@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 TEMA 4 ECUACIONES Y SISTEMAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 TEMA 4 ECUACIONES Y SISTEMAS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 TEMA 4.7 * 1º BCS MÉTODO DE GAUSS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Una combinación lineal de varias ecuaciones es otra ecuación que resulta de multiplicarlas por números distintos de cero y sumarlas. Dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una o varias de las siguientes operaciones: –S–Se multiplica una ecuación por un número. –S–Se cambia el orden de las ecuaciones. –S–Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal de otras. –S–Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número. SISTEMAS LINEALES EQUIVALENTES

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Sea el sistema de ecuaciones lineales: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a”/a Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’/a Queda:a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g + e’.y + f’z = g’ Siendo e, f, g, e’.f’ y g’ números reales. MÉTODO DE GAUSS

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Y obtengo finalmente: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j Si h<>0  S. COMPATIBLE Y DETERMINADO. La solución del sistema será: z = j / h y = ( g – f.z ) / e x = ( d – c.z – b.y ) / a, en ese orden. Este método sirve cualquiera que sea el número de incógnitas.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Al aplicar el método de Gauss obtengo: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j Si h<>0 y hay tantas ecuaciones como incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE Y DETERMINADO (Una solución). Si h<>0 y hay menos ecuaciones válidas que incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE E INDETERMINADO (Infinitas soluciones). Si h = 0 y j <> 0 : SISTEMA INCOMPATIBLE (No hay ninguna solución). ANÁLISIS DE RESULTADOS

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 El método de Gauss se simplifica mucho si hacemos que el primer coeficiente de la primera ecuación valga la unidad ( a = 1). Sea:a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Divido toda la primera fila (ecuación) entre a. Alternativamente busco lo siguiente: a – a´ = 1, a – a´´ = 1, a´´ – a´ = 1, etc. Y no olvido aplicar las mismas operaciones a todos los coeficientes. Clave práctica

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 EJEMPLO 1 Sea: x - y + z = 1 - x + 2 y + z = 2 3.x – 2.y - z = 0 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + F1 Queda: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 y - 4.z = -3 F3 = F3 – F2 Y obtengo finalmente: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 -6.z = -6 La solución del sistema será: z = -6 / -6 = 1 y = ( 3 – 2.1 ) / 1 = 1 x = ( 1 – 1.1 – (-1).1 ) / 1 = 1, en ese orden.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 EJEMPLO 2 Sea: x - y + 2.z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 3.x + 5.y - z = 2 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + 2.F1 Sea: x - y + 2.z = 4 5. z = 10 8.y - 7.z = - 10 Permuto la 2º y 3º fila Y obtengo finalmente: x - y + 2.z = 4 8.y - 7.z = - 10 5. z = 10 La solución del sistema será: z = 10 / 5 = 2 y = ( - 10 + 7.2 ) / 8 = 1 / 2 x = ( 4 – 2.2 + (1 / 2 ) ) / 1 = 1 / 2, en ese orden.

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 EJEMPLO 3 Sea: 3x - 6y + 2.z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 5.x + 5.y - z = 2 F1 = F1 : 3,, F2 = F2 : (-2),, F3 = F3 : 5 Queda: x - 2y + 2/3.z = 4/3 x - y - ½ z = - 1 x + y - 1/5 z = 2 /5 Muy importante: No olvidar dividir a TODOS los elementos de la fila F2 = F2 – F1,, F3 = F3 – F1 Y obtengo: x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 3y - 13/15 z = - 14 /15 F3 = F3 – 3xF2 x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 79/30 z = 91 /15

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 EJEMPLO 4 Sea: x – 6y + 2.z = 0 2.x + 2 y + z = 0 5.x + 5.y - z = 0 F2 = F2 – 2.F1,, F3 = F3 – 5.F1 Queda: x – 6.y + 2.z = 0 14.y – 3.z = 0 35.y – 11.z = 0 F2 = 5.F2,, F3 = 2.F3 Y obtengo: x – 6.y + 2.z = 0 70.y – 15.z = 0 70.y – 22.z = 0 F3 = F3 – F2 x – 6.y + 2.z = 0 70.y – 15.z = 0 – 7.z = 0 z = 0  y = 0  x = 0, que es la llamada solución obvia.

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 EJEMPLO 5 Sea: x – 6.y + 2.z = 0 2.x + 2.y + z = 0 3.x – 4.y + 3.z = 0 F2 = F2 – 2.F1,, F3 = F3 – 3.F1 Queda: x – 6.y + 2.z = 0 14.y – 3.z = 0 14.y – 3.z = 0 F2 = F2 – F3 Y obtengo: x – 6.y + 2.z = 0 14.y – 3.z = 0 0 = 0 z = 0  y = 0  x = 0, que es la llamada solución obvia. Y además: x – 6.y = – 2.z 14.y = 3.z Sistema compatible e indeterminado (Infinitas soluciones). De donde: y = (3/14).z  x = 6.y – 2.z = 6.(3/14).z – 2.z = – (5/7).z

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 EJEMPLO 6 Sea: x – 3.y + 2.z = 0 2.x + 2.y + z = 5 3.x – 9.y + 6.z = 3 F2 = F2 – 2.F1,, F3 = F3 – 3.F1 Queda: x – 6.y + 2.z = 0 8.y – 3.z = 5 0.z = 3 Y obtengo:z = 3 / 0 = No es un número real Sistema incompatible

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 EJEMPLO 1 2.x + 3.y + 4.z = 8  x + 1,5.y + 2.z = 4 5.x – 3.y + 7z = 3  5.x – 3.y + 7z = 3 3.x – 5.y + z = – 2  3.x – 5.y + z = – 2 EJEMPLO 2 3.x + 3.y + 4.z = 8  x + 6.y – 3.z = 5 2.x – 3.y + 7z = 3  2.x – 3.y + 7z = 3 3.x – 5.y + z = – 2  3.x – 5.y + z = – 2 EJEMPLO 3 2.x + 3.y + 4.z = 8  x – 2.y – 6.z = – 5 5.x – 3.y + 7z = 3  2.x + 3.y + 4.z = 8 6.x – 5.y + z = – 2  5.x – 3.y + 7z = 3 Ejemplos: Clave práctica