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DIFERENCIA DE CUADRADOS
Existe entre los productos especiales uno muy utilizado: ๐๐ ๐ 25 ๐ฅ 2 โ81= โ ๐๐ ๐ ๐ด+๐ต ๐ดโ๐ต = ๐ด 2 +๐ด๐ตโ๐ด๐ตโ ๐ต 2 ๐ด+๐ต ๐ดโ๐ต = ๐ด โ ๐ต 2 ๐๐ 2 ๐ 2 Diferencia Cuadrado del primer monomio Cuadrado del primer monomio Diferencia ๐ฅ 4 โ 36= โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ 2 6 2 Diferencia VOLVER
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CASO DE FACTOREO. JUSTIFICACIรN
Ejemplos + Ejercicio: identifica el caso de factoreo que se debe aplicar y completa la factorizaciรณn POLINOMIO 4 ๐ฅ 2 +12๐ฅ+9= 4 ๐ฅ 2 โ9= 2 ๐ฅ 3 โ3 ๐ฅ 2 = 8๐ฅ 3 โ36 ๐ฅ 2 +54๐ฅโ27= 4 ๐ฅ 2 โ12๐ฅ+9= 16 ๐ฅ 2 โ81= 6 ๐ฅ 3 โ9 ๐ฅ 2 +4๐ฅโ6= 8๐ฅ ๐ฅ 2 +54๐ฅ+27= 4 ๐ฅ 3 +6 ๐ฅ 2 โ6๐ฅโ9= โ 8๐ฅ ๐ฅ 2 โ54๐ฅ+27= 14 ๐ฅ 2 +21๐ฅ= FACTORIZACIรN CASO DE FACTOREO. JUSTIFICACIรN ๐๐+๐ 2 ๐๐ถ๐: ๐๐ ๐๐ ๐+ ๐ 2 (๐๐ฑ+๐)(๐๐ฑโ๐) D๐ถ: ๐๐ 2 โ ๐ 2 ๐ ๐ .(2xโ3) ๐น๐ถ:2. ๐ ๐ . ๐ฅโ3 ๐ ๐ (๐๐ ๐ +๐).(2xโ3) ๐น๐ถ๐บ: 2.๐๐ ๐ ๐ฅโ3.๐ ๐ ๐ +๐.2๐ฅโ2.3 โ๐๐+๐ 3 ๐ถ๐ถ๐: โ๐๐ โ๐๐ 2 .๐+3. โ๐๐ . ๐ 2 + ๐ 3 RESOLVER VOLVER
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DIVISIBILIDAD Si P(x) es divisible por ๐ฅโ๐ entonces R=0
5 ๐ฅ 4 โ3 ๐ฅ 3 +2 ๐ฅ 2 โ7๐ฅ+3 es divisible por ๐ฅ+1 ya que: Si P(x) es divisible por ๐ฅโ๐ entonces R=0 entonces P( ๐ ) = 0 entonces x =๐ es raรญz de P(x) EJEMPLO x = -2 es raรญz de Q(x) = ๐ฅ 3 โ3๐ฅ+2 ya que Q(-2)=0 Segรบn el Teorema del resto: el resto de Q(x) : ๐ฅ+2 es R = Q(-2) y Q(-2)= 0 entonces el resto es 0 Entonces Q(x) es divisible por ๐ฅ+2 En consecuencia el polinomio se puede expresar como productos del divisor por el cociente Q(x) = ๐ฅ+2 (5 ๐ฅ 3 +2 ๐ฅ 2 +4๐ฅโ3) Si P(x) tiene una raรญz ๐ฅ=๐ entonces tiene un divisor ๐ฅโ๐ y en consecuencia se lo quede escribir en forma de producto โ๐ ๐ฅ = ๐ฅโ๐ .๐ถ(๐ฅ) VOLVER
