Tema 3: Ecuaciones Diferenciales. Ordinarias

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1 Tema 3: Ecuaciones Diferenciales. Ordinarias
Cálculo II (Grado en Ingeniería en Diseño Industrial y Desarrollo de Productos) Departamento de Matemáticas

2 Índice Introducción. Conceptos básicos. Interpretación geométrica
Ecuaciones diferenciales de primer orden. Definición Ecuaciones de variables separadas Ecuaciones homogéneas Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones lineales Ecuación de Bernouilli Trayectorias ortogonales Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Ecuaciones diferenciales lineales completas.

3 Introducción El concepto de derivada está relacionado con la variación que experimenta una función al variar su posición inicial. ¿Existe algún proceso de la vida real que no implique un cambio? Velocidad v Nivel del agua h Piedra en caída libre y’’ = g = constante Paracaidista mv’ = mg – bv2 Salida de agua h’ = – kh1/2

4 Introducción Masa oscilatoria en un resorte my’’ + ky = 0
Resistencia Conden- sador Fuerza Electromotriz Desplaza-miento y Inductor Masa oscilatoria en un resorte my’’ + ky = 0 Movimiento vibratorio y’’ + 02y = cost, 0 =  Corriente I en un circuito RLC LI’’ + RI’ + I/C = E’ Modelo depredador-presa de Lotka-Volterra y1’ = ay1 – by1y2 y2’ = ky1y2 – ly2 Deformación de una viga EIyiv = f(x) Péndulo L ’’ + g sen = 0

5 Introducción Todo proceso se puede modelar con una ecuación que está relacionada con la derivada de una función. Esta ecuación que contiene derivadas se llama ecuación diferencial. Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más variables independientes, la función que depende de ellas y una o más derivadas de esa función. Ecuación diferencial ordinaria (una variable independiente) Ecuación en derivadas parciales (más de una variable independiente)

6 Ecuación Diferencial Ordinaria
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es toda ecuación que establece una relación entre una variable independiente x  , una función suya y = f (x) y las derivadas de ésta: y’, y’’, etc. Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la máxima derivada que interviene en la ecuación. Se llama grado de una ecuación diferencial ordinaria al grado (exponente) de la máxima derivada que interviene en la ecuación, salvo que se diga otra cosa.

7 Ecuación Diferencial Ordinaria
Existen tres problemas en el estudio de las ecuaciones diferenciales: Comprobar que un haz de curvas es la solución de una ecuación diferencial dada. Hallar la ecuación diferencial correspondiente a un haz de curvas. Resolver una ecuación diferencial.

8 Interpretación geométrica de la solución de una EDO
Resolver una ecuación diferencial es hallar la función y = f (x) que la verifica. Gráficamente, la solución de una EDO representa el haz de curvas que satisface dicha ecuación. La solución de una EDO depende de tantos parámetros como sea su orden. Ejemplo 1.1 Dada la EDO xy’ + y = 0, comprobar que y = C/x es su solución e indicar qué representa.

9 Interpretación geométrica de la solución de una EDO

10 Interpretación geométrica de la solución de una EDO
Ejemplo 1.2 Comprobar que y + e y = (x + C)e – x es la solución de la EDO y + e y  e –x + (1 + e y) y’ = 0. Ejemplo 1.3 Comprobar que y = C1e x + C2e – x + e x (x 2  x) es la solución de la EDO y’’  y = 4xe x e indicar qué representa. Solución implícita Solución explícita

11 Interpretación geométrica de la solución de una EDO

12 Interpretación geométrica de la solución de una EDO

13 EDO asociado a un haz de curvas
Dada una función y = y (x) que depende de n parámetros Ci, para hallar la EDO que verifica dicha función se deriva ésta tantas veces como parámetros haya y se eliminan los mismos en el sistema resultante. Ejemplo 1.4 Hallar la ecuación diferencial cuya solución es e x tgy = Ce x + x + 1. Ejemplo 1.5 Hallar la ecuación diferencial que verifica la función y = C1e x + C2xe x + x 2 + 3x + 5.

14 Clasificación de una EDO
Atendiendo a su orden de derivación: Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior al primero Atendiendo a la forma de la ecuación diferencial, las EDO de primer orden se clasifican en: De variables separadas (o separables) Homogéneas Exactas. Reducibles a exactas (factor integrante) Lineales. De Bernouilli Etc. Una EDO de primer orden puede estar expresada en forma implícita F (x, y, y’) = 0 o explícita y’ = f (x, y). No se estudiará en este curso las condiciones para que una EDO tenga solución.

