FACTOR COMÚN Y POR AGRUPACIÓN FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Presentación del tema: "FACTOR COMÚN Y POR AGRUPACIÓN FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS"— Transcripción de la presentación:

1 FACTOR COMÚN Y POR AGRUPACIÓN FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
El factor común de una expresión algebraica es el monomio o polinomio que corresponde al máximo común divisor de los términos de los monomios o polinomios de la expresión algebraica. Para expresar el factor común (FC) diremos que: 𝐹𝐶 ó 𝑀𝐶𝐷 . 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑀𝐶𝐷 Ej: 4 𝑥 3 𝑦 𝑥 2 =4 𝑥 2 𝑥 𝑦 2 +4 −12 𝑎 2 𝑏 3 𝑐−15𝑎𝑏 𝑐 4 =−3𝑎𝑏𝑐 4 𝑎 2 𝑏 2 +5 𝑐 3 FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Algunas veces no todos los términos poseen un mismo factor común, pero asociados y factorizados por separado tienen monomios o polinomios completos que son factores comunes. 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑎𝑦+𝑏𝑥= 𝑎𝑥+𝑎𝑦 + 𝑏𝑥+𝑏𝑦 =𝑎 𝑥+𝑦 +𝑏 𝑥+𝑦 = 𝑎+𝑏 𝑥+𝑦 EJ: 𝑎𝑥+𝑏𝑦−𝑎𝑦−𝑏𝑥= 𝑎𝑥−𝑎𝑦 + −𝑏𝑥+𝑏𝑦 =𝑎 𝑥−𝑦 +𝑏 −𝑥+𝑦 = 𝑎 𝑥−𝑦 −𝑏 𝑥−𝑦 = 𝑎−𝑏 𝑥−𝑦

2 Ej: Determine el área sombreada de :
Solución: Por definición de áreas tenemos: 𝐴 𝐶 = 𝐴 0 + 𝐴 𝑆 donde 𝐴 𝐶 =𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐴 0 =𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝐴 𝑆 =𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 Luego despejando el área sombreada 𝐴 𝑠 = 𝐴 𝑐 − 𝐴 0 Reemplazando los valores de cada área tenemos 𝐴 𝑆 = 2𝑅 2 −𝜋 𝑅 2 𝐴 𝑆 =4 𝑅 2 −𝜋 𝑅 2 Por lo tanto expresando el resultado en forma factorizada tenemos: 𝐴 𝑆 = 𝑅 2 4−𝜋

3 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP) “Recordemos que los números cuadrados perfectos son aquellos que tienen raíz cuadrada exacta” Un TCP equivale a un BINOMIO AL CUADRADO. Se identifica de la siguiente forma: 1º Tanto el primero como el tercer término son positivos y tienen raíz cuadrada exacta 2º El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término. EJ: 𝑎 2 +2𝑎𝑏+ 𝑏 2 = 𝑎+𝑏 2 EJ: 𝑎 2 −2𝑎𝑏+ 𝑏 2 = 𝑎−𝑏 2

4 DIFERENCIA DE CUADRADOS
Es uno de los casos más utilizados. Consiste en el proceso inverso para encontrar la suma por diferencia de dos cantidades. Recordando el producto notable. Por lo tanto tenemos: 𝑎 2 − 𝑏 2 = 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 Ej: 𝑥 2 −9= 𝑥+3 𝑥−3 Ej: 36 𝑥 2 −16= 6𝑥+4 6𝑥−4

5 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
En ocasiones encontramos trinomios que no son cuadrados perfectos y que por medio de la adición y sustracción de los términos adecuadamente se pueden transformar en TCP. Se verifica que el trinomio este ordenado Se extraen las raíces cuadradas de los términos 1º y 3º Agregamos y restamos la cantidad que hace que 2º término sea el doble producto de las raíces del 1º y 3º término Factorizamos el TCP encontrado Factorizamos la diferencia de cuadrados generada por el término que se resta Por lo tanto encontramos la expresión inicial factorizada

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7 SUMA DE DOS CUADRADOS ( CASO ESPECIAL)
En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no hay raíz cuadrada exacta, pero hay sumas de cuadrados que sumándole y restándole una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior de adición – sustracción de trinomios y descomponerse. Ej: Factorizar 𝑥 4 +4 𝑦 4 Solución: Hallamos la raíz cuadrada de cada termino: 𝑥 4 = 𝑥 2 , 4 𝑦 4 =2 𝑦 2 Luego buscamos que la expresión inicial sea un TCP, entonces hallamos el doble producto de las raíces, Asi: 2 𝑥 𝑦 2 =4 𝑥 2 𝑦 2 Luego adicionamos y restamos una misma cantidad para que la expresión inicial se convierta en TCP, de la siguiente forma:

8 Finalmente ordenamos la expresión factorizada

9 TRINOMIO DE LA FORMA 𝑋 2 +𝑏𝑋+𝑐 En este tipo de trinomios verificamos: 1. No debe ser TCP 2. El coeficiente del primer término es 1 3. La literal del primer término esta elevada al cuadrado 3. El segundo término tiene la misma literal del primero con exponente 1. (el coeficiente puede ser cualquier cantidad entera, positiva o negativa) 4. El tercer término es independiente (cantidad entera positiva o negativa) Factorización 1. El trinomio se descompone en dos factores cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio inicial. 2. En el primer factor después de escribir el resultado del paso anterior se escribe el signo del 2º término del trinomio y en el segundo factor se escribe el signo que surge de multiplicar los signos del 2º y 3º termino del trinomio inicial. 3. Se descompone en factores primos el tercer término y con los valores obtenidos se buscan dos números que multiplicados den el 3er termino del trinomio y que sumados o restados den el 2º termino del trinomio inicial. 4. Ubicamos en el primer factor el mayor de los números obtenidos en el paso anterior y en el segundo factor el menor número obtenido en el paso anterior.

