Ecuaciones Diferenciales Tema 1: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer Orden EDO Exactas.

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2 Ecuaciones Diferenciales Tema 1: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer Orden EDO Exactas

3 Ecuaciones diferenciales exactas Se dice que P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si existe una función constante U(x, y) cuya diferencial sea dicha ecuación: dU(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy Es decir:  U(x, y)/  x = P(x, y) y  U(x, y)/  y = Q(x, y) En tal caso, la función se llama función potencial de la ecuación diferencial. P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si y sólo si P y Q son funciones continuas y se verifica:  P/  y =  Q/  x

4 Ecuaciones diferenciales exactas  Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas 1. (2xy 3 – 4x 3 y 2 ) dx + (3x 2 y 2 – 2x 4 y) dy = 0 2. (2x 3 + 3y) dx + (3x + y – 4) dy = 0

5 Solución de las Ecuaciones diferenciales exactas

6 La ecuación de la forma tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0 y por consiguiente la solución: u(x,y) = c si cumple la condición de Euler: En tal caso y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x: y se puede determinar c(y) derivando Solución de las Ecuaciones diferenciales exactas

7 Ejemplo: La siguiente ED Es exacta puesto que Integrando respecto a x Es decir, Derivando respecto a y De donde Finalmente la solución general es Ecuaciones diferenciales exactas

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15 Ejercicios Propuestos de Ecuaciones diferenciales exactas