15 Ecuaciones de variables separadas
Son todas las ecuaciones de la forma: f (x) dx + g (y) dy = 0 Para resolverla basta con integrarla directamente. Ejemplos: cos(x) dx + y2 dy = 0 xy dx + (x2 + 1) (y2 + 1) dy = 0

16 Ecuaciones homogéneas
Una función f (x, y) es homogénea de grado k con respecto a x e y si f (x, y) = k f (x, y). Ejemplo: Comprobar que la función es homogénea y hallar su grado. Una EDO de primer orden y’ = f (x, y) es homogénea si la función f (x, y) es homogénea de grado 0 con respecto a x e y. f (x, ux) = xk g(u).

17 Ecuaciones homogéneas
Si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homogéneas de grado 0 respecto a x e y, la ED P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es homogénea. Para resolver una ED homogénea se hace el cambio de variable y =ux y se obtiene una ED de variables separadas. Ejemplos: (x + y) dx + x dy = 0 (x + 3y) dx + (y – x) dy = 0

18 Ecuaciones diferenciales exactas
Se dice que P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si existe una función constante U(x, y) cuya diferencial sea dicha ecuación: dU(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy Es decir: U(x, y)/x = P(x, y) y U(x, y)/y = Q(x, y) En tal caso, la función se llama función potencial de la ecuación diferencial. P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si y sólo si P y Q son funciones continuas y se verifica: P/y = Q/x

19 Ecuaciones diferenciales exactas
Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas y resolverlas: (2xy3 – 4x3y2) dx + (3x2y2 – 2x4y) dy = 0 (2x3 + 3y) dx + (3x + y – 4) dy = 0

20 Factor integrante Supongamos que P dx + Q dy = 0 no es una ecuación diferencial exacta, pero que al multiplicarla por cierta función  (x, y), la ecuación resultante P dx + Q dy = 0 sí es exacta. La función  recibe el nombre de factor integrante de la ecuación diferencial dada. Puesto que P dx + Q dy = 0 es una ecuación diferencial exacta, se verifica:

21 Factor integrante Por lo tanto, para obtener un factor integrante para una ecuación diferencial no exacta P dx + Q dy = 0 habría que resolver la ecuación en derivadas parciales siguiente: En general, esta EDP es muy difícil de resolver, salvo en algunos casos en los cuales se le impone alguna condición a .

22 Factor integrante Si se le exige a  que sea función sólo de x, entonces Q/y = 0 y la EDP anterior se reduce a: Al ser  una función sólo de x, entonces ’ también. Por lo tanto: La condición para que la ED P dx + Q dy = 0 posea un factor integrante es que el cociente – (Q’x – P’y)/Q sea sólo función de la variable x.

23 Factor integrante Integrando: obtenemos:

24 Factor integrante

25 Factor integrante Resolver la ecuación (x2 – y3 – x) dx + xy2 dy = 0 sabiendo que posee un factor integrante que es función sólo de x. Resolver la ecuación (exy2 – 8xy4 + y) dx – (exy + 4x2y3 + 2x) dy = 0 sabiendo que posee un factor integrante que es función sólo de y. Resolver la ecuación (4x2 – xy + y2) dx + (x2 – xy + 4y2) dy = 0 sabiendo que posee un factor integrante que es función sólo de (x + y). Resolver la ecuación (x2y3 + y) dx + (x – x3y2) dy = 0 sabiendo que posee un factor integrante que es función sólo de xy.

26 Ecuaciones lineales Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado en y y en y’ es una ecuación diferencial lineal. Por lo tanto, tiene la forma: y’ + f (x) y = g (x) Teorema: La solución de la ecuación diferencial lineal y’ + f (x) y = g (x) es la función:

27 Ecuaciones lineales Resolver las ecuaciones lineales siguientes:
y’ – tg (x) y = 3e– sen(x) y’ + (2/x) y = ex y’ – 3x2y = 6x2 y’ + (1/x) y = sen(x) Hay tres formas de resolver la ecuación diferencial lineal y’ + f (x) y = g (x): Mediante la fórmula del Teorema anterior Multiplicando por el factor integrante Aplicando el método de variación de constantes

28 Ecuación de Bernouilli
Es toda ecuación diferencial de la forma: y’ + f (x) y = g (x) yn El cambio de variable y– (n–1) = t la transforma en una ecuación diferencial lineal. Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: y’ – (1/x) y = –y2

29 Trayectorias Ortogonales
Sea y = f (x, C) un haz de curvas. Decimos que el haz de curvas y = g (x, K) forma un haz de trayectorias isogonales de y = f (x, C) si cada una de sus curvas corta a una curva de y = f (x, C) según un ángulo  constante. y = f (x, C) y = g (x, K) Los haces de trayectorias isogonales más comunes son los de trayectorias ortogonales.

