Clase 2 Autor: M.A.R.F - 2011- Salta1. 2 Introducción En esta etapa veremos teoremas y funciones especiales que emplearemos en el desarrollo de los cálculos.

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1 Clase 2 Autor: M.A.R.F - 2011- Salta1

2 2 Introducción En esta etapa veremos teoremas y funciones especiales que emplearemos en el desarrollo de los cálculos de las variables eléctricas. Es imprescindible conocer el Teorema de Pitágoras y las Funciones Trigonométricas básicas, siendo la vedette el coseno phi, llamado factor de potencia. Veremos representaciones vectoriales y sus operaciones para comprender los triángulos de potencia o energía (Activas, reactivas y aparente. Si no profundizamos en estos temas difícilmente comprenderán como corregir el factor de potencia, o calcular la energía que deberá entregar un grupo electrógeno para nuestros consumos, entre otros temas de nuestras tareas cotidianas. Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta

3 3 Repetimos la Metodología: Se enviaran por correo electrónico en forma semanal, el contenido de las clases que incluirán conceptos, definiciones, ejercicios, etc; e incluirán trabajos prácticos. Estos trabajos deberán ser completados en el transcurso de la semana y se autoevaluaran con los resultados que recibirán antes de comenzar la clase siguiente. Para realizar consultas utilizaremos la red social Facebook con la dirección se AIEAS SALTA, para lo que tendrás que abrir una cuenta o si la tienes solicitar “amistad” para ingresar en el foro de grupo “Curso WEB”. Las consultas en tiempo real podrán hacerse los días lunes y jueves de 21:30 a 24hrs. (este horario podrá modificarse informándose con antelación). No obstante las consultas podrán enviarse en cualquier momento por modo “mensaje de facebook a “Curso WEB” y serán contestadas dentro de las 48hrs. Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta

4 Curso de Nivelación Contenido del primer modulo Cálculos Eléctricos Nociones básicas de la matemáticas: potencia, radicación. Operación con fracciones, Teorema de Pitágoras. Trigonometría. Ejes cartesianos. Representaciones graficas. Vectores. Ejercicio 4 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta

5 Objetivos: Aplicar teoremas para la resolución de los cálculos eléctricos. Comprender el uso delas funciones trigonométricas. Resolver sistemas de vectores que representaran luego a Tensiones, intensidades, potencio y energías. Entender sobre representaciones gráficas, para comprender fenómenos eléctricos como por ejemplo la generación de energía. Curso Nivel 1 Cálculos Eléctricos 5 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta

6 Clase 1 Conocimientos básicos de matemáticas Se desarrollaran temas básicos que luego serán aplicados para el desarrollo de los cálculos eléctricos. En este curso se registraron electricistas, técnicos, docentes, e Ingenieros, los que representa distintos niveles de conocimiento, pero debemos nivelar de abajo hacia arriba, así es que el contenido de estas clases y las posteriores tendrán en cuenta esos conocimientos básicos. 6 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta

7 Pitágoras Teorema de Pitágoras: Sea un triangulo rectángulo ABC, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos 7 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta b a h Para que nos sirve esta ecuación? Como veremos y justificaremos mas adelante, en un instalación tradicional, vivienda por ejemplo, el consumo de energía estará representado por tres vectores: Energía Activa (Ea) energía reactiva (Er) y energía aparente (Eap) que se representa: (ver grafico en pagina siguiente) La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.hipotenusa El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo.cateto opuesto El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo cateto adyacente h 2 = a 2 + b 2 90º

8 8 Ea Er Epa Estamos en presencia de un triángulo rectángulo por lo que nos permitiremos aplicar el teorema de Pitágoras, armando la ecuación siguiente: Eap 2 = Ea 2 + Er 2 (1) Pitágoras Mas Adelante justificaremos como determinamos las posiciones de los vectores y sus valores. Nos importa ver ahora cual es la aplicación de la ecuación del Teorema de Pitágoras. Como ya vimos en la clase anterior, dada una igualdad podemos determinar el valor de uno de los términos, conociendo los otros. En una factura de luz actual, por ejemplo la de Edesa en Salta, se indica los valores de Energía Activa (Ea) energía reactiva (Er), lo que nos permitiría con la ecuación (1) determinar la Energía aparente de nuestra instalación : Eap = Ea 2 + Er 2 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta

9 Autor: M.A.R.F - 2011- Salta99 4 3 5 Otra aplicación habitual en las obras, y aplicadas por los “maestros”, es el de trazar perpendiculares utilizando reglas o simplemente el “metro”. Marcan 4 mts sobre el muro, luego apoyan en A una medida de 5mts y en B otra de 3 mts. Giran ambas tomando los centros en A y B respectivamente, hasta que se encuentran en C. Han determinado así un triangulo rectángulo, y encontrado la perpendicularidad al muro perfecta BC. Verifiquemos 5 2 = = 4 2 + 3 2 25 = 16 + 9 25 = 25 Pitágoras Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta A B C

10 Autor: M.A.R.F - 2011- Salta10 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Trigonometría Se preguntaran para que vemos este tema? Tengan paciencia y lo profundicemos ahora: La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria(de radio unidad).triángulo rectángulocircunferencia unitaria

11 11 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Definiciones respecto de un triángulo rectángulo Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo.triángulo rectángulo Trigonometría sen  Hipotenusa opuesto h a  cos  Hipotenusa adyacente h b  tg  adyacente opuesto b a 

12 12 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Repetimos: Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos  de 0 a 90º: El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: Trigonometría El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: El valor de estas relaciones no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes. sen  Hipotenusa opuesto cos  Hipotenusa adyacente tg  adyacente opuesto h a  h b  b a 

