Métodos Numéricos para Ecuaciones en Derivadas Parciales

Presentación del tema: "Métodos Numéricos para Ecuaciones en Derivadas Parciales"— Transcripción de la presentación:

1 Métodos Numéricos para Ecuaciones en Derivadas Parciales
Cálculo Numérico Práctica 4

2 Métodos numéricos para Ecuaciones en Derivadas Parciales
Resolución de sistemas lineales tridiagonales Factorización de una matriz tridiagonal Resolución de un sistema mediante LU Ecuación de Ondas Método implícito Ecuación de Laplace Método de sobrerrelajación por filas

3 Sistemas lineales tridiagonales
A = L·U

4 Algoritmo de Factorización
function [c,l,u]=clu(c,a,b) n = length(a); l(1) = a(1); for i=2:n u(i-1) = b(i-1)/l(i-1); l(i) = a(i) - c(i-1)*u(i-1); end

5 Resolución de un sistema mediante LU. Archivo croutlu.m
Eliminación y(1)=d(1)/l(1); for i=2:n y(i)=(d(i)-c(i-1)*y(i-1))/l(i); end Sustitución regresiva x(n)=y(n); for i=n-1:-1:1 x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1);

6 Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=G
Introducción EDP de orden 2, lineales de coeficientes constantes. Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=G Ecuación de Ondas utt - c2uxx = 0 Ecuación del Calor ut - cuxx = 0, c>0 Ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 Condiciones iniciales y de contorno

7 Ecuación de Ondas Ecuación de Ondas Condiciones iniciales
Condiciones de contorno Ecuación en diferencias finitas utt = c²uxx , 0 < x < L, t > 0 u(x, 0) = f(x) ut(x, 0) = g(x) u(0,t) = l(t) u(L,t) = r(t)

8 Ejemplo Ecuación: utt = c²uxx , 0 < x < L, t > 0, c = 1, L=T=4 Condiciones iniciales u(x, 0) = 2|x-2|, ut(x, 0) = 0 Condiciones de contorno u(0,t) = 0, u(L,t) = 0 Discretización nx=4, nt=8 L

9 ui,1 = a2 (fi-1+fi+1)/2 + (1-a2)fi + kgi
Método implícito Paso 0º: Condición inicial 1ª ui,0 = fi Paso 1º: Condición inicial segunda ui,1 = a2 (fi-1+fi+1)/2 + (1-a2)fi + kgi Pasos siguientes: ecuación en diferencias (1+a2)ui,j+1 - a2(ui+1,j+1 + ui-1,j+1)/2 = 2ui,j + a2(ui+1,j-1 + ui-1,j-1)/2 - (1+a2)ui,j-1

10 Paso del método implícito
Truco ecuación implícita - a2( ui-1,j-1 + ui-1,j+1)/4 + (1 + a2)(ui,j-1 + ui,j+1)/2 - a2(ui+1,j-1 + ui+1,j+1)/4 = ui,j Sistema Aw = v, v = (u1,j,u2,j,...,unx-1,j)' tridiagonal ui,j+1 = wi - ui,j-1 Factorización LU Lz = v Uw = z

11 Algoritmo: parámetros de entrada
nx, h: nº de intervalos y paso espacial nt, k: nº de intervalos y paso temporal c: coeficiente de la ecuación f, g: vectores columna (nx+1,1) de las condiciones iniciales en los nodos con t = 0 hl, hr: vectores fila (1, nt+1)de las condiciones de contorno en los nodos con x = 0 y x = L, resp.

