Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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1 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
MATEMÁTICAS A. CS II Tema II Matrices @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

2 OPERACIONES: PRODUCTO DE MATRICES
TEMA * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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PRODUCTO DE MATRICES Para multiplicar una matriz fila de tamaño 1xn por una matriz columna de tamaño nx1, se van multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados parciales, de modo que el resultado final es un número real. Ejemplo_1 d ( a b c ) e = a.d + b.e + c.f f Ejemplo_2 (-7) -3 ( ) = (-7) = (-7) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Producto: DEFINICIÓN Dadas dos matrices A y B de tamaño mxn y nxp respectivamente, dos matrices en que el nº de columnas de la 1ª coincide con el nº de filas de la 2ª, se llama matriz producto A.B a una nueva matriz en la que el elemento de lugar (i,j) se obtiene multiplicando la matriz fila i de A por la matriz columna j de B. El resultado es una matriz de tamaño mxp. a d . b e c f 2a+3b+4c d+3e+4f = 5a+6b+7c d+6e+7f Una matriz [2x3] multiplicada por otra [3x2] da por resultado una [2x2] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejemplos -1 . 4 2(-1)+(-3).4 = -5(-1)+6.4 -14 = 2(-1)+(-3) (-3).3 = -5(-1) = = 2(-1)+(-3) (-3).3 = @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Más ejemplos -1 . 4 2 2(-1)+(-3).4+0.2 = -5(-1) -14 = 1.(-1)+(-2) (-2).3 = 0.(-1) (-4).(-1) (-4).2+1.3 = 5 . 7 4 5+0–4 = -5+7+0 1 = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Último ejemplo El producto de matrices NO es conmutativo: A.B <> B.A Sea la matriz A [2x3] y la matriz B [3x2] 2(-1)-3.4+4(-2) (-5) = -5(-1)+6.4-1(-2) (-5) = = = Como se puede observar los resultados son distintos: A.B = [2x2] y B.A = [3x3] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

8 Propiedades del PRODUCTO
Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C (En ocasiones hay que multiplicar entre sí más de dos matrices) No es conmutativa: A.B <> B.A (Muy importante en las operaciones con matrices) Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I). (La matriz I es siempre cuadrado, presenta todos unos en la diagonal principal y los demás elementos son ceros) Distributiva respecto a la suma: A.(B+C) = A.B+A.C (Hay que tener presente que A.(B+C) <> (B+C).A , en general.) Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre. (Imprescindible para poder dividir matrices. Si A.B = C, nos dan A y C, para hallar B tenemos: B=C / A = (1 / A).C , donde 1/A es la matriz inversa de A.) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejemplo PROPIEDAD ASOCIATIVA: A.(B.C) = (A.B).C 1 1 0 1 0 1 = 0 1 1 1 0 1 4 1 = 0 1 10 8 6 7 10 8 = @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejemplo PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: A.(B+C) = A.B+A.C 1 1 0 1 -1 2 0 1 1 1 = -1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 -1 3 = 2 2 5 7 6 4 5 7 = @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

11 Otro ejemplo de propiedad anticommutativa del producto
= A.B = 4 7 2 5 = B.A = @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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POTENCIA DE UNA MATRIZ A2 = A.A A3 = A2 .A A4 = A3 .A An = An – 1 . A En todos los casos los valores de los términos del resultado siguen una ley de formación, una serie. Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz A = @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

13 Ejemplo de potencias de matrices
Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz 1 0 A = 1 1 A = = A = = n ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ? @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

14 Otro ejemplo de potencias
Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz 1 0 A = A = = A = = n ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ? @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

15 Otro ejemplo de potencias
Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz 0 1 A = 1 0 A = = A = = 4 ¿Qué valdrá A ?  Lo mismo que A n ¿ Y A ?  A si n es par, e I si n es impar @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.