x (–12) = –440

14 Tema: 4 Los números enteros 13Matemáticas 1º División de números enteros IMAGEN FINAL (+21) : (+7) = + (21 : 7) = 3 Pueden darse cuatro casos: Por tanto, para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. 144 : (–12) = –(144 : 12) = –12 (–48) : (+6) = – (48 : 6) = –8 (–72) : (–8) = + (72 : 8) = 9 Regla de los signos: + : + = + + : – = – – : + = – – : – = + ¿Cuál es el número que multiplicado por –8 es igual a 32?–8 x = 32 ? El número buscado debe ser negativo y de valor absoluto igual a 32 : 8 = 4. Luego el número es –4. Efectivamente –8 x (–4) = 32 El cociente de dos números enteros (dividendo y divisor) es un número : Positivo, si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo. Negativo, si el dividendo y el divisor tienen distinto signo. Su valor absoluto es igual al cociente de los valores absolutos del dividendo y del divisor.

15 Tema: 4 Los números enteros 14Matemáticas 1º Técnicas y estrategias IMAGEN FINAL PROBLEMA La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a 84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números? TANTEA No puede ser, los resultados no coinciden. Suma de los números: 4 + (–7) = –3. Si los números fueran 4 y –7, tendríamos que: Suma de valores absolutos: ELIGE UNA ESTRATEGIA Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo Representamos la situación sobre la recta numérica: 0 – + Un número negativo Sumando positivo Suma de valores absolutos: 84 36 Suman 36 36 Luego 84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo. RESUELVE EL PROBLEMA 84 – 36 = 48; la mitad es 24. 24 será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será – 24. Y el otro número, 24 + 36 = 60 COMPRUEBA – 24 + 60 = 36 Correcto.