Miércoles 30 de Octubre de 2002 Construcción y Diseño de Controladores de un Péndulo Invertido Rotante Autores  Sebastian Mallo  Virginia Mazzone Director.

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1 Miércoles 30 de Octubre de 2002 Construcción y Diseño de Controladores de un Péndulo Invertido Rotante Autores  Sebastian Mallo  Virginia Mazzone Director  Roberto Saco Universidad Nacional de Quilmes Ingeniería en Automatización y Control Industrial

2 Contenidos 1. Introducción 2. Descripción del Sistema 3. Modelización Matemática 4. Diseño y simulación de Controladores 5. Análisis del Efecto de Perturbaciones 6. Ensayos en el sistema real 7. Conclusiones

3 n Problema interesante desde el punto de vista de control. n Ilustra muchas de las dificultades asociadas con problemas de control del mundo real. Introducción n Consiste en un brazo giratorio horizontal, con una barra vertical en su extremos, la cual gira libremente alrededor de un eje paralelo al brazo.

4 Objetivo n Construir el prototipo utilizando un bajo presupuesto  Diseñar estructuralmente el sistema  Elegir los sensores y actuadores  Elegir la forma de implementación de los controladores n Controlar el sistema  Diseñar distintos controladores lineales  Implementar dichos controladores

5 1. Introducción 2. Descripción del Sistema 3. Modelización Matemática 4. Diseño y simulación de Controladores 5. Análisis del Efecto de Perturbaciones 6. Ensayos en el sistema real 7. Conclusiones Contenidos

6 Esquema Básico de Control n Controlador  PC n Actuador  Sistema de movimiento del Brazo n Sensores  Posición del Brazo y péndulo Actuador Sistema Físico Sensores Controlador

7 n Programa de Simulación y Control  Matlab 5.3, Simulink,  Watcom C/C++, Real Time Windows Target, Real Time Workshop Driver (S-Function) n Placa adquisidora de datos  Slot ISA  8 entradas analógicas de 0-5V, conversor A/D de 8 bits  2 salidas analógicas de 0-5V, conversor D/A de 8 bits  8 entradas digitales  8 salidas digitales Controlador Sensores Actuador Placa Aduisidora de Datos Driver Programa de Simulación y Control

8 n Puente H  Amplificador de Potencia  Inversor de Marcha Actuador n Motor  Características Eléctricas:  sin escobillas  tensión nominal 24 VCC  corriente nominal 2A  Características Mecánicas:  Reducción: 1-130 a engranajes n Generador de Señal PWM  Por medio de un canal analógico de la placa adquisicón Generador PWM Salida Digital Salida Analógica Puente H On/Off Dirección Placa Adquisidora de Datos Actuador M

9 Limitaciones Debidas al Motor 15 V -15 V SATURACIÓN Tensión real Tensión aplicada CUANTIZACIÓN 0.15 FRICCIÓN ESTÁTICA JUEGO EN EL EJE

10 Sensores n Posición del Péndulo Sensor Magnéto-Resistivo Caracteristicas generales :  Precisión: 0.0024 radianes  Rango:  18º n x n y n q n y n I n l n Epot mgl cos q n Energía Cinética: n E cin 1 2 I ÿy2 n n debido al brazo 1 2 m l 2 ÿq2 r 2 ÿy2 2rl ÿq ÿy cos q n debida al péndulo n Fuerza Aplicada: n f n t n f q t n f y t n n bs ÿq t n K n R v n t K 2 n R ÿy t n n v n t es la tensión aplicada al motor. Entrada Analógica Sensor Magnéto-Resistivo Acondicionador de Señal Placa Adquisidora de Datos  60  Brazo Sensor Imán Eje Péndulo

11 Sensores n Posición del Brazo Encoder incremental Características Generales:  Precisión: 5150 pulso por vuelta  0.0012 rad  Rango: ilimitado Entradas Digitales Encoder Incremental Placa Adquisidora de Datos Contador De Pulsos Programa de Simulación y Control Controlador Sensor

12 Contenidos 1. Introducción 2. Descripción del Sistema 3. Modelización Matemática 4. Diseño y Simulación de Controladores 5. Análisis del Efecto de Perturbaciones 6. Ensayos en el Sistema Real 7. Conclusiones

13 Modelización Matemática n Ecuaciones de Euler-Lagrange n Variables del Sistema  m: masa del péndulo  g: gravedad  l: longitud del péndulo  r: radio de giro del brazo  I: inercia del brazo   z x y r,I l m,g Definamos

