1 UNIDAD 6: TEORÍA GENERAL DEL INTERÉS.  6.1. Teoría General del Interés: El fenómeno de la capitalización. La tasa instantánea de interés. Fórmula general.

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1 1 UNIDAD 6: TEORÍA GENERAL DEL INTERÉS.  6.1. Teoría General del Interés: El fenómeno de la capitalización. La tasa instantánea de interés. Fórmula general de la capitalización. 6.2. Factor logarítmico de capitalización: Hipótesis sobre la ley de variación. Condición General. Distintas hipótesis: a) Proporcional al tiempo; b) Proporcional al cuadrado del tiempo; c) De tipo logarítmica. 6.3. La tasa instantánea en el interés simple y en el interés compuesto. 6.4. Aplicaciones en operaciones simples y complejas

2 2 OPERACIONES FINANCIERAS  O.F.: cálculo variación del C en el tiempo se realiza al final del plazo.  El fenómeno pertenece al campo continuo.  La variación es siempre exponencial.  Ecuaciones de valor que vinculan al capital con sus variaciones en el tiempo buscando una Fórmula General del Monto en el campo continuo.

3 3 FUNCIONES  y= 5x+8; y = f(x)  x= variable independiente  y = variable dependiente  Interés: y= 1000*0.02*t  INCREMENTO DE LAS VARIABLES: Diferencia entre un valor inicial y otro valor de una variable.

4 4 Incremento de las variables: y= 1000*0.02*t  t=0 y= f(t)= 0  t=1 y+ y = f(t+1)= 20  t=1 y= f(t)= 20 y= f(t)=f(t+t)- f(t) Relación entre incrementos: y/ t= f(t)/ t= Cociente incremental Por cada unidad de t incrementada la funciónn crece 20 unidades

5 5 DERIVADA DE UNA FUNCION: Límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente t(= t) tiende a cero. y=f(x)=2x 2 +3x y+ y=f(x+ x)=2(x+ x) 2 +3(x+ x)= 2(x 2 +2x x+ x 2 )+3x+3x y= f(x)= 2x 2 +4x x+2 x 2 +3x+3x- 2x 2 -3x= 4x x+2 x 2 + 3x y/ x= 4x x+2 x 2 + 3x/ x= 4x +2 x+ 3 La derivada será el límite anterior cuando el incremento de la variable independiente (x) tiende a cero. f’(x)=lim 4x +2 x+ 3 = 4x+ 3 x tiende a 0

6 6 TEORIA GENERAL DEL INTERES:  Las O.F. son discontinuas pero el devengamiento de los intereses continuos.  El capital es una función dependiente de la variable independiente tiempo.  Suponiendo que la función es continua se trata de hallar una expresión genérica para todos los regímenes de capitalización que permita formular hipótesis de crecimiento.

7 7 ANALISIS DE LA FUNCION MONTO Y DE LA TASA DE CRECIMIENTO DE LA MISMA  El Monto es la suma de un Capital Inicial más los Intereses que se generan en un determinado plazo. Dado un Capital y una Tasa de interés el monto es una función del tiempo (varía el tiempo y varía el monto).  TASA DE INTERÉS: es el interés producido en una unidad de tiempo por una unidad de capital.  TASA INSTANTÁNEA DE INTERÉS: es el interés producido en una unidad de tiempo por una unidad de capital, en función del interés producido en un instante, suponiendo que el interés para cada instante permanece constante en todo el período.  Un instante equivale a decir que el incremento de la variable tiempo es tan pequeño que tiende a 0 y que la tasa de interés no es otra cosa que la relación de crecimiento de la variable dependiente (Monto) respecto de la variable independiente (tiempo), todo lo cual nos lleva al concepto de derivada de la función monto.

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9 9 DERIVADA DE LA FUNCION MONTO Para un tiempo genérico t el monto será : f(t) (capital inicial del período) Para un tiempo incrementado t+t, el monto será : f(t+t) (monto al final del período) La diferencia entre ambos valores será el interés producido en el intervalo t, o sea el incremento de la función monto : f(t) 1)Incremento de la Función: f(t) = f(t+t) - f(t) Interés producido por el capital f(t), en el intervalo de amplitud t.

