SEGMENTOS Y ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Material de apoyo.

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1 SEGMENTOS Y ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Material de apoyo

2 1. Definición 1.1 Circunferencia Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro. 1.2 Círculo Región del plano limitado por una circunferencia o o Circunferencia Círculo

3 ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

4 2. Elementos de la Circunferencia y del Círculo 2.1 Radio (r) o r A O : centro de la circunferencia OA: radio = r Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la circunferencia.

5 2.2 Cuerda Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia. AB : Cuerda A B

6 2.3 Diámetro (d) Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Corresponde a la cuerda de mayor longitud. AB: diámetro = d = 2r AB rr d O O : centro de la circunferencia El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferencias iguales, es decir, Arco AB = Arco BA

7 2.4 Secante Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda. A B AB: Cuerda AB: Secante

8 A : Punto de tangencia 2.5 Tangente Recta que intersecta en un sólo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”. O: centro de la circunferencia OA ┴ L OA : radio L A r O

9 2.6 Sagita y Apotema Si el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide al radio en dos segmentos llamados sagita y apotema. O: centro de la circunferencia OA: radio D C A O P sagita PA: sagita OP: apotema En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio P. CP=PD

10 2.7 Arco de circunferencia Corresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj). A B Los puntos A y B de la circunferencia, determinan el arco AB. AB : arco de circunferencia

11 2.8 Sector Circular Corresponde a una fracción del área del círculo determinada por un ángulo del centro (  ). Su perímetro corresponde a 2 radios más la longitud de un arco de circunferencia. Sector circular O : centro de la circunferencia r : radio A B AB : arco de circunferencia

12 B A 2.9 Segmento Circular Es una parte del área del círculo, determinada por una cuerda y un arco de la circunferencia. Segmento circular O : centro de la circunferencia AB : arco de circunferencia AB : cuerda

13 3. Áreas y Perímetros Área círculo =  ∙ r 2 3.1 Área del Círculo Si r es el radio, entonces: Ejemplo: Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm. Solución: Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm. Luego, el área del círculo es: A =  ∙ 10 2 A = 100  cm 2 

14 Perímetro = 2  ∙r 3.2 Perímetro de la circunferencia Perímetro =  ∙ d Si r es el radio y d el diámetro, entonces: Ejemplo: ó Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 15 cm. Solución: P = 2  ∙15  P = 30  cm.

15 Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una fracción del perímetro (2r) o del arco completo (360°). En ambos casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina (). 3.3 Medida de un Arco de Circunferencia AB :arco de circunferencia O:centro de la circunferencia r : r adio Arco 2  r ∙  360 ° = = 

16 3.4 Área y Perímetro de un Sector Circular O : centro de la circunferencia r : radio A B AB : arco de circunferencia A sector ∙  r 2 360 ° = P sector = + 2r P sector 2  r ∙  360 ° + 2r =

17 B A  3.5 Perímetro de un Segmento Circular AB : cuerda AB : arco de circunferencia P segmento = + AB P segmento 2  r ∙  360 ° + AB = Segmento circular O : centro de la circunferencia

18 Ejemplo de aplicación: Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura. O: centro de la circunferencia. Solución: A Sector 80 ∙  ∙4 2 360 ° = A Sector 2 ∙  ∙16 9 = = A Sector 32  9 P sector 2   4 ∙ 80 360 ° + 2∙4 = P sector 16  9 + 8 =

19 1. Teoremas fundamentales (ángulos) 1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende. Ejemplo: Si el arco AB = 40º, entonces  = 40º O : centro de la circunferencia 40°

20 Tiene el vértice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende. Ejemplo: Si el arco AB = 50º, entonces  = 25º 50° Ángulo inscrito:

21 Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito. 22 Además, se cumple que: 

22 Ejemplo: En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB mide 35°. 70° O: centro de la circunferencia

23 1.2 Igualdad de ángulos inscritos Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, éstos son iguales. 

24 1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro. 180° O: centro de la circunferencia

25 1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.   Ejemplo:

26 Un ángulo semi inscrito -en la figura de la derecha marcado con rojo, tiene como uno de sus lados una cuerda de la circunferencia y por otro, un segmento externo y tangente, comparte la misma propiedad que un ángulo inscrito. Es decir, mide la mitad que el ángulo del centro y lo mismo que el ángulo inscrito con los cuales subtienda el mismo arco. Tal como lo ilustra la figura. Un ángulo semi inscrito Ejemplos: