OPTIMIZACIÓN PARA TODOS MATEMÁTICA  Conceptos básicos

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1 OPTIMIZACIÓN PARA TODOS MATEMÁTICA  Conceptos básicos
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL  Conceptos básicos  Problemas resueltos  Problemas propuestos MATEMÁTICA PARA TODOS UNIVERSIMAT 1.5

2  Conceptos básicos 2 TEOREMA DE WEIERSTRASS Si y = f(x) es una función continua en [a, b], entonces alcanza en este intervalo sus valores máximo y mínimo (ilustración a la derecha). OBSERVACIÓN 1 El sentido geométrico del teorema de Weierstrass es que la parte de la gráfica de y = f(x) en [a, b] tiene un punto más alto que los demás (el punto (x1, f(x1)) en la figura), que corresponde al máximo, y un punto más bajo que todos los demás, que corresponde al mínimo (el punto (x0, f(x0)) en la figura).

3 Conceptos básicos 3 OBSERVACIÓN 2 Al valor mínimo de y = f(x) se le llama mínimo de la función. En la función representada en la figura el mínimo es f(x0). Al valor máximo de y = f(x) se le llama máximo de la le llama máximo de la función. En la función representada en la figura el máximo es f(x1). En general, se dice que el máximo y el mínimo son los extremos de la función. Los extremos de la función representada en la figura son los números f(x1) y f(x0).

4 Conceptos básicos 4 OBSERVACIÓN 3 Al número x donde y = f(x) toma el máximo se le llama punto de máximo de la función. Es el punto x1 en la figura. Al número x donde y = f(x) alcanza el mínimo se le alcanza el mínimo se le llama punto de mínimo de la función. Es el punto x0 en la figura. A los puntos de máximo y a los puntos de mínimo en el intervalo [a, b], se les llama genéricamente puntos de extremo. En la figura, los puntos de extremo son x1 y x0.

5 Conceptos básicos 5 OBSERVACIÓN 4 Aunque el máximo es único, puede suceder que haya más de un punto de máximo para una función dada. Por ejemplo, el máximo de f(x) = sen x es igual a 1, que es el valor que esta función toma en cada número de la forma x=2k+ 2 (k entero). En [0, 3] hay dos puntos de máximo: Cabe una posibilidad similar con respecto al mínimo. ¿Puedes indicar un ejemplo?

6 Conceptos básicos 6 IMPORTANTE Los puntos de extremo de una función y = f(x), que es continua en un intervalo cerrado [a, b], se buscan entre los números:  Los extremos a y b de [a, b]. OBSERVACIÓN 5 Para una función monótona en [a, b], creciente (como en la figura) o decreciente, los extremos a y b son los puntos de extremo. Si es creciente, f(a) es el mínimo y f(b) el máximo. Si es decreciente, entonces f(a) es el máximo y f(b) es el mínimo. Que a y b sean los puntos de extremo puede ocurrir para funciones no monótonas en [a, b].

7 Conceptos básicos 7 IMPORTANTE Los puntos de extremo de una función y = f(x), que es continua en un intervalo cerrado [a, b], se buscan entre los números: Los extremos a y b de [a, b].  Los ceros de f '(x) en (a, b). OBSERVACIÓN 6 En la la figura, los puntos x0 y x1 (de mínimo y máximo) son ceros de f '(x). Hay otros dos ceros de la derivada f '(x) en [a, b]. ¿Puedes ubicarlos?

8 8 IMPORTANTE Los extremos a y b de [a, b].
Conceptos básicos 8 IMPORTANTE Los puntos de extremo de una función y = f(x), que es continua en un intervalo cerrado [a, b], se buscan entre los números: Los extremos a y b de [a, b]. Los ceros de f '(x) en (a, b).  Los puntos en (a, b) donde no existe f '(x). OBSERVACIÓN 7 En la la figura, en el punto x0 (es el punto de mínimo) no existe la derivada f '(x). El máximo se alcanza en el extremo derecho b.

9 9 IMPORTANTE Se determinan los números siguientes:
Conceptos básicos 9 IMPORTANTE Se determinan los números siguientes: 1. Los extremos a y b de [a, b]. 2. Los ceros de f '(x) en (a, b). 3. Los puntos en (a, b) donde no existe f '(x). Se calculan los valores de y = f(x) en cada uno de ellos: El mayor de los valores de la función es su máximo en el intervalo [a, b]. El menor de los valores de la función es su mínimo en el intervalo [a, b].

10 Conceptos básicos 10 EJEMPLOS 1. Determinar los extremos de la función f(x) = x3– 3x en [–2, 2]. Solución La derivada de la función es f '(x) = 3x2 – 3. De 3x2 – 3 = 0, se tienen los puntos estacionarios x = –1 y x = 1, ambos en (–2, 2). Como f '(x) = 3x2 – 3 existe en todo R, entonces los extremos de f(x) = x3– 3x en [–2, 2] se buscan entre los números: Los extremos –2 y 2 de [–2, 2] y los ceros de f '(x): x = –1 y x = 1. Los valores de f(x) = x3– 3x en estos números son: f(–2) = –2; f(–1) = 2; f(1) = –2; f(2) = 2. El máximo de f(x) = x3– 3x en [–2, 2] es igual a 2 y se alcanza en x = –1 y x = 2. El mínimo de f(x) = x3– 3x en [–2, 2] es igual a – 2 y se alcanza en x = –2 y x = 1.

11 11 EJEMPLOS Solución El máximo se alcanza en x = 2.
Conceptos básicos 11 EJEMPLOS 2. Determinar los extremos de la función f(x) = x3– 3 en [–1, 2]. Solución La derivada de la función es , que no se anula en ningún valor de x. Esta derivada no existe en x = 0, de manera que los extremos de la función se alcanzan entre este número y los extremos –1 y 2 del intervalo [–1, 2]. Los valores de en cada uno de ellos son: f(–1) =1; f(0) = 0; f(2) = El máximo se alcanza en x = 2. El mínimo 0 se alcanza en x = 0.

12 12  Problemas resueltos 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 PROBLEMA 1
Determinar los dos números positivos tales que su suma es 24 y es máximo el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro. PROBLEMA 3 Determinar el radio de la base y la altura del cono circular recto de volumen máximo cuya generatriz tiene longitud d. PROBLEMA 2 Inscribir en una elipse de semiejes a y b un rectángulo de área máxima. PROBLEMA 4 Un triángulo tiene dos vértices en los puntos A(0, 8) y B(9, 4). El otro vértice C debe elegirse en el eje x de manera que sea mínima la longitud de la poligonal ACB. PROBLEMA 5 A una distancia x (en km) de un foco contaminante, la contaminación está dada por la función f(x) = pe–kx, donde p es la cantidad de sustancia emitida y k > 0 es una constante experimental propia de cada sustancia. Dos fábricas, situadas a 12 km una de la otra, emiten cantidades p y q de la misma sustancia, respectivamente. Suponiendo que p = 4q y k = 1, determinar el punto situado entre las fábricas, y alineado con ellas, donde es menor la contaminación. ¿En qué relación deben estar las cantidades p y q para que el punto de menor contaminación esté a igual distancia de ambas fábricas?

13 13 Problemas resueltos 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 PROBLEMA 7
Inscribir en la región limitada entre la gráfica de f(x) = sen x y el eje x, en el intervalo [0, ], el trapecio isósceles de mayor área. PROBLEM 6 We construct a rectangular box by cutting out a square sheet of tin with side b, equal squares in the corners and by bending them. How should we construct the box in order to ensure maximun capacity? PROBLEM 8 Suppose that an electric bulb can move along the vertical straight line OB. At what distance from the horizontal plane OA is it to be located in order that the maximum illumination is obtained at the point A of this plane? Hint: The illumination J is proportional to sen  and inversely proportional to the square of the distance r = AB: J = C sen /r2 , where C is independent of the power of the light of the bulb. PROBLEM 9 A log with circular cross–section of diameter d is given. It is required to cut it in such a way that a beam of rectangular cross–section is obtained with the maximum strength. Hint: The strength of rectangular beam is proportional to the product bh2, where b is the base of the rectangle and h is its height.

