@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 6 * 3º ESO E.Ap. Ecuaciones.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 6 * 3º ESO E.Ap. Ecuaciones

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 U.D. 6.1 * 3º ESO E.Ap. Ecuaciones de primer grado

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica ( es verdad) para algunos valores de la variable. EJEMPLOS ¿Para qué valores de x se verifican las ecuaciones siguientes?: x = 3  Solución: Si x = 3 x – 1 = 4  Solución: Si x = 5 2.x + 1 = 5  Solución: Si x = 2 x 2 = 9  Solución: Si x = 3 y si x = – 3 x 3 = – 8  Solución: Si x = – 2 ECUACIONES

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones algebraicas que hay antes y después del signo igual. El de la izquierda se llama primer miembro y el de la derecha segundo miembro. EJEMPLOS ¿Cuál es el primer y segundo miembro de las ecuaciones siguientes?: Ecuación Primer miembro Segundo miembro x + 5 = 3 x + 5 3 – 1 + 2.x = x – 3 – 1 + 2.x x – 3 x 2 – 4 = 0 x 2 – 4 0 ECUACIONES

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 La incógnita de una ecuación es la variable o cantidad desconocida. Una raíz o solución de una ecuación es el valor de la incógnita que verifica la ecuación. Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de la incógnita para los cuales se verifica la ecuación. EJEMPLOS ¿Cuáles son las raíces o soluciones de las ecuaciones siguientes?: 3.x – 3 = 9  Solución: x = 4 x 2 = 4  Solución: x = 2 y si x = – 2 x 3 – 8 = 0  Solución: x = 2 ECUACIONES

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Comprobar una ecuación es sustituir la raíz en la ecuación y comprobar que en el primer miembro se obtiene el mismo resultado que en el segundo. EJEMPLOS ¿Cuáles de los siguientes números: 1, – 2, 3, – 5 son solución de la ecuación siguiente: 2.x – 5 = 3 + 6.x ?: Ecuación Primer miembro Segundo miembro 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.1 – 5 = – 3 3 + 6.1 = 9  El 1 no 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.(– 2) – 5 = – 9 3 + 6.(– 2)= – 9  El – 2 sí 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.3 – 5 = 1 3 + 6.3 = 21  El 3 no 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.(– 5)– 5 = – 15 3 + 6.(– 5) = – 27  El –5 no ECUACIONES

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 ECUACIONES EQUIVALENTES Las ecuaciones de primer grado son aquellas igualdades cuyo EXPONENTE de la incógnita es la unidad. Ejemplos: x + 1 = 2 ; x + y = 3 ; 3.x – 2 = 4 – 5.y Ecuaciones equivalentes son las que tienen la misma solución. Ejemplo: x + 1 = 2 es equivalente a x – 1 = 0 Ejemplo: 2x + 1 = x es equivalente a x = – 1 Ejemplo: 3x – 3 = 27 es equivalente a x = 10 Para resolver una ecuación hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la INCÓGNITA. Ejemplo: x + 1 = 2 es equivalente a x = 1 Eso se llama DESPEJAR.

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 IDENTIDADES Y ECUACIONES IGUALDAD Son dos expresiones numéricas o algebraicas separadas por el signo “=“. IDENTIDADES Son las igualdades entre expresiones numéricas o algebraicas que SIEMPRE son ciertas para cualquier valor de las variables. Ejemplos: 4 = 4 ; x = x ; x 2 – 1 = (x + 1).(x – 1) ECUACIONES Son las igualdades de expresiones algebraicas que SOLAMENTE son ciertas para algunos valores de las letras. Ejemplos: x = 5, sólo es cierto si x = 5 x – 2 = 5, sólo es cierto si x = 7 x 2 = 4, sólo es cierto si x = 2 o si x = - 2

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Soluciones y tipos de ecuaciones TIPOS DE ECUACIONES POR SU SOLUCIÖN Si hay solución o soluciones se llaman ECUACIONES COMPATIBLES. Si no hay solución se llaman ECUACIONES INCOMPATIBLES. EJEMPLOS DE ECUACIONES INCOMPATIBLES x = x + 1 No existe ningún número REAL que cumpla la igualdad. x 2 = - 4 No existe ningún número REAL que cumpla la igualdad. EJEMPLOS DE ECUACIONES COMPATIBLES x + 1 = 3 Si x = 2 entonces y sólo entonces se cumple la igualdad. x 2 = 4 Si x = 2 o x = - 2 se cumple la igualdad. √ x = 2 Si x = 4 entonces y sólo entonces se cumple la igualdad.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE ALGEBRAICO A ECUACIÓN “Hace cinco años tenía 20 años” Si x es la edad actual: x – 5 = 20 “Dentro de siete años tendré 34 años” Si x es la edad actual: x + 7 = 34 “Hace tres años tenía la mitad que ahora” Si x es la edad actual: x – 3 = x / 2 “Dentro de cinco años tendré el doble que hace tres años” Si x es la edad actual: x + 5 = 2.( x – 3 ) Lenguaje algebraico

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 Observar bien el siguiente ejemplo. Son cuatro frases muy semejantes que dan lugar a cuatro ecuaciones muy diferentes. Ojo con los detalles para resolver problemas de álgebra. “El cuadrado de la mitad de un número, más cinco” Si x es el número: (x / 2) 2 + 5 “El cuadrado de la mitad de la suma de un número más cinco” Si x es el número: [(x + 5) / 2) 2 “La suma del cuadrado de la mitad de un número más cinco” Si x es el número: (x / 2) 2 + 5 “La suma de la mitad del cuadrado de un número más cinco” Si x es el número: [ x 2 / 2 ] + 5 Algunas claves de lenguaje

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Hay que seguir los siguientes pasos: 1.Si hay denominadores se halla el mcm y se eliminan éstos. 2.Si hay paréntesis se suprime aplicando la propiedad distributiva. Si delante de un paréntesis hay el signo “-” se cambia todo de signo. 3.Se traspasan los términos que contienen parte literal a un lado de la igualdad y los términos constantes al otro. (Se aplica la Regla de la Suma). 4.-Se reducen términos semejantes. 5.Se despeja la incógnita. (Se aplica la Regla del Producto). NOTA: Es muy importante el ORDEN en el proceso a seguir.