30 Trayectorias Ortogonales
Si las rectas: y = mx+n e y = m’x+n’ son ortogonales, entonces: Para hallar el haz de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = f (x, C), basta hallar la ecuación diferencial de dicho haz: y’ = F (x) y resolver la ecuación diferencial de primer orden: y = f (x, C) y = g (x, K) y = mx+n y = m’x+n’) Hallar las trayectorias ortogonales del haz de parábolas y = Cx2. Hallar el haz de trayectorias ortogonales a y = Ce x.

31 Ecuaciones diferenciales de orden superior
Se dice que una EDO es de orden superior si su orden es mayor que el primero. Sólo veremos las EDO de orden superior lineales, que son aquellas en las que tanto y como sus sucesivas derivadas: y’, y’’, y’’’, … son de primer grado. Podemos expresar la ecuación anterior como: P(D)(y) = f (x) siendo P(D) un polinomio en D de grado n y D el operador simbólico: D = d/dx an = 1

32 Wronskiano Dadas n funciones derivables de una variable independiente: f1(x), f2(x), … , fn(x), se define el Wronskiano como el determinante funcional:

33 Funciones linealmente independientes
Teorema: Sean f1(x), f2(x), … , fn(x), n funciones derivables, entonces f1(x), f2(x), … , fn(x) son linealmente independientes si su wronskiano es no nulo, x  . Ejemplo: Comprobar que las funciones: f1(x) = x2  1, f2(x) = 3x2 + x + 1 f3(x) = x + 3 son linealmente independientes.

34 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas
Una ecuación diferencial lineal P(D)(y) = f (x) se dice que es homogénea o incompleta si f (x) = 0. Es decir, si es de la forma: P(D)(y) = 0. Teorema: Toda combinación lineal de soluciones linealmente independientes de una EDLH es también solución de dicha ecuación. Por lo tanto, si y1, y2, …, yn son soluciones linealmente independientes de la EDLH P(D)(y) = 0, también será solución la función: C1 y1 + C2 y2 + … + Cn yn

35 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas
Teorema: Toda EDLH de orden n tiene exactamente n soluciones linealmente independientes. Definición: Se llama función característica de la EDLH P(D)(y) = 0 a la ecuación polinómica P(r) = 0. Sus soluciones se llaman soluciones características de la ecuación diferencial correspondiente. Teorema: Si r = a es solución característica entonces eax es solución de la ecuación diferencia.

36 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas
Dado que un polinomio de grado n puede admitir soluciones reales o complejas, y éstas pueden ser simples o múltiples, se presentan también cuatro tipos de soluciones de la EDLH.

37 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas
Si r = a es solución característica simple, entonces y = eax es solución de la EDLH. Si r = a es solución característica de orden k, entonces y = xieax, i = 0, 1, 2, k  1 son soluciones linealmente independientes de la EDLH. Si r = a  ib es solución característica simple, entonces y = eax (C1cos(bx) + C2sin(bx)) es solución de la EDLH. Si r = a  ib es solución característica de orden k, entonces la solución correspondiente de la EDLH es:

38 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: y’’’ – 2y’’ – 5y’ + 6y = 0 y’’’ – 6y’’ + 12y’ – 8y = 0 y’’ – 8y’ + 20y = 0 (D2 + 2D +10)2y = 0

39 Ecuaciones Diferenciales Lineales Completas
Una ecuación diferencial lineal completa es una ecuación diferencial de la forma Supondremos que los coeficientes ai son constantes y que ai = 1, por lo que dicha ecuación puede expresarse en forma simbólica como P(D)(y) = f (x). La solución de la ecuación diferencial que depende del término independiente f (x) la llamaremos solución particular de la ED.

40 Ecuaciones Diferenciales Lineales Completas
Si llamamos yH a la solución de la ecuación diferencial homogénea e yP a la solución particular de la ecuación completa, es evidente que y = yH + yP es solución de la ecuación completa puesto que P(D)(yH + yP) = P(D)(yH) + P(D)(yP) = P(D)(yP) = f (x) La función yH + yP se llama solución general de la ED. Existen muchos métodos para hallar la solución particular de la ED, cada uno de ellos con sus ventajas e inconvenientes.

41 Método de los coeficientes indeterminados o de tanteo
Consiste en ensayar una solución particular de forma semejante a la función f (x), pero de coeficientes desconocidos que se calcularán al sustituir dicha función en la ED propuesta. Se distinguen diferentes casos en función de la función f (x) del término independiente.