14 Determinar los dos números positivos tales que
Problemas resueltos 14 PROBLEMA 1 Determinar los dos números positivos tales que su suma es 24 y es máximo el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro. En x + y = 24 se despeja x = 24 – y y se sustituye en P = xy2 para obtener P( y) = (24 – y)y2, donde y  [0, 24], aunque y no toma los valores 0 y 24. ¿Por qué? Para determinar el punto de extremo [es de máximo porque P(0) = P(24) = 0 y P(y) > 0 en (0, 24)] se tiene que calcular la primera derivada, que es: ¿Cómo expresar el producto P = xy2 en función de una variable? ¿Qué se conoce sobre estos números? ¿Qué se quiere cumplan estos números? ¿Cuántos números hay que determinar? De la ecuación P'( y) = 0 se sigue que 3y2 + 48y = 0, de donde se obtiene y = 16. El punto y = 0 se descarta por no ser positivo (también puede observarse que proporciona valor cero al producto P( y) = (24 – y)y2). SOLUCIÓN PE: y = 0 (no); y = 16 (sí) x: uno de los números y: el otro número y = 16 es punto de máximo porque P"(6) = 12 > 0 Al evaluar P"( y) = 6y + 48 en y = 16 se obtiene que P"(6) =  = 12 > 0, lo que confirma que y = 16 es el punto de máximo. Positivos x + y = 24 RESPUESTA: El máximo del producto del número x por el cuadrado de y, si x + y = 24, se obtiene con y = 16 y x = 8. El producto máximo es el valor que resulta de P = xy2 al evaluar en estos números: Pmáx = 8(16)2 = Maximizar P = xy2 P( y) = (24 – y)y2, y  [0, 24] P'( y) = 3y2 + 48y

15 De los análisis realizados se concluye que:
Problemas resueltos 15 x y PROBLEMA 2 Inscribir en una elipse de semiejes a y b un rectángulo de área máxima. (x, y) SOLUCIÓN RESPUESTA: El máximo para el área del rectángulo inscrito en la elipse de semiejes a y b es igual a 2ab, valor que toma A(x) en el punto de máximo Los lados tienen longitudes 2x0 y 2y0, donde se obtiene al sustituir x0 en A = 4xy De los análisis realizados se concluye que: Los valores admisibles de la variable x forman el intervalo [0, a]. Como A(0) = A(a) = 0 y A(x) > 0, x (0, a), se sigue que existe x0 (0, a) tal que el máximo del área es A(x0). Se define un sistema de coordenadas con origen en el centro de la elipse. Se dibuja una elipse y se inscribe en ella un rectángulo. Hay que determinar uno de los vértices del rectángulo. Los demás se obtienen por simetría. El área del rectángulo inscrito es 4 veces el área xy del rectángulo que tiene vértices opuestos en el origen (0, 0) y en (x, y): A = 4xy, donde x: abscisa de (x, y) y: ordenada de (x, y) Para expresar el área A = 4xy en función de una variable hay que escribir la ecuación de la elipse a la que pertenece (x, y). (x, y) pertenece a la elipse de ecuación Se despeja y: y se sustituye en A = 4xy. El área del rectángulo inscrito es 4 veces el área xy del rectángulo que tiene vértices opuestos en el origen (0, 0) y en (x, y): A = 4xy, donde x: abscisa de (x, y) y: ordenada de (x, y) Para expresar el área A = 4xy en función de una variable hay que escribir la ecuación de la elipse a la que pertenece (x, y). Se define un sistema de coordenadas con origen en el centro de la elipse. Se dibuja una elipse y se inscribe en ella un rectángulo. Hay que determinar uno de los vértices del rectángulo. Los demás se obtienen por simetría. Igualando la derivada a cero y resolviendo la ecuación que resulta, se obtiene el punto estacionario siguiente: , x[0, a] Para determinar el punto x0, donde la función A(x) alcanza su máximo, se calcula su derivada, que es: proporciona el máximo valor para el área A(x).

