Santiago Fernández Asesor matemáticas, Berritzegune de Bilbao Eibar, 6, Octubre, 2011 El azar, la probabilidad,… 3 Este material no es original, está compuesto.

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1 Santiago Fernández Asesor matemáticas, Berritzegune de Bilbao Eibar, 6, Octubre, 2011 El azar, la probabilidad,… 3 Este material no es original, está compuesto de muchas presentaciones e ideas que circulan por la red. Algunas cosas son mías,.. Pero pocas.

2 “ Hubo una vez un Rayo que cayó dos veces en el mismo sitio; pero encontró que ya la primera había hecho suficiente daño, que ya no era necesario, y se deprimió mucho” A. Monterroso

3 ZURDOS-1 Se calcula que existen más 200 millones de zurdos repartidos por todo el planeta. Los recién nacidos zurdos rondan el 25% del total; sin embargo, en la infancia la proporción desciende hasta un 10% por aquellos que se pasan a derechos. Según un estudio realizado hace tres años, el porcentaje de zurdos en España oscila entre un 10% y un 11.5% de la población, en Europa alcanza un 12-13% y en Estados Unidos puede llegar a duplicarse o triplicarse. Sólo se sabe de una tribu de zurdos: los Taymir, del ártico ruso, donde un 75% de la población es zurda.

4 ZURDOS-2 La posibilidad de que dos padres derechos tengan un hijo zurdo es del 2-4%. Si el padre es zurdo y la madre diestra crece hasta un 10%, y alcanza el 14% cuando la zurda es la madre. Las probabilidades superan un 46% si ambos cónyuges utilizan la mano izquierda. La incidencia en los gemelos, o sea que uno de los dos nazca zurdo, es del 20%. La mayoría de los zurdos manuales lo son también oculares. En un aula de veinte alumnos hay cuatro zurdos es esto raro?

5 Para el caso de una mujer americana de entre 40 y 50 años sin síntomas, tenga cáncer de pecho es 0,8 %. Si una mujer tiene cáncer de pecho tendrá una mamografía positiva con probabilidad 90%. También el 7% de mujeres sanas dan positivo en la mamografía. Supongamos que una mamografía da positiva, ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer en realidad tenga cáncer de pecho? Probabilidad y cáncer

6 100.000 mujeres P( de que teniendo un resultado positivo tenga cáncer ) = 720 /7.664 = 0, 0939

7 La decisión de someterse o no a una mamografía anualmente a partir de los 40 años, en principio debiera ser tomada por las mujeres, con conocimiento suficiente de las posibles consecuencias de tomar o no la mamografía y sus probabilidades. Con frecuencia los médicos toman la decisión sin contar con la opinión de las mujeres y desconocen o no informan a éstas de los posibles riesgos. Hay que tener también en cuenta que si una mujer en el periodo 40-49 años se somete a 10 mamografías, la probabilidad de un falso positivo crece notablemente, sería exactamente igual a: 1−(1− 0,07) 10 ≈ 51,6%, lo que significa que ¡¡la mitad de estas mujeres tendrán un falso positivo en el periodo de los diez años!!

8 Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultáneamente. Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro. No es lo mismo…..

9 Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3? * * Dos situaciones distintas

10 Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3? *

11 ¿ Podemos intuir la probabilidad condicionada? A P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,10 A ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0,8 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,08 B B

12 Intuir la probabilidad condicionada A B A B ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,05 P(A|B)=0 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0

13 Probabilidad condicionada Se llama probabilidad de A condicionada a B o probabilidad de un suceso A sabiendo que se ha producido un suceso B:

14 Si dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B. Es decir P(A U B) = P(A) + P(B)

15 La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el evento B (el evento A depende del evento B), denotado P(A|B), es: Dos eventos A y B son independientes si y sólo si P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B) o, que es lo mismo: P(A y B) = P(A) · P(B)

16 El hombre del tiempo: La probabilidad de que llueva este sábado es del 50% y de que llueva en domingo también es del 50%. Así que la probabilidad de que llueva el fin de semana es del 100%. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva el fin de semana suponiendo independencia entre los sucesos, esto es "lloverá el sábado" o "lloverá el domingo"?

17 P(no morir de accidente de coche) = 99% P(no morir de accidente doméstico) = 98% P(no morir de enfermedad hepática o renal) = 85% P(no morir de enfermedad pulmonar) = 90% P(no morir de cáncer) = 70% P(no morir de enfermedad cardiaca) = 65% La probabilidad de librarse individualmente de cada una de estas formas de muerte es alentadora, pero: ¿Cuál es la probabilidad de morir a causa de alguna de ellas? P(no morir por ninguna de las causas) = = 0,99 0,98 0,85 0,9 0,7 0,65 = 0,34 P(morir a causa de alguna) = 1 – 0,34 = 0,66. De algo tenemos que Morir…

18 Se tira dos veces un dado, es razonable creer, que el resultado de la segunda tirada no se vea afectado por el resultado de la primera. Por tanto, conocer el resultado de la primera tirada no ayuda a predecir el resultado de la segunda tirada. Las dos tiradas son independientes Ejemplos de independencia y sucesos excluyentes Una probabilidad que se establece con posterioridad a que se haya producido un fenómeno, se denomina “a posteriori" Y así llegamos al teorema de Bayes…

19 El teorema de Bayes Supongamos que sobre el espacio muestral S tenemos una partición A i, con i = 1,..., n. Si definimos los sucesos A i como el conjunto de niños escolarizados en la i-ésimo escuela, con i = 1, 2, 3, 4. Entonces los sucesos A 1, A 2, A 3 y A 4 constituyen una partición sobre el conjunto de todos los niños escolarizados, que llamaremos S. De otra forma, si seleccionamos al azar un niño escolarizado, entonces el niño que elegiremos pertenecerá a una y solo una de los A i. Esto significa que cualquier resultado de S necesariamente debe estar en uno y solo uno de los eventos A i Por ejemplo, piense en todas las escuelas en una determinada ciudad, y la ciudad tiene cuatro escuelas, digamos 1, 2, 3 y 4. De modo que el conjunto niños escolarizados en esa ciudad va a estar en una y solo una de esas cuatro escuelas.

20 ...... A1A1 A2A2 A3A3 AnAn B w Resultado de la selección El teorema de Bayes Consideremos un suceso B, que indica una determinada propiedad de los niños, por ejemplo B puede ser el suceso de que el niño seleccionado al azar sea zurdo.

21 En función de las probabilidades condicionales, nos queda...... A1A1 A2A2 A3A3 AnAn B El teorema de Bayes

22 Este cálculo es para medir la incertidumbre de la ocurrencia del evento B. Medición del futuro, representado por el evento B...... A1A1 A2A2 A3A3 AnAn B El teorema de Bayes

23 Supongamos ahora que B ocurre....... A1A1 A2A2 A3A3 AnAn B w ¿Cuál de los sucesos A j ha ocurrido? De otra forma, ¿cuál es el valor de con j = 1,...n? El teorema de Bayes

24 ...... A1A1 A2A2 A3A3 AnAn B w Medición del pasado, representado por el evento A j El teorema de Bayes

25 En un centro de transfusiones, se sabe que la probabilidad de que una unidad de sangre proceda de un donante remunerado es 0.28. Si el donante es remunerado, la probabilidad de que la unidad contenga el suero de la hepatitis es 0.0144. Si el donante es desinteresado, esta probabilidad es 0.0012. Si un paciente recibe una unidad de sangre, ¿cuál es la probabilidad de que contraiga hepatitis como consecuencia de ello? http://unbarquero.blogspot.com/2010/07/problema76-probabilidad.html

26 Una constructora compra ladrillos de las fábricas Q y R, comprando a Q cinco veces lo que compra a R. Por otra parte se sabe que el 6% de los ladrillos de Q y el 12% de los de R llegan en mal estado. Se pide obtener: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ladrillo elegido al azar esté en mal estado?. b) Se elige un ladrillo al azar y resulta estar en mal estado. ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la fábrica R?. http://unbarquero.blogspot.com/2010/02/problema52-probabilidad.html