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SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO (IMPAR)
๐ฅ 3 โ8= ๐ฅโ2 .(๐ฅ 2 +2๐ฅ+4) ๐ฅ 3 +27= ๐ฅโ3 .(๐ฅ 2 โ3๐ฅ+9) CA Buscar raรญces ๐ฅ 3 โ8=0 ๐ฅ 3 =8 ๐ฅ= ๐ฅ=2 Divisor: ๐ฅโ2 Obtener el cociente ( ๐ฅ 3 โ8):(๐ฅโ2) โ8 | ๏ฎCociente ๐ฅ 2 +2๐ฅ+4 Si ๐ ๐ฅ : ๐ฅโ2 = ๐ฅ 2 +2๐ฅ+4 entonces ๐ ๐ฅ = ๐ฅโ2 .( ๐ฅ 2 +2๐ฅ+4) CA Buscar raรญces: ๐ฅ 3 +27=0 ๐ฅ 3 =โ27 ๐ฅ= 3 โ27 ๐ฅ=โ3 Divisor: ๐ฅ+3 Obtener el cociente ( ๐ฅ 3 +27):(๐ฅ+3) | ๏ฎCociente ๐ฅ 2 โ3๐ฅ+9 Si ๐ ๐ฅ : ๐ฅ+3 = ๐ฅ 2 โ3๐ฅ+27 entonces ๐ ๐ฅ = ๐ฅ+3 .( ๐ฅ 2 โ3๐ฅ+9) VOLVER
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Ejercicios: unir cada igualdad con el factor que le falta y escribe la igualdad completa
๐ฅ 3 +1= ๐ฅ+1 ๐ฅ 5 โ32=(๐ฅโ2) ๐ฅ 3 โ1= ๐ฅโ1 ๐ฅ 3 +8= ๐ฅ+2 ๐ฅ 5 +32=(๐ฅ+2) (๐ฅ 2 โ2๐ฅ+4) (๐ฅ 2 โ2๐ฅ+4) (๐ฅ 4 โ2 ๐ฅ 3 +4 ๐ฅ 2 โ8๐ฅ+16) ( ๐ฅ 4 +2 ๐ฅ 3 +4 ๐ฅ 2 +8๐ฅ+16) (๐ฅ 2 โ๐ฅ+1) (๐ฅ 2 +๐ฅ+1) (๐ฅ 4 โ2 ๐ฅ 3 +4 ๐ฅ 2 โ8๐ฅ+16 ( ๐ฅ 4 +2 ๐ฅ 3 +4 ๐ฅ 2 +8๐ฅ+16) (๐ฅ 2 โ๐ฅ+1) (๐ฅ 2 +๐ฅ+1) (๐ฅ 2 +๐ฅ+1) ๐ฅ+1 ๐๐ ๐๐๐ฃ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฅ 3 +1 ya que Resto = P(-1)= โ =0 Ya tenemos el divisor : x+1 Calculo del cociente (๐ฅ 3 +1): ๐ฅ+1 โ ๐ถ๐๐๐๐๐๐ก๐ =๐ฅ 2 โ๐ฅ+1 ๐๐ (๐ฅ 3 +1): ๐ฅ+1 = ๐ฅ 2 โ๐ฅ+1 โ ๐ฅ 3 +1= ๐ฅ+1 . (๐ฅ 2 โ๐ฅ+1) RESOLVER VOLVER
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TRINOMIO DE GRAD0 2 ๐ ๐ฅ 2 +๐๐ฅ+๐ Denominamos trinomio de grado dos a los de la forma: Para factorizar se buscaran las raรญces 2 ๐ฅ ๐ฅ =0 usaremos la fรณrmula resolvente ๐ฅ 1,2 = โ7ยฑ โ ๐ฅ 1 = โ ๐ฅ 2 = โ7โ ๐ฅ 1 =โ ๐ฅ 2 =โ3 Divisores: ๐ฅ ๐ฆ ๐ฅ + 3 Obtenciรณn de los cocientes si se divide por ๐ฅ โ cociente 2๐ฅ +6 y se divide ๐ฅ + 3 cociente 2 Ejemplo: 2 ๐ฅ ๐ฅ ๐=2 Coef. principal ๐=7 Coef. lineal ๐=3 tรฉrm. Independ. 