16 Como figura de análisis se podría utilizar una vista lateral
Problemas resueltos 16 PROBLEMA 3 Determinar el radio de la base y la altura del cono circular recto de volumen máximo cuya generatriz tiene longitud d. RESPUESTA: Para obtener el cono con volumen máximo se toma la altura y el radio , donde r0 se determina sustituyendo h0 en la ecuación r2 + h2 = d2. El volumen máximo es: SOLUCIÓN Como la derivada segunda es negativa para todo h > 0; se infiere que h0 es un punto de máximo. Observación: Como figura de análisis se podría utilizar una vista lateral El volumen de un cono es 1/3 del producto del área de la base por la altura V se expresa en función de una variable aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo OAB, recto en O: r2 + h2 = d2, de donde r2 = d2 – h2, que se sustituye en la expresión de V, para obtener: Se calcula la derivada segunda: O B A h r d Es necesaria una figura de análisis La derivada de V es: Igualando la derivada a cero y resolviendo la ecuación que resulta, se obtiene el único punto estacionario:

17 (x está entre 0 y 9) siguiente:
Problemas resueltos 17 PROBLEMA 4 Un triángulo tiene dos vértices en los puntos A(0, 8) y B(9, 4). El otro vértice C debe elegirse en el eje x de manera que sea mínima la longitud de la poligonal ACB. SOLUCIÓN x y B(9, 4) A(0, 8) C(x, 0) O D d(A, C) es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo con vértices en A(0, 8), O(0, 0) y C(x, 0). Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene: La suma de estas dos distancias es la expresión de la longitud de la línea poligonal ACB, dada por la función de la abscisa x (x está entre 0 y 9) siguiente: La longitud de la poligonal ACB es la suma de la longitud d(A, C), del segmento AC, con la longitud d(C, B), de CB. d(C, B) es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo con vértices en C(x, 0), D(9, 0) y B(9, 4). Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene: En un sistema de coordenadas se representan los puntos dados A y B, así como el punto por determinar C. La derivada de f(x) está dada por la siguiente expresión: El punto estacionario es x = 6, y es de mínimo, porque f '(x) cambia su signo de – a + al pasar x por 6. Igualando la derivada a cero y resolviendo la ecuación que resulta, se obtiene que: RESPUESTA: La longitud mínima de la línea poligonal ACB se logra tomando en el eje de las x el punto C(6, 0). La longitud mínima es el valor que toma la función f(x) en x = 6, igual a 15 unidades.

