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@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES Bloque I * Tema 032.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES Bloque I * Tema 032

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical de puntos. A continuación se procede a efectuar sobre las filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de A. Es decir: (A | I) las mismas operaciones en ambas ( I | A – 1 ) Recordando cálculo matriz inversa

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 MATRIZ INVERSA Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij). Si tenemos una matriz tal que det (A) <> 0, se verifica: Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 Ejemplo 1 Realizado por Gauss-Jordan: Dada la matriz de orden 2: A =, la inversa es A = 5 6 5/2 -3/2 Veamos por determinantes: |A|= 3.6 – 4.5 = 18 – 20 = – 2 <> 0 La matriz es inversible, pues |A|<>0 La matriz de los adjuntos será: 6 -5 t 6 -4 [Adj(A)] =, la traspuesta será [Adj(A)] = Luego la matriz inversa es: 6/(-2) -4/(-2) -3 2 = = -5/(-2) 3/(-2) 5/2 -3/2

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Ejemplo 2 Realizado por Gauss-Jordan: Dada la matriz de orden 3: /33 -6/11-1/11 A = , su inversa es A = 7/44 9/22 3/ /12 1/2 1/4 Veamos por determinantes: |A|= 18 – = 46 <> 0 La matriz es inversible, pues |A|<>0 La matriz de los adjuntos será: t [Adj(A)] = , la traspuesta será [Adj(A)] = Luego la matriz inversa es: 6/46 -24/46 -4/46 = -7/46 18/46 3/46 -5/46 5/46 5/46

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 Ejemplo 3 Dada la matriz de orden 3: A = , hallar su inversa y comprobarlo Veamos por determinantes: |A|= 2 <> 0 La matriz es inversible, pues |A|<>0 La matriz de los adjuntos será: t [Adj(A)] = , la traspuesta será [Adj(A)] = Luego la matriz inversa es: = 0 1 ½ ½


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