10 10 2) Cociente Incremental: Interés producido por el capital f(t) en una unidad de tiempo 3) Si dividimos por el capital f(t) nos queda: Que es equivalente al Interés en una unidad de tiempo por una unidad de capital, o sea la tasa de interés.

11 11 TASA INSTANTANEA requiere llevar al límite la expresión anterior, para el incremento t igual a un instante, es decir tendiendo a cero. Llamando  (t) a la tasa instantánea, y utilizando los símbolos indicados para expresar la derivada de una función, queda:

12 12 TASA INSTANTANEA: la derivada de la función dividida por la función, se puede expresar en forma equivalente como la derivada del logaritmo natural de la función.

13 13 EJEMPLOS:  Monto a Interés Simple f(t) = f(0) (1+ it)  Valor Nominal en el Descuento comercial f(t) = f(0)/(1- i t)  Monto a Interés compuesto f(t) = f(0) (1+ i)^t

14 14 Tasa Instantánea en el Interés Simple: La derivada de la función, donde f(0) es una constante y (1+ it) es una función suma. La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función. La derivada de la función suma es igual a la suma de las derivadas de los sumandos. El primer sumando es la constante 1 y la derivada de una constante es igual a 0. El segundo sumando es el producto de la constante i por la variable t, e igual a i por la derivada de t. La derivada de una variable en este caso t, es igual a 1, resulta que la derivada de (1+it) = (0 + i.1) = i

15 15 Tasa Instantánea en el Interés Simple: La tasa instantánea hallada indica que con el método del interés simple, el monto crece a tasa decreciente en relación con el tiempo.

16 16 Tasa Instantánea en el Descuento Comercial:

17 17 Tasa Instantánea en el Interés Compuesto La derivada de - donde f(0) es una constante y (1+i)t es la función exponencial - es igual a f(0)(1+i)t por el logaritmo natural de (1+i)

18 18 Tasa Instantánea en el Interés Compuesto  (t) no está en función del tiempo, lo cual indica que el monto, cuando se aplica el método de interés compuesto, crece a una tasa constante en relación con el tiempo.

19 19 FORMULA GENERAL DE LA FUNCION MONTO

20 20 FORMULA GENERAL DE LA FUNCION MONTO

21 21 Factor logarítmico de capitalización: Hipótesis sobre la ley de variación. Condición General.  Estableciendo leyes de variaciones para el factor logarítmico de capitalización se pueden lograr expresiones particulares que correspondan a cada régimen de capitalización o forma de crecimiento.  Se excluyen las hipótesis que NO anulen en valor del factor para t=0.El capital inicial debe ser igual a si mismo.

22 22 APLICACIONES DE LA CAPITALIZACION CONTINUA EN OPERACIONES SIMPLES 1.1. MONTO EN OPERACIONES A INTERES SIMPLE: a) En el Campo Continuo (tasa instantánea es igual a i/(1+i)) Si tenemos un capital de $ 50.000 colocado al 8% anual a 90 días: f(t) =5000*2,7182818^ln(1+0,08*90/365)= 5.098,63 Igual resultado se obtiene hallando previamente la tasa efectiva=0,08244372 anual, con la fórmula del Monto a Interés Compuesto.

23 23 b) En el campo discreto M=C(1+in) M=5000(1+0,08*90/365)=5.098,63 2) EN OPERACIONES A INTERES COMPUESTO a) En el campo continuo

24 24 2) EN OPERACIONES A INTERES COMPUESTO a) En el campo discreto

25 25 OPERACIONES FINANCIERAS COMPLEJAS EN EL CAMPO CONTINUO La valuación de un flujo de fondos -constante o variable- en el campo contínuo, se realiza siguiendo el mismo criterio aplicado al campo discreto. La diferencia radica en los factores de capitalización y actualización que serán:

26 26 1.- Valor Final de rentas vencidas en general

27 27 2.- Valor Final de rentas constantes vencidas a interés compuesto

28 28 3.- Valor Final de Rentas Variables en Progresión Aritmética

29 29 4.- Valor Final de Rentas Variables en Progresión Geométrica