18 Luego de igualar C'(x) a cero se divide por q y se expresa
Problemas resueltos 18 PROBLEMA 5 A una distancia x (en km) de un foco contaminante, la contaminación está dada por la función f(x) = pekx, donde p es la cantidad de sustancia emitida y k > 0 es una constante experimental propia de cada sustancia. Dos fábricas, situadas a 12 km una de la otra, emiten cantidades p y q de la misma sustancia, respectivamente. Suponiendo que p = 9q y k = 1, determinar el punto situado entre las fábricas, y alineado con ellas, donde es menor la contaminación. ¿En qué relación deben estar las cantidades p y q para que el punto de menor contaminación esté a igual distancia de ambas fábricas? F2 Luego de igualar C'(x) a cero se divide por q y se expresa 9e x = e (12  x). Se toma logaritmos naturales en ambos miembros y se realizan las transformaciones adecuadas, para así obtener el punto de extremo: Como C"(x) = 9e x + e (12  x) > 0, se concluye que en x0 = 6 + ln3 la función C(x) tiene su mínimo. La derivada segunda C"(x) está dada por la expresión C"(x) = 9e x + e (12  x) F1 RESPUESTAS: El punto entre las fábricas, y alineado con ellas, donde la contaminación tiene su menor valor está a 6 + ln3  7.1 kilómetros de la fábrica que aporta la mayor carga contaminante (para k =1 y p = 9q). Por otra parte, es obvio que el punto donde es menor la contaminación equidista de las dos fábricas si ambas emitan la misma cantidad de sustancia contaminante. Distancia: 12 km SOLUCIÓN A C1(x) = pe kx; p = 9q Como figura de análisis se tiene a la siguiente: x 12 – x La contaminación en el punto A es la suma de las contaminaciones que en ese punto provocan las dos fábricas. Se expresa analíticamente por la función de la distancia x: Para determinar el punto de extremo de C(x) se calcula su primera derivada (para k = 1), dada por la expresión: C2(x) = qe k(12  x) Entre las fábricas F1 y F2 se ubica el punto de menor contaminación, a x km de F1 y a (12  x) km de F2. La tarea a resolver es: determinar la distancia x. La contaminación que provoca la fábrica 2 en el punto A, que está situado a (12  x) km de ella, está dada por la función: La contaminación que provoca la fábrica 1 en el punto A, que está situado a x km de ella, está dada por la función siguiente: C"(x) = 9e x + e (12  x) C(x) = 9qe kx + qe k(12  x) C'(x) = 9qe x + qe (12  x) C'(x) = 0  x0 = 6 + ln3; ln3  1.1

19 PE: x1 = b/2 (no); x0 = b/6 (si)
Problemas resueltos 19 PROBLEM 6 We construct a rectangular box by cutting out a square sheet of tin with side b, equal squares in the corners and by bending them. How should we construct the box in order to ensure maximun capacity? SOLUCIÓN V(x) = (b  2x)2x ; x[0, b/2] b x b2x V'(x) = (b  2x)(b  6x) PE: x1 = b/2 (no); x0 = b/6 (si) Como V(0) = V(b/2) = 0 y el volumen es positivo para x(0, b/2), entonces existe x0 en (0, b/2), tal que el máximo es V(x0). Para hallar x0 se calcula V'(x). x b2x V"(x) = 24x 8b Se recortan cuadrados de lado x en las esquinas: Se forma la caja de base cuadrada (de lado b  2x) y altura x: RESPUESTA: La caja de volumen máximo se obtiene recortando en cada esquina un cuadrado de lado b/6. El volumen máximo (2b3/27 unidades cúbicas) es el resultado de evaluar V(x) en b/6. De la ecuación V'(x) = 0 se obtienen dos puntos: x1 = b/2 que se descarta (¿por qué?) y x0 = b/6, que es el punto de máximo: V"(b/6) = 4b El volumen de la caja es el producto del área de la base cuadrada por la altura x, que está entre 0 y b/2. Se comienza dibujando un cuadrado de lado b: Para verificar que x0 = b/6 es el punto de máximo se calcula V"(x), cuya expresión es: que al ser negativa (¿por qué?) confirma que x0 = b/6 es el punto de máximo de V(x). Evaluando V"(x) en x0 = b/6 se obtiene:

20 El área del trapecio se expresa entonces por la función de x:
Problemas resueltos 20 PROBLEMA 7 Inscribir en la región limitada entre la gráfica de la función f(x) = sen x y el eje x, en el intervalo [0, ], el trapecio isósceles de mayor área. SOLUCIÓN y x  f(x) = sen x sen x x   x El valor (aproximado) de esta única solución de la ecuación se puede determinar de una tabla EXCEL, tabulando los valores de los miembros izquierdo tan x y derecho   x en (0, 2), hasta que sean aproximadamente iguales. El segmento de la tabla donde se encuentra la solución, con un error menor que , es: El valor (aproximado) máximo del área del trapecio inscrito se obtiene evaluando A(x) en x = Este valor es igual a A( )  , que también fue calculado en EXCEL. Representando en el intervalo (0, 2) las gráficas de los miembros izquierdo tan x y derecho   x se observa que existe un único punto de intersección, cuya abscisa es el único punto de extremo de la función A(x). RESPUESTA: El máximo valor para el área del trapecio inscrito se obtiene cuando sus vértices superiores (sobre la gráfica de la función f(x) = sen x) tienen abscisas x y   x, donde x = El área máxima es igual (aproximadamente) a A( )  Se inscribe un trapecio con base mayor en el segmento del eje x que corresponde al intervalo [0, ], base menor un segmento con extremos en la gráfica de f(x) = sen x, y altura el valor que toma esta función en el número variable x. En un sistema de coordenadas cartesianas se representa la parte de la gráfica de f(x) = sen x que corresponde al intervalo [0, ]: El área del trapecio inscrito es igual al producto de la suma de la base mayor  Para determinar el valor de x (entre 0 y 2: ¿por qué?) se calcula la derivada, cuya expresión es: Al plantear A'(x) = 0, se obtiene una ecuación que no se puede resolver de forma exacta: El área del trapecio se expresa entonces por la función de x: por la altura f(x) = sen x, todo ello dividido por 2. más la base menor   2x En la región limitada entre la gráfica de f(x) = sen x y el eje x, en el intervalo [0, ]: PE: x 

21 Como figura de análisis se tiene a la siguiente:
Problemas resueltos 21 PROBLEM 8 Suppose that an electric bulb can move along the vertical straight line OB. At what distance from the horizontal plane OA is it to be located in order that the maximum illumination is obtained at the point A of this plane? Hint: The illumination J is proportional to sen ( es el ángulo que se forma entre el rayo de luz y el plano OA en el punto A) proportional to the square of the distance r = AB: J = Csen/r2, where C is independent of the power of the light of the bulb. La función que modela la iluminación en el punto A es J = Csen/r2, cuyo máximo es el que debe determinarse: Para expresar J = Csen/r2, en función de la hipotenusa r = AB y del cateto opuesto BO = b se trabaja en el triángulo BOA, recto en O. Se tiene que sen = b/r : De la ecuación de J'(r) = 0 se obtiene el punto estacionario (que corresponde a un máximo, en virtud de los análisis realizados) siguiente: Para expresar J = Cb/r3 en función de una variable, se aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo BOA: r2 = b2 +a2, donde a = OA. El intervalo [a, +∞) forma el conjunto de valores admisibles de la distancia r. Observar que J(a) = 0 y que J(r)0 si r  ∞, de manera que J(r) (continua y positiva en (a, +∞)) alcanza el máximo en algún r > a = OA. Para determinar el punto de máximo se calcula la derivada de J(r), que está dada por la expresión siguiente: RESPUESTA: Para obtener iluminación máxima en A hay que colocar la bombilla a una altura sobre el plano OA igual al cociente de la distancia OA entre la raíz cuadrada de 2. El máximo se obtiene evaluando J(r) en el punto SOLUCIÓN J = Csen/r2 O A B  r = AB Como figura de análisis se tiene a la siguiente: J = Cb/r3 ; r [a, + ∞)

22 b, base del rectángulo inscrito, h, altura del rectángulo inscrito,
Problemas resueltos 22 PROBLEM 9 A log with circular cross–section of diameter d is given. It is required to cut it in such a way that a beam of rectangular cross–section is obtained with the maximum strength. Hint: The strength of rectangular beam is proportional to the product bh2, where b is the base of the rectangle and h is its height. Se designan: b, base del rectángulo inscrito, h, altura del rectángulo inscrito, r, radio del círculo: Se representan las secciones circular y rectangular del tronco y la viga, respectivamente. Además, se trazan los dos diámetros paralelos a los lados del rectángulo inscrito. Para verificar que el punto b0 es de máximo se utiliza el hecho de que la derivada segunda es negativa; en efecto, como la constante C > 0 según las condiciones dadas: SOLUCIÓN De la ecuación R'(b) = 0 se obtiene el siguiente punto estacionario: C B A R = Cbh2 h b R(b) = Cb(4r2  b2) La expresión que cuantifica la resistencia de la viga de base b y altura h está dada, según se formula en el enunciado del problema, por la función de b y h siguiente (C es la constante de proporcionalidad): RESPUESTA: La viga que tiene mayor resistencia se obtiene para la base igual a y altura igual a Para expresar R = Cbh2 en función de una variable, se traza un diámetro que sea diagonal del rectángulo, para así formar el triángulo ABC, de hipotenusa AC = 2r y catetos b y h: R'(b) = C(4r2  3b2) Del teorema de Pitágoras en el triángulo ABC, se obtiene que 4r2 = b2 + h2  h2 = 4r2  b2, expresión que se sustituye en R = Cbh2 para obtener la función: Para determinar el máximo de esta función se calcula su primera derivada, dada por la expresión: R"(b) =  6Cb < 0

23 23  Problemas propuestos 23 24 25
Dividir un número positivo dado a en dos sumandos. De tal forma, que su producto sea el mayor posible. ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado, igual a 2p, tiene mayor área? Torcer un trozo de alambre de longitud dada l, de manera que forme un rectángulo cuya área sea la mayor posible. Hay que hacer una superficie rectangular cercada por tres de sus lados con tela metálica y lindante por el cuarto con una larga pared de piedra. ¿Qué forma será más conveniente dar a la superficie (para que su área sea mayor), si se dispone en total de l m lineales de tela metálica? De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja rectangular abierta, que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de la figura en forma de cruz así obtenida. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total?

24 Problemas propuestos 24 En un plano de coordenadas se da un punto, M0 (x0, y0), situado en el primer cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera que el triángulo formado entre ella y los semiejes positivos de coordenadas tenga la menor área posible. Una faja de hojalata de anchura a debe ser encorvada longitudinalmente en forma de canalón abierto. ¿Qué ángulo central  debe tomarse para que el canalón tenga la mayor capacidad posible? Circunscribir en torno a un cilindro dado un cono recto que tenga el menor volumen posible (los planos y centros de sus bases circulares coinciden). Inscribir, en una elipse dada, un rectángulo de área máxima, que tenga los lados paralelos a los ejes de la propia elipse. Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie lateral posible. ¿Cuál de los conos circunscritos en torno a una esfera tiene el menor volumen? Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la parábola y2 = 2 px cortado por la recta x = 2a. De una hoja circular hay que cortar un sector tal, que enrollado nos dé un embudo de la mayor capacidad posible.

25 Problemas propuestos 25 Un recipiente abierto está formado por un cilindro, terminado por su parte inferior en una semiesfera; el espesor de sus paredes es constante. ¿Qué dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidad, se gaste en hacerlo la menor cantidad de material? Determinar la altura mínima hn=nOB que puede tener la puerta de una torre vertical ABCD, para que a través de ella se pueda introducir en la torre una barra rígida MN, de longitud l, cuyo extremo M resbalará a lo largo de la línea horizontal AB. La anchura de la torre es de d l. Un depósito abierto, de hoja de lata, con el fondo cuadrado, debe tener capacidad para v litros. ¿Qué dimensiones debe tener dicho depósito para que en su fabricación se necesite la menor cantidad de hoja de lata? Dividir el número 8 en dos sumandos tales que la suma de sus cubos sea la mayor posible. ¿ Qué número positivo sumado a su inverso da lugar a la suma mínima?