12 Ejemplo: parámetros de entrada
nx = 4; h=1; x = 0:h:4; x = x(:); nt = 8; k =.5; c = 1; f = 2 - abs(2-x); g = zeros(size(x)); hl = zeros(1, nt+1); hr = zeros(1, nt+1);

13 Algoritmo: Preparación
a2 = (c*k/h)^2; % Parámetro de Courant U = zeros(nx+1,nt+1); % Solución Condiciones de contorno U(1,:) = hl; U(nx+1,:) = hr; Rangos auxiliares de índices L = 1:nx-1; C = 2:nx; R = 3:nx+1;

14 Algoritmo: pasos iniciales
Condición inicial sobre la función (paso 0) U(:,1) = f; Condición inicial sobre la derivada (paso 1) U(C,2) = a2*(f(L) + f(R))/ (1-a2)*f(C) + k*g(C);

15 Algoritmo: construcción y factorización de la matriz
Diagonal principal dp = (1+a2)/2*ones(1, nx-1); Subdiagonal y superdiagonal ds = -a2/4*ones(1, nx-2); Factorización LU [c,l,u]=clu(ds,dp,ds);

16 Algoritmo: paso general
for j = 2:nt % Términos independientes b(1) = a2/4*(hl(j-1)+hl(j+1)); b(nx-1) = a2/4*(hr(j-1)+hr(j+1)); % Resolucion del sistema U(C,j+1) = ... croutlu(c,l,u,U(C,j)+b')'-U(C,j-1); end

17 Ejemplo

18 Ecuaciones elípticas Ecuación de Laplace
uxx + uyy = 0, < x < a, < y <b Condiciones de contorno u(x,0) = f0(x), u(x,b) = f1(x) u(0,y) = g0(y), u(a,y) = g1(y) Discretización

19 Ecuación de Laplace Ecuación en diferencias: a=k/h
a2(ui-1,j + ui+1,j) + ui,j-1 + ui,j+1 - 2(a2+1)ui,j = 0 Matriz del sistema: grande , dispersa Caso h = k : ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 = 4ui,j

20 Algoritmos iterativos por bloques
Iteración por bloques columna Para j = 1, 2, … , ny-1, resolver el sistema Iteración por bloques fila Método implícito de direcciones alternadas

21 Ecuación de Laplace. Ejemplo
uxx+ uyy=0, 0 < x < 1, < y < 1 Condiciones de contorno u(x, 0) = 0, u (x, 1) = 100x u(0, y) = 0, u(1, y) = 100y Discretización h = 0.125, k = 0.25

22 Algoritmo: parámetros de entrada
alfa: paso y / paso x f0, f1: vectores columna (nx+1, 1) de las condiciones de contorno en los nodos con y = 0 e y = b, resp. g0, g1: vectores fila (1, ny+1) de las condiciones de contorno en los nodos con x = 0 y x = a, resp. tol: condición de convergencia maxiter: tope de iteraciones.

23 Ejemplo: parámetros de entrada
h=.125; x = 0:h:1; x = x(:); k=.25; y = 0:k:1; alfa = k/h; f0 = zeros(size(x)); f1 = 100*x; g0 = zeros(size(y)); g1 = 100*y; tol = 5e-2; maxiter = 50;

24 Algoritmo: Preparación
a2 = alfa^2; b2 = 2*(1+a2); m = length(f0); n = length(g0); Estimación inicial U = zeros(n, m); Condiciones de contorno U(:,1) = f0; U(:,n) = f1; U(1,:) = g0; U(m,:) = g1; g n 1 f0 m f1 g1

25 Algoritmo: Construcción y factorización de la matriz
Diagonal principal dp = b2*ones(1, m-2); Subdiagonal y superdiagonal ds = -a2*ones(1, m-3); Factorización LU [c,l,u]=clu(ds,dp,ds);

26 Algoritmo: relajación por columnas
for j = 2:n-1 % Términos independientes b = U(2:m-1, j-1) + U(2:m-1, j+1); b(1) = b(1) + a2*g0(j); b(m-2) = b(m-2) + a2* g1(j); % Resolucion del sistema U(2:m-1, j) = croutlu(c,l,u,b)'; end

27 Algoritmo: iteraciones
incr = tol + 1; iter = 0; while incr > tol & iter < maxiter Actualizar U por columnas Calcular incr Incrementar iter end

28 Ejemplo

29 F I N