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OSCILADOR ARMÓNICO FORZADO
Objetivos! Estudiar oaf Mirar cómo cables! Dato coef.amort., método comparativo Amortiguamiento – Resonancia Fernando Hueso González Laboratorio de Mecánica y Ondas Campus de Burjassot - Valencia 2º Física – UVEG 9 de marzo de 2009 1
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OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
FUNDAMENTOS TEÓRICOS OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE Ecuación diferencial OAS Solución: Multitud de fenómenos físicos oscilantes (ideales) Movimiento circular Muelle ideal (Ley de Hooke) Tubo en U de agua Circuitos eléctricos LC Aproximación pequeñas oscilaciones Péndulo simple Potenciales Periódico Armónico + complicado, no lineales-acoplados, + dimensiones Velocidad, energía, k, derivadas Si forzamos, infinito
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OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO
FUNDAMENTOS TEÓRICOS OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Término disipativo (fuerza viscosa) Amplitud: decaimiento exponencial Amortiguamiento sobreamortiguado, crítico, infraamortiguado Sobreamortiguado β>ω0 Amortiguado críticamente β=ω0 Infraamortiguado β<ω0 Ya tienes en cuenta resistencia!! 1 paso más RL? RC?
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OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADO
FUNDAMENTOS TEÓRICOS OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADO Término inhomogéneo periódico Solución homogénea (transitoria) y particular (permanente) Forzamiento armónico: Para t largos sólo la solución particular (ω=cte) No depende de condiciones iniciales, F y δ determinados por sistema oscilante Curva lorenciana Resonancia (D) Control de fenómenos físicos Circuito RLC Osciladores micromecánicos
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AMORTIGUAMIENTO Y RESONANCIA
FUNDAMENTOS TEÓRICOS AMORTIGUAMIENTO Y RESONANCIA Función lorenciana (asimétrica) Coeficiente de amortiguamiento Factor de calidad Sucesión resonancias +asimétrica cuanto más cerca de amort.crítico Lorenciana wR hacia la izquierda 2beta para energía promedio También lorenciana potencia, ahí si que partido por dos Puente tacoma aerolastic flutter, self-excitation, torsión
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DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
TÉCNICA EXPERIMENTAL DISPOSITIVO EXPERIMENTAL Oscilador armónico forzado Péndulo físico Pares de fuerzas Imán amortiguador Muelles Motor Control mediante generador tensión variable, interfaz y ordenador Frecuencia y amortiguamiento regulables Desviación angular ‘vs’ tiempo θ(t) Péndulo físico Mucha pasta!! Para obtener la ecuación de movimiento del péndulo podemos comenzar escribiendo el momento de las fuerzas aplicadas en función del momento de inercia del péndulo, I, y de su aceleración angular: 2 dt d I M θ = (1) Una de las fuerzas aplicadas al sistema será la fuerza de la gravedad, cuyo momento respecto al centro de giro del péndulo puede expresarse como: θ sin mgh M p − = (2) donde m es la masa del péndulo (disco y tara), y h es la distancia desde el centro de suspensión hasta el centro de gravedad. Además del peso, sobre el péndulo se ejercen fuerzas de rozamiento, que tienden a amortiguarlo. Estas fuerzas suelen ser proporcionales a la velocidad del objeto en movimiento, y su momento puede escribirse como: b Mr θ − = (3) Con esto, la ecuación de movimiento para el péndulo queda: 0 sin 2 = + + θ θ θ mgh b I (4) Si consideramos oscilaciones de pequeña amplitud podremos hacer la aproximación θ θ ≈ sin . De esta forma obtenemos la ecuación de movimiento del péndulo físico, que coincide con la ecuación del movimiento armónico amortiguado. Dividiendo por I, podemos escribir la ecuación como: 0 2 2 0 2 = + + θ ω θ β (5) donde hemos definido la frecuencia propia del sistema como ω0: I = 0 ω (6) y el factor de amortiguamiento β como: = β
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PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
TÉCNICA EXPERIMENTAL PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Estudiar amortiguamiento – Decaimiento exponencial Desplazar respecto a posición de equilibrio Registrar θ(t) Medir frecuencia; máximos, θbase; ley exponencial Ajustar ω’ , β Oscilador forzado - Curva de resonancia Registrar θ(t) para cada V Medir θmax, ω Ajustar a curva de resonancia ω0, β Cambiar amortiguamiento (+ comparar) Comparar valores para cada amortiguamiento Valor a partir del ajuste al amortiguamiento exponencial Valor a partir del ajuste a la curva de resonancia Xa logra objetivo: estudiar arm.forz y dato amortiguamiento, Mejor muchas posiciones imán xo imprecisiones...
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ADQUISICIÓN DE DATOS Estudiar amortiguamiento
RESULTADOS ADQUISICIÓN DE DATOS Estudiar amortiguamiento Desplazar del equilibrio decaimiento exponencial amplitud Comparar distintos coeficientes, distancia imán h/ h θ ± 0,001 t ± 0,1s 0,367 0,1 5,201 0,8 -0,573 1,1 4,363 1,9 -0,995 2,1 3,892 2,9 -1,187 3,0 3,648 3,8 -1,257 ∞ 3,508 4,7 3,421 Plano, muelles, ... tecta base
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ADQUISICIÓN DE DATOS RESULTADOS V ± 0,1 V A1+ ± 0,001 A1- A2+ A2- A3+
ti ± 0,1 s tf 2,0 0,332 -0,140 0,349 -0,122 0,6 10,0 2,5 0,454 -0,017 1,4 9,4 3,0 0,105 -0,436 0,087 7,4 3,5 0,000 -0,663 -0,646 1,1 6,4 3,7 0,506 -0,157 0,5 5,6 3,9 0,716 0,698 0,7 4,1 0,052 -0,681 0,036 -0,698 5,9 4,3 0,227 -0,524 0,244 4,8 4,5 0,367 -0,454 0,3 4,4 4,7 0,681 -0,227 -0,209 0,2 4,9 0,541 -0,559 5,0 0,998 -0,297 -0,279 0,4 3,8 5,2 0,157 -1,134 0,175 -1,152 0,1 3,6 5,4 2,129 -0,035 2,112 2,147 2,409 -0,105 2,443 -0,087 2,391 5,8 1,990 -0,419 2,007 3,4 6,0 2,025 -0,262 1,955 6,2 0,314 -1,623 0,279 -1,588 2,9 6,5 1,152 -0,506 1,134 1,117 7,0 0,419 2,7 7,5 0,820 0,803 0,035 8,0 0,593 0,611 8,5 0,070 -0,348 -0,367 9,0 0,140 0,122 -0,244 2,1 9,5 0,297 2,3 4,0 5,7
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ADQUISICIÓN DE DATOS RESULTADOS V ± 0,1 V A1+ ± 0,001 A1- A2+ A2- A3+
ti ± 0,1 s tf 2,0 0,489 0,000 2,1 14,1 2,5 0,087 -0,419 0,7 9,3 3,0 0,017 -0,541 0,035 -0,524 1,4 7,9 3,5 0,663 -0,070 -0,052 -0,005 0,5 5,0 3,8 -0,663 0,9 5,8 4,1 0,698 0,8 5,2 4,4 -0,750 0,6 4,8 4,7 0,175 -0,785 4,3 0,209 -1,012 0,192 0,4 4,0 5,3 -1,606 -1,588 0,1 5,6 1,100 -1,868 1,047 -1,972 -1,792 0,2 3,4 5,9 0,419 -2,234 0,401 -2,217 3,3 6,2 0,908 -1,222 0,838 -1,257 0,890 -1,239 0,3 6,5 1,030 -0,716 1,065 -0,698 2,9 7,0 1,187 1,169 1,152 0,052 7,5 -0,803 2,6 8,0 -0,105 8,5 0,314 -0,157 0,297 -0,140 2,7 9,0 -0,087 0,279 9,5 -0,244 1,0 10,0 -0,175 0,070 1,8
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TRATAMIENTO DE DATOS RESULTADOS ω (s-1) 1,57 0,03 2,19 0,05 2,90 0,09
0,2358 0,0007 0,21% 2,01 0,04 0,2445 0,00% 1,57 0,03 0,2355 2,36 0,06 0,2530 2,19 0,05 0,265 0,002 3,40% 2,77 0,08 0,2792 0,18% 2,90 0,09 0,326 2,61% 3,56 0,13 0,3527 0,0081 9,19% 4,19 0,19 0,3315 3,70 0,14 0,3490 3,85 0,16 0,352 2,56% 0,3810 0,0023 2,36% 4,28 0,3666 0,07% 0,4185 4,5 0,2 0,378 2,25% 4,4 0,4742 0,0044 3,69% 5,0 0,3 0,4105 4,6 0,6048 0,0021 1,41% 5,2 0,457 1,97% 4,8 0,9017 1,00% 5,5 0,5500 1,4798 0,0159 4,29% 5,9 0,4 0,645 1,40% 1,3148 1,33% 6,5 0,658 0,005 2,74% 5,4 1,0590 1,65% 7,0 0,5 1,082 0,004 1,62% 0,8787 0,97% 1,257 1,35% 6,1 0,5673 0,0088 6,17% 7,5 0,6 1,210 6,3 0,4042 4,33% 8,2 0,7 1,123 0,013 4,67% 0,2970 9,0 0,9 0,960 1,82% 6,7 0,2298 0,0043 7,40% 9,9 1,0 0,826 1,03% 0,1862 9,40% 0,547 0,009 6,40% 0,1452 5,86% 11,1 1,3 0,399 0,006 6,52% 0,1165 7,73% 11,8 1,5 0,300 3,01% 8,6 0,8 0,212 4,47% 0,192 9,38% 0,151 5,62% 10,5 1,2 0,1310 Gran cantidad de datos Se calcula a1, a2, a3 Amed, dA Ti, tf, T, w Mejorable períodos
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TRATAMIENTO DE DATOS Coeficiente de amortiguamiento ln θ0 0,71 ± 0,18
RESULTADOS TRATAMIENTO DE DATOS Coeficiente de amortiguamiento ln θ0 0,71 ± 0,18 β (s-1) 1,07 ± 0,10 r 0,992 ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7 B’=0.8 Pocos puntos, poco tiempo
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TRATAMIENTO DE DATOS Imán alejado (x2) Comparación ln θ0 0,71 ± 0,18
RESULTADOS TRATAMIENTO DE DATOS Imán alejado (x2) Comparación ln θ0 0,71 ± 0,18 1,33 ± 0,17 β (s-1) 1,07 ± 0,10 0,77 ± 0,05 r 0,992 0,993 ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7 ln θ0 1,33 ± 0,17 β (s-1) 0,77 ± 0,05 r 0,993 ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 ω0 (s-1) Aquí más puntos, más escala t
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RESULTADOS TRATAMIENTO DE DATOS Restar fondo de resonancia (parámetro adicional) Ajuste ω0 (s-1) 6,35 ± 0,03 β (s-1) 0,51 ± 0,04 ωR (s-1) 6,31 ± 0,03 θ0 (rad) 0,05 ± 0,03 F (s-2) 7,8 ±0,7 r 0,9898 Fondo resonancia + posible error tectao Dos curvas resonancia, sucesión, armónicos resonancia
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TRATAMIENTO DE DATOS Imán amortiguador más alejado (x2) ω0 (s-1)
RESULTADOS TRATAMIENTO DE DATOS Imán amortiguador más alejado (x2) ω0 (s-1) 6,30 ±0,04 β (s-1) 0,46 ±0,08 ωR (s-1) 6,27 ± 0,04 θ0 (rad) 0,01 ± 0,05 F (s-2) 9,4 ±1,3 r 0,972
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TRATAMIENTO DE DATOS Gráfica comparativa - Amortiguamiento ω0 (s-1)
RESULTADOS TRATAMIENTO DE DATOS Gráfica comparativa - Amortiguamiento ω0 (s-1) 6,35 ± 0,03 6,30 ±0,04 β (s-1) 0,51 ± 0,04 0,46 ±0,08 ωR (s-1) 6,31 ± 0,03 6,27 ± 0,04 Mucho más alta la negra, pero apenas diferencia en betas
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RESULTADOS CONCLUSIÓN h/2 h Media ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 6,33 ± 0,03 -1,11% 6,28 ± 0,04 -1,86% 0,36% ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7 6,35 ± 0,03 -2,36% 6,30 ±0,04 -1,59% 1,17% β (s-1) 1,07 ± 0,10 0,51 ± 0,04 52,34% 0,77 ± 0,05 0,46 ±0,08 -10,87% 0,79 ± 0,14 0,62 ± 0,08 22,15% ωR (s-1) 6,3 ± 0,7 6,31 ± 0,03 0,18% 6,27 ± 0,04 -0,64% 6,30 ± 0,7 0,43% Poca diferencia en coeficientes de amortiguamiento Errores ¿Ángulos pequeños? ; Pocos puntos Estado de los muelles del dispositivo Dispersión 2as medidas (frecuencia detección) Mejoras Medida períodos Menor amortiguamiento, más posiciones imán Compatibilidad datos Experimento satisfactorio Q1 = 4,0 ± 0,8 Q2 = 5,2 ± 1,5 Cadena de distancia imanes, ajustar, r3 Muchas medidas 2º peor Si ajustas con más parámetros, b1=0,8, 0.51
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Tipler-Mosca, 5ª Ed. 2005; Ed. Reverté; Vol. 1
BIBLIOGRAFÍA Guión de prácticas del Laboratorio de Mecánica y Ondas, 2º de Física – UVEG, 2008 (Ana Cros, Chantal Ferrer, Andrés Cantarero) Apuntes de Mecánica y Ondas, 2º de Física – UVEG, 2008 (Chantal Ferrer) Tipler-Mosca, 5ª Ed. 2005; Ed. Reverté; Vol. 1 (Universidad País Vasco) Dirección de contacto: Ferhue[a[alumni.uv.es Página Web: 18
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