13 Autor: M.A.R.F - 2011- Salta13 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Ejes Cartesianos Ortogonales Dos ejes perpendiculares entre si se cortan en el puno O, llamado Origen. El eje “x” se llana de abscisas y el “y” de ordenadas. Se determinas cuatro zonas llamadas cuadrantes. Cualquier punto en los cuadrantes se ubicaran por sus coordenadas que corresponden a la distancia desde 0 hasta la proyección del punto sobre ambos ejes, Asi, A se podrá ubicar con las coordenadas (a, b). Los valores de abscisas a la derecha del origen serán positivos, y los valores a la izquierda negativos. Los valores de ordenadas hacia arriba del origen serán positivos, hacia abajo de “0” negativos. Las unidades de x e y pueden ser iguales o distintas. Por ejemplo en las ordenadas podemos representar valores de tensión continua de una batería 1,5v, y en las abscisas el tiempo de duración de carga, en horas (línea en azul).

14 14 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Trigonometría: F 1 sen  Hipotenusa opuesto AB BC   1  Representación en coordenadas cartesianas: Los ejes cartesianos están formados por las rectas: OF o ordenada OE ó abscisa, que se cortan en el punto 0, llamado Origen de las coordenadas. Un círculo de radio unitario (radio = 1, se muestra solo un sector) corta a la recta AB en B. Se puede graficar entonces el triangulo rectángulo ABC. Quedo formado el ángulo . Aplicando las funciones trigonométricas nos queda: Coordenadas rectangulares

15 15 Trigonometría cos  Hipotenusa adyacente AB AC   1  Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta tg  adyacente opuesto AC BC  sen  cos  F 1 sen  Entonces en un triangulo rectángulo cuya hipotenusa tenga el valor de la unidad (1), el seno del ángulo   corresponderá al modulo del lado BC. De la misma manera en coseno del ángulo  corresponderá al modulo del lado AC  D

16 16 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Trigonometría + Pitágoras cos  sen  1 90º  En este triangulo rectángulo muy particular con hipotenusa igual a la unidad, podemos deducir unas de las principales relaciones de la trigonometría, útil en nuestro estudio: Aplicando el Teorema de Pitágoras: 1 2 = sen 2  cos 2  ó sen 2  cos 2  = 1 Relación Pitagórica Nota: Una propiedad importante de los triángulos es que la suma de los ángulos interiores es igual a 180ª Así en nuestro triangulo rectángulo:  +90º = 180º 

17 17 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Trigonometría Volviendo a la representación en coordenadas cartesianas, podemos determinar los valores que van tomado las funciones seno y coseno del ángulo de rotación de un vector de longitud equivalente a la unidad. En el 1º cuadrante el triangulo A0B con al ángulo  tendrá un valor de seno positivo (+). Lo mismo ocurre para el 2º cuadrante. Si tomamos la hipotenusa cono un vector que gira con centro en “0”, vemos que en los primeros 180º el valor del seno varia de 0 a 1 y concluye en 0. En el 3º y 4º cuadrante, el valor del seno toma valores negativos, también desde 0 a -1 y vuelve a 0. Podemos representar esta variación de la función sen  en otros ejes tomando en las ordenadas el valor del “sen  “ entre +1 y -1 y en las abscisas el ángulo  ver a continuación) Nota; conociendo el valor del seno o coseno de un Angulo, podemos encontrar su valor con las funciones:  = arc sen n o  = arc cos n (n valor de seno o coseno resp.) También puede encontrarse la notación  = sen -1 n o  = cos -1 n

18 18 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Trigonometría Mas adelante demostraremos que la corriente alterna, al ser generada por un movimiento de rotación de una bobina en un campo magnético, la fem generada variara según la función sen 

19 19 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Resumen de trigonometría y Pitágoras

20 Autor: M.A.R.F - 2011- Salta20 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Conceptos sobre ángulos

21 21 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Curso de Nivelación Trabajo Practico 3 A) B)C) D)D) E)E) F)

22 22 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Vectores Punto de aplicación Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano. Algunos ejemplos de mangitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también, eldesplazamiento de un objeto. La fuerza, el campo eléctrico y magnético, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección.mangitudes físicasvelocidadfuerzadesplazamientofuerzacampo eléctrico Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido Un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).magnitud físicamódulolongitudorientación

23 23 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Composición grafica de vectores V1 V2 V1 V2 Dos vectores aplicado en el punto 0, se sumaran vectorialmente obteniéndose una resultante R cuya dirección y sentido estará determinado por el proceso grafico siguiente: Trasladar V2 haciendo coincidir su inicio con el extremo de V1. Para determinar la Resultante unir el inicio de V1 con el extremo de V2 obteniéndose la magnitud, dirección y sentido de R. De la misma manera podemos pensar que teniendo el vector R lo podemos descomponer en dos vectores conociendo las direcciones de estos. Un ejemplo practico es el que vemos en la diapositiva siguiente, aprovechando nuestros conocimientos de trigonometría y Pitágoras 0 0 R A

24 24 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Descomposición de un vector Dado el vector V1, que forma un ángulo  con la horizontal, podemos descomponerlo en dos vectores Vx y Vy como se ve en el grafico. Como vemos hemos formado un triangulo rectángulo por que es aplicable las funciones trigonométricas ya estudiadas y el teorema de Pitágoras: El modulo o magnitud del vector se puede determinar por: V = Vy 2 + Vx 2 Vy = V * sen  Vx = V * cos  Los valores obtenidos corresponden a las magnitudes o medidas. La dirección y sentido las determinamos gráficamente

25 25 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Composición de un vector

26 26 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Composición de vectores

27 27 Matricula de AIEAS Nª 237/2012 Autor: M.A.R.F - 2013- Salta Curso de Nivelación Trabajo Practico 4