42 Método de los coeficientes indeterminados o de tanteo
Si f (x) = eax P(x) siendo P(x) un polinomio de grado n y a no es solución característica. La solución particular es de la forma yP = eax Q(x) siendo Q(x) un polinomio del mismo grado que P(x) y coeficientes indeterminados. Si f (x) = eax P(x) siendo P(x) un polinomio de grado n y a es solución característica de orden k. Se ensaya la misma solución que en el caso anterior, pero multiplicada por xk, es decir: yP = eax Q(x) xk

43 Método de los coeficientes indeterminados o de tanteo
3. Si f (x) = eax sen(bx) o f (x) = eax cos(bx) y a+ib no es solución característica. Se ensaya la solución yP = eax (m cos(bx) + n sen(bx)) siendo m y n coeficientes indeterminados. 4. Si f (x) = eax sen(bx) o f (x) = eax cos(bx) y a+ib es solución característica de orden k. Se ensaya la misma solución que en el caso anterior, pero multiplicada por xk, es decir: yP = eax (m cos(bx) + n sen(bx)) xk

44 Método de los coeficientes indeterminados o de tanteo
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: y’’ – 3y’ – 4y = ex (6x2 – 4x +1) y’’ + 3y’ + 2y = 4x2 – 5x +1 y’’’ – 3y’ + 2y = ex (3x2 – x) y’’’ – 2y’’ = x2 – x – 3 y’’ – y’ – 6y = 78ex cos(3x) y’’ – 2y’ – 3y = 25 cos(4x) y’’ – 2y’ + 5y = 8ex sin(2x) y’’ + 9y = 6 cos(3x)

45 Método de variación de constantes
El método de los coeficientes indeterminados, para el cálculo de la solución particular de la ecuación completa, tiene el inconveniente de que no es práctico si el término independiente es el producto de tres o más funciones, es el cociente de dos, no es una función continua en , etc. En esos casos es preferible aplicar el método de variación de constantes. Estudiaremos su aplicación a ED de segundo grado, aunque el método es fácilmente extensible a ED de orden superior.

46 Método de variación de constantes
Sea la ED y’’ + ay’ + by = F(x) y supongamos que su solución homogénea es yH = C1 f1(x) + C2 f2(x). Suponiendo que los coeficientes C1 y C2 son funciones de x, la derivada de esta función es y’ = (C1’ f1(x) + C1 f1’(x)) + (C2’ f2(x) + C2 f2’(x)) = (C1 f1’(x) + C2 f2’(x)) + (C1’ f1(x) + C2’ f2(x)) Si anulamos el segundo paréntesis entonces C1’ f1(x) + C2’ f2(x) = 0, con lo que sólo queda y’ = C1 f1’(x) + C2 f2’(x). Derivamos nuevamente esta función y resulta …

47 Método de variación de constantes
y’’ = (C1’ f1’(x) + C1 f1’’(x)) + (C2’ f2’(x) + C2 f2’’(x)) = (C1 f1’’(x) + C2 f2’’(x)) + (C1’ f1’(x) + C2’ f2’(x)) Si sustituimos las expresiones de y, y’ e y’’ en la ecuación dada, puesto que y es solución de la ecuación homogénea, la suma de los términos que no contienen Ci’ es nula, por lo que sólo queda la ecuación C1’ f1’(x) + C2’ f2’(x) = F(x) Resulta así el sistema: C1’ f1(x) + C2’ f2(x) = 0 C1’ f1’(x) + C2’ f2’(x) = F(x)

48 Método de variación de constantes
Resolvemos el sistema: C1’, C2’ Integramos las ecuaciones resultantes: C1, C2 Sustituimos C1 y C2 en la función homogénea: solución general de la ED propuesta Ejemplos: Resolver las siguientes ED: y’’ + y = sec x y’’ – 4y’ + 4y = e2x x cos x

49 La ecuación de Euler-Cauchy
Es una ecuación diferencial de coeficientes variables de la forma: Se reduce a una ecuación diferencial lineal de coeficientes constante mediante el cambio de variable x = et. Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: x2y’’ – xy’ + y = 6x + 5

50 Curvas particulares de un haz
La solución de una ecuación diferencial representa el haz de curvas que verifica dicha ecuación. Si se imponen ciertas condiciones a ese haz se puede obtener una curva particular del mismo. Estas condiciones pueden ser dadas en puntos específicos (xi, yi) por los que debe pasar la curva o en el origen y (0), y’(0), etc. En todo caso, el número de condiciones ha de coincidir con el orden de la ED.

51 Curvas particulares de un haz
Hallar la curva que pasa por los puntos (0,0) y (1,2) y verifica la ecuación diferencial: y’’ – 3y’ + 2y = 4x – 8 Hallar la curva solución de la ecuación diferencial y’’ – 2y’ + 2y = 2x2 que verifica las condiciones: y (0) = – 1, y’(0) = 1.

52 Bibliografía Cálculo II. Sergio Falcón Santana. El Libro Técnico. Las Palmas de Gran Canaria, ISBN: Cálculo y Geometría Analítica, Vol. 2, 3ª Ed. Larson, R.E.; Hostetler, R .P. McGraw-Hill, Madrid, ISBN: X Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Vol. I (3º Edición). Erwin Kreyszig. Limusa Wiley. ISBN: