Fundamentos Matemáticos del Método de los Elementos Finitos

Presentación del tema: "Fundamentos Matemáticos del Método de los Elementos Finitos"— Transcripción de la presentación:

1 Fundamentos Matemáticos del Método de los Elementos Finitos
Francisco Periago Esparza Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Universidad Politécnica de Cartagena

2 Esquema de la Presentación
Modelización Matemática Mecánica de Fluidos Difusión de Calor Electromagnetismo Elasticidad, etc. etc. Análisis Matemático:El Método Variacional Existencia de Solución Unicidad Dependencia continua respecto de los datos Análisis Numérico:El Método de los Elementos Finitos Descripción del Método Control del Error Simulación Numérica de Elementos Finitos con Matlab

3 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Mecánica de Fluidos

4 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Ecuaciones de Navier-Stokes. Fluidos viscosos incompresibles Claude-Louis Navier(1827) Georges Stokes (1845)

5 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Difusión de Calor

6 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Ecuación del Calor Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

7 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Electrostática

8 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo en el vacío James Clerk Maxwell (1862)

9 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Membrana Elástica Sujeta en el Borde Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos

10 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Elasticidad Lineal. Caso Estático Robert Hooke (1678)

11 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Más modelos….. y ecuaciones en derivadas parciales Etc, etc, etc….

12 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
El Laplaciano Pierre-Simon Laplace ( ) Sir Isaac Newton ( )

13 CONCLUSIONES I Galileo Galilei ( ) La Filosofía está escrita en ese gran libro del universo, que está continuamente abierto para que lo observemos. Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en que está compuesto. Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sóla de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto.

14 CONCLUSIONES II 1. La Modelización Matemática es la mejor herramienta de la que disponemos para entender buena parte de fenómenos físicos que interesan a la Ciencia y la Tecnología. 2. Estos modelos matemáticos se componen de sistemas enormemente complejos de Ecuaciones en Derivadas Parciales que fueron formulados hace muchos pero aún hoy día sigue siendo un reto resolverlos satisfactoriamente. 3. El Método de los Elementos Finitos es uno de los métodos numéricos más usados por la comunidad científica y por la industria para poder resolver numéricamente dichos modelos.

15 SIGLO XX: AÑO 1946 Laurent Schwartz ( ) Teoría de las Distribuciones (1946). Nuevos conceptos de Soluciones de las Ecuaciones en derivadas Parciales John P. Eckert y Johnn W. Mauchly contruyeron en 1946 el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), primer ordenador de la historia METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Richard Courant (1943)

16 SIGLO XXI: Método Científico
1. Modelización Matemática 2. Análisis Matemático 3. Análisis y Simulación Numérica 4. Control, Diseño, etc…

17 ANÁLISIS MATEMÁTICO Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos ( PM ) ( PM ) NO TIENE SOLUCIÓN CLÁSICA!!

18 ¿QUÉ SE PUEDE HACER ENTONCES?
( PM ) ( PV ) Trabajo virtual interno de deformación Trabajo virtual de las fuerzas exteriores

19 ANÁLISIS MATEMÁTICO Paul Dirac ( )

20 ANÁLISIS MATEMÁTICO Teoría de Distribuciones

21 ANÁLISIS MATEMÁTICO Teoría de Distribuciones

22 ANÁLISIS MATEMÁTICO Ejemplos de Distribuciones

23 ANÁLISIS MATEMÁTICO La derivación es una operación válida para cualquier distribución !!!

24 ANÁLISIS MATEMÁTICO ( PM ) ( PV )

25 ANÁLISIS MATEMÁTICO ( PM ) ( PV ) < f,v > a(u,v)

26 ANÁLISIS MATEMÁTICO

27 ANÁLISIS MATEMÁTICO Formulación en Mínima Energía Principio de Mínima Energía Principio de los Trabajos Virtuales Ecuación de Euler-Lagrange

28 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Idea General del MEF

29 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Construcción de los Espacios de Aproximación

30 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Construcción de los Espacios de Aproximación

31 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
El Problema Variacional en los Espacios de Aproximación

32 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
A modo de Resumen MEF Sistema de ecuaciones algebraico

33 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Estructura de la Matriz de Rigidez

34 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Simulación Numérica con Matlab

35 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Ensamblado de la Matriz de Rigidez Ah1 Ah2 Ah3

36 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Control del Error en el MEF Regularidad de la malla Regularidad de la solución débil Grado de los polinomios de interpolación ( PV )

37 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
El caso de las dimensiones 2 y 3 a(u,v) < f,v >

38 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Función de forma en dimensión 2

39 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Problemas Evolutivos. Ecuación del Calor Concepto de solución débil. Se ha de cumplir: Solución del problema discretizado con elementos finitos:

40 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Tras sustituir la solución del problema discretizado en la formulación variacional obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias: incógnita matriz de masa matriz de rigidez término independiente