14 Modelización Matemática n Energía n Fuerza Aplicada v R e=K + _ 

15 Ecuaciones de Estado Tomando Reemplazando

16 Ecuaciones de Estado n Modelo Simplificado  Suponiendo b s  0 y M >>m n Representación entrada-salida

17 Ajuste de Parámetros n Parámetros conocidos  l =0.3 [m]  r =0.3 [m]  M = 0.5 [kg]  m = 0.05 [kg]  g = 9.8 [m/seg 2 ] n Parámetros desconocidos  K: constante de fuerza electromotriz  R: resistencia eléctrica

18 Ajuste de los Parámetros n Excitamos al sistema con un escalón de 1.5V. n Dimos valores a  y  en n Tomamos  = 11.8 y  = 9.8

19 Contenidos 1. Introducción 2. Descripción del Sistema 3. Modelización Matemática 4. Diseño y Simulación de Controladores 5. Análisis del Efecto de Perturbaciones 6. Ensayos en el Sistema Real 7. Conclusiones

20 Control en Cascada n Diagrama del Lazo de Control Y(s) R(s) G 2 (s)G 1 (s)K 2 (s)K 1 (s) - - Lazo Secundario Lazo Primario Sistema a lazo abierto U(s)  (s)  (s) n Lazo Abierto

21 Diseño de K 1 (s) y K 2 (s) n Lazo Secundario Diseño de K 2 (s) por asignación de polos  (s)  (s) K 2 (s) - T 2 (s) K 1 (s) - R(s)

22 K 1 (s)=0.2 Diseño de K 1 (s) y K 2 (s) n Lazo Primario Diseño de K 1 (s) por lugar de raíces

23 Diseño de K 1 (s) y K 2 (s) n Lazo Primario Diseño de K 1 (s) por lugar de raíces K 1 (s)=0.2

24 Simulación Posición del Péndulo Posición del Brazo n Función Transferencia a Lazo Cerrado

25 Simulación n Función Transferencia a Lazo Cerrado Posición del Péndulo Posición del Brazo

26 Control por Realimentación de Estado n Diagrama del Lazo de Control y B - Lazo abierto  C A K n Ecuaciones de Estado

27 Control por Realimentación de Estado n Análisis de la Existencia de K  Matriz de Controlabilidad rango( C ) = 4  el sistema es controlable Diseño de la Matriz K  Control Optimo LQR Minimizando el Funcional

28 Control por Realimentación de Estado n Seguimiento Robusto: Acción Integral   Proponiendo y r B - - -  C A K KaKa 

29 Control por Realimentación de Estado Diseño de la Matriz K y Ka (LQR)  Minimizando  Estabilizando x a

30 Estimación de las variables de Estado y n Aproximación de la Derivada n Observador de las Variables Estado

31 Estimación de las variables de Estado y Error de Estimación n Observador de las Variables Estado (cont.) n Análisis de la Existencia de L  Matriz de Observabilidad rango( O ) = 4  el sistema es controlable n Diseño de L por asignando autovalores a (A-LC)

32 Simulación Posición del Péndulo Posición del Brazo n Aproximación de la derivada vs. Observador Aprox.Obs. 79.4821.71 57.344.1 1678577

33 1. Introducción 2. Descripción del Sistema 3. Modelización Matemática 4. Diseño y Simulación de Controladores 5. Ensayos en el Sistema Real 6. Análisis del Efecto de Perturbaciones 7. Conclusiones Contenidos

34 Análisis del Efecto de Perturbaciones n Efecto de las Cuantizaciones Posición del Péndulo Posición del Brazo RealMejoradoUnidad  0.00240.0012 rad  0.00120.0003 rad u 0.058590.0036 grados

35 Análisis del Efecto de Perturbaciones n Fricción Estática 20 veces menor Posición del Péndulo Posición del Brazo

36 Análisis del Efecto de Perturbaciones n Juego en el Eje Posición del Péndulo Posición del Brazo RealMejoradoUnidad  10.1 grados

37 1. Introducción 2. Descripción del Sistema 3. Modelización Matemática 4. Diseño y Simulación de Controladores 5. Análisis del Efecto de Perturbaciones 6. Ensayos en el Sistema Real 7. Conclusiones Contenidos

38 Ensayos sobre el sistema real n Seguimiento a Referencias Constantes Acción Integral Control en Cascada

39 1. Introducción 2. Descripción del Sistema 3. Modelización Matemática 4. Diseño y Simulación de Controladores 5. Análisis del Efecto de Perturbaciones 6. Ensayos en el Sistema Real 7. Conclusiones Contenidos

40 Conclusiones n Ventajas en la utilización de un Software de Tiempo Real n Simplicidad de diseño del Control en Cascada n Desempeño del Observador n Robustez del Agregado de Acción Integral n Sensibilidad frente a Perturbaciones en el Actuador