GEOMETRÍA ÁNGULOS ÁNGULO Definición.- Se denomina ángulo a la unión de dos rayos no colineales que tienen el mismo origen. Vértice:A Lados: AB y AC.

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3 GEOMETRÍA

4 ÁNGULOS

5 ÁNGULO Definición.- Se denomina ángulo a la unión de dos rayos no colineales que tienen el mismo origen. Vértice:A Lados: AB y AC Notación: Ángulo BAC:  BAC

6 INTERIOR DE UN ÁNGULO El interior de un ángulo BAC es la intersección del semiplano determinado por AC y que contiene al punto B y el semiplano determinado por AB y que contiene al punto C.

7 EXTERIOR DE UN ÁNGULO Los puntos del plano que no pertenecen ni al ángulo ni a su interior constituyen el exterior del ángulo.

8 POSTULADO DE LA MEDIDA DE UN ÁNGULO Postulado.- A cada ángulo BAC le corresponde un único número real comprendido entre 0 y 180, denominado la medida del ángulo y se denota m  BAC. En la figura: Donde: 0  180 m  BAC= 

9 POSTULADO DE LA CONSTRUCCIÓN DEL ÁNGULO Postulado.- Si es un rayo de la arista del semiplano H y  es un número real tal que, entonces existe un único rayo con tal que.

10 POSTULADO DE LA ADICIÓN DE ANGULOS Postulado.- Si un punto D pertenece al interior de un ángulo BAC, entonces m  BAD+m  DAC=m  BAC. En la figura: m  BAC=  + 

11 ÁNGULOS ADYACENTES Definición.- Dos ángulos se denominan adyacentes si tienen el vértice y un lado común y los interiores de los ángulos son disjuntos. En la figura: Los ángulos AOB y BOC son adyacentes

12 ÁNGULOS CONSECUTIVOS Definición.- Tres o más ángulos se denominan consecutivos si son dos a dos adyacentes. En la figura: Los ángulos AOB, BOC y COD son consecutivos.

13 ÁNGULOS CONGRUENTES Definición.- Dos ángulos son congruentes si tienen medidas iguales. Notación: Si los ángulos AOB y PQR son congruentes, entonces se denota:  AOB  PQR

14 BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Definición.- Dado un ángulo AOB y P un punto en su interior, el rayo OP se denomina bisectriz del ángulo AOB sí  AOP  POB. En la figura: P es un punto interior del ángulo AOB y los ángulos AOP y POB son congruente, entonces OP: Bisectriz del  AOB

15 PAR LINEAL Definición.- Dos ángulos forman un par lineal si son adyacentes y los lados no comunes son rayos opuestos. En la figura: Los ángulos BAC y BAD forman un par lineal.

16 POSTULADO DEL SUPLEMENTO Postulado.- Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. En la figura:  +  =180

17 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

18 ÁNGULO AGUDO Si la medida del ángulo es menor que 90 En la figura:   90

19 ÁNGULO RECTO Si la medida del ángulo es igual a 90.

20 ÁNGULO OBTUSO Si la medida del ángulo es mayor que 90 En la figura:   90

21 RECTAS PERPENDICULARES

22 Definición.- Dos rectas son perpendiculares si determinan un ángulo recto. Notación: Si las rectas L 1 y L 2 son perpendiculares, entonces se denota Nota.- Dos segmentos son perpendiculares si las rectas que los contienen son perpendiculares. L1  L2L1  L2L1  L2L1  L2 L1  L2L1  L2L1  L2L1  L2

23 MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Definición.- La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento en su punto medio. En la figura: L : Mediatriz de AB

24 ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE

25 POSTULADO DE EUCLIDES Postulado.- Dado un punto P exterior a una recta L, entonces existe solo una recta paralela a L que contiene al punto P. En la figura: Si P es un punto exterior a L, entonces  L / P  L y L // L

26 ÁNGULOS ALTERNOS Teorema.- Los ángulos alternos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante son congruentes. En la figura: L//L Si L 1 //L 2, entonces                  

27 ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Teorema.- Los ángulos correspondientes determinados por dos rectas paralelas y una recta secante son congruentes. En la figura: L//L Si L 1 //L 2, entonces                  

28 PROBLEMAS

29 PROBLEMA 1 Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.El ángulo está formado por dos rayos que tienen un origen común. II.La medida de un ángulo es menor a 180 y mayor a 0. III.En un par lineal, la suma de las medidas de los ángulos es 180. A) VVVB) VFVC) VFF D) FVVE) FVF

30 PROBLEMA 2 Dado los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que el ángulo AOD es recto. Si m  BOC=50, entonces la suma de las medidas de los ángulo AOC y BOD es A) 150B) 100C) 110 D) 120E) 140

31 PROBLEMA 3 Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC talque el ángulo AOC mide 80. Si los rayos OX, OY, OM, y ON son bisectrices de los ángulos AOB, BOC, AOY y XOC respectivamente, entonces ¿Qué medida tiene el ángulo MON? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25

32 PROBLEMA 4 Dado los ángulos AOB y BOC que forman un par lineal, se ubica M un punto interior del ángulo BOC, tal que los ángulos AOM y BOM son suplementarios. Si los ángulos BOC y BOM son complementarios, entonces la medida del ángulo BOM es A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 45

33 PROBLEMA 5 En la figura mostrada L 1 //L 2. Si  =60, entonces el valor de x es A) 15B) 20C) 30 D) 40E) 60

34 BIBLIOGRAFÍA

35 BIBLIOGRAFÍA  Moise – Downs(1966). Geometría Moderna. 1ª edición. Editorial Addison Wesley publishing company Inc. The United States of America.  Helfgott, M. (1992). Geometría Plana. Editorial Escuela Activa S.A. Lima – Perú.  Vega, F. (1961). Matemática Moderna 4. Editorial Colegio Militar Leoncio Prado. Lima – Perú.