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11 TRINOMIO DE LA FORMA 𝑎𝑋 2 +𝑏𝑋+𝑐 Este tipo de trinomios se diferencia de los anteriores porque el coeficiente del primer término 𝑎≠1, y en ocasiones no posee raíz cuadrada exacta. Para factorizarlo recurrimos a: - verificar que el trinomio no sea cuadrado perfecto 1- Multiplicamos y dividimos el trinomio inicial por el coeficiente del primer término. En este caso (𝒂), dejando indicada la multiplicación del segundo término. 2- Descomponemos en factores primos al nuevo tercer término generado y realizamos el mismo procedimiento que se utilizó en los trinomios 𝑋 2 +𝑏𝑋+𝑐 3- Hallamos los factores comunes de los coeficientes, si los hay, en cada binomio generado en el paso anterior y se simplifican con el coeficiente con el que se dividió al principio, en este caso (𝒂).

12 Ejemplo: Factorizar 6 𝑋 2 −7𝑋−3 1
Ejemplo: Factorizar 6 𝑋 2 −7𝑋−3 1. Multiplicamos y dividimos por 6 así: 6 6 𝑋 2 −7𝑋−3 6 = 36 𝑋 2 −6 7𝑋 −18 6 = 2. Descomponemos a 18 en factores primos y buscamos dos números que multiplicados den - 18 y sumados o restados den – 7 6𝑋−9 6𝑋 Sacamos factor común de los coeficientes 3 2𝑋−3 2 3𝑋+1 6 y simplificamos Por lo tanto tenemos la expresión factorizada 2𝑋−3 3𝑋+1 Conclusión: 6 𝑋 2 −7𝑋−3= 2𝑋−3 3𝑋+1

13 CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Un polinomio es un binomio al cubo si cumple con las siguientes condiciones: 1. Posee 4 términos 2. El primer y último término de la factorización deben ser cubos perfectos, es decir poseen raíz cúbica exacta 3. El segundo término es tres veces el cuadrado de la primera raíz cúbica, multiplicado por la raíz cúbica del último término. 4. El tercer término es tres veces el producto de la primer raíz cúbica, por el cuadrado de la segunda raíz cúbica. 5. Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de una suma y si los términos son alternos empezando con el signo positivo, la expresión resultante será el cubo de una diferencia. Ejemplo: 𝑎 3 +3 𝑎 2 𝑏+3𝑎 𝑏 2 + 𝑏 3 = 𝑎+𝑏 3 𝑎 3 −3 𝑎 2 𝑏+3𝑎 𝑏 2 − 𝑏 3 = 𝑎−𝑏 3

14 SUMA DE CUBOS Para factorizar una suma de cubos se debe: 1. Descomponer la expresión inicial en dos factores 2.En el primer factor ubicamos la suma de las raíces cúbicas de los términos 3. En el segundo factor ubicamos el cuadrado de la primer raíz menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. 𝑎 3 + 𝑏 3 = 𝑎+𝑏 𝑎 2 −𝑎𝑏+ 𝑏 2 DIFERENCIA DE CUBOS Para factorizar una diferencia de cubos se debe: 2.En el primer factor ubicamos la diferencia de las raíces cúbicas de los términos 3. En el segundo factor ubicamos el cuadrado de la primer raíz más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. 𝑎 3 − 𝑏 3 = 𝑎−𝑏 𝑎 2 +𝑎𝑏+ 𝑏 2

15 SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES
𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎−𝑏 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎+𝑏 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎+𝑏 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 𝑛𝑢𝑛𝑐𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎−𝑏 Ejemplo: Si queremos factorizar la expresión 𝑚 5 + 𝑛 5 entonces dividimos por 𝑚+𝑛 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 Es decir 𝑚 5 + 𝑛 5 𝑚+𝑛 = 𝑚 4 − 𝑚 3 𝑛+ 𝑚 2 𝑛 2 −𝑚 𝑛 3 + 𝑛 4 Por lo tanto la expresión factorizada es: 𝑚 5 + 𝑛 5 = 𝑚+𝑛 𝑚 4 − 𝑚 3 𝑛+ 𝑚 2 𝑛 2 −𝑚 𝑛 3 + 𝑛 4 Ejemplo: Factorizar 𝑎 5 − 𝑏 5 𝑎 5 − 𝑏 5 = 𝑎−𝑏 𝑎 4 + 𝑎 3 𝑏+ 𝑎 2 𝑏 2 +𝑎 𝑏 3 + 𝑏 4

16 OBSERVE: 1) Las expresiones 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 o 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 donde n es impar y múltiplo de 3 se puede factorizar como una suma o una diferencia de cubos. 2) Las expresiones 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 donde n es par se pueden factorizar como una diferencia de cuadrados