2 ๐ฅ ๐ฅ + 3 (๐ฅ ) . (2๐ฅ +6) (๐ฅ ) . 2(๐ฅ +3) 2 ๐ฅ ๐ฅ (๐ฅ )(๐ฅโ3) Los trinomios de grado dos son igual al entre el coeficiente principal y los binomios de la forma variable menos la raรญz ๐ ๐ ๐ +๐๐+๐ =๐(๐ โ ๐ ๐ )(๐โ ๐ ๐ ) VOLVER
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Coeficientes: ๐=5 ๐=โ6 ๐=4
Ejemplos: Como factorizar un trinomio de grado dos: ๐ ๐ฅ 2 +๐๐ฅ+๐=๐(๐ฅโ ๐ฅ 1 )(๐ฅโ ๐ฅ 2 ) ๐ฅ 2 โ6๐ฅ+9= 3 ๐ฅ 2 +2๐ฅโ8= 5๐ฅ 2 โ6๐ฅ+4= ๐ฅ+ 3 8 = 3 ๐ฅโ1 = 1 ๐ฅโ3 ๐ฅโ3 = ๐ฅโ3 2 = polinomio primo Coeficientes: ๐=3 ๐=2 ๐=โ8 Raรญces: 3 ๐ฅ 2 +2๐ฅโ8=0 ๐ฅ 1,2 = โ2ยฑ โ4.3(โ8) 2.3 ๐ฅ 1,2 = โ7ยฑ 49โ24 6 ๐ฅ 1 =โ ๐ฅ 2 =1 Divisores: (๐ฅโ(โ 8 3 )) y (๐ฅโ1) Coeficientes: ๐=1 ๐=โ6 ๐=9 Raรญces: ๐ฅ 2 โ6๐ฅ+9=0 ๐ฅ 1,2 = 6ยฑ (โ 6) 2 โ ๐ฅ 1,2 = 6ยฑ 36โ36 6 ๐ฅ 1 = ๐ฅ 2 =3 ยซraรญces doblesยป Divisores es dos veces divisible por (x โ 3 ) Coeficientes: ๐=5 ๐=โ6 ๐=4 Raรญces: 5 ๐ฅ 2 โ6๐ฅ+4=0 ๐ฅ 1,2 = 6ยฑ (โ6} 2 โ ๐ฅ 1,2 = 6ยฑ 36โ40 10 ๐ฅ 1,2 = 6ยฑ โ4 10 No tiene soluciรณn real no existen raรญces Divisores: no tiene VOLVER
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Al trinomio โ ๐ฅ 2 +๐ฅ+6 Se factorea
โ(๐ฅ+3)(๐ฅโ2) โ(๐ฅโ3)(๐ฅโ2) โ(๐ฅโ3)(๐ฅ+2) Cual de los polinomios tiene raรญces dobles ๐ฅ 2 โ2๐ฅ + 2 ๐ฅ 2 โ2๐ฅ+1 ๐ฅ 2 โ2๐ฅโ1 Uno de estos polinomios no tiene por raรญces a ๐ฅ= y x=โ2 6 ๐ฅ 2 +8xโ8 โ3 ๐ฅ 2 โ4x+4 6 ๐ฅ 2 +16xโ8 Cual de los siguientes polinomios es primo โ ๐ฅ 2 +7xโ8 ๐ฅ 2 +2x+4 ๐ฅ 2 โ4x+4 Ejercicio: elije la respuesta correcta (nota revisar ecuaciones cuadrรกticas) RESOLVER VOLVER
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CASO GENERAL DE FACTOREO PARA POLINOMIOS DE GRADO MAYOR A 2
E๐ฃ๐๐ฆ๐ฉ๐ฅ๐จ :factorear ๐(๐ฅ)=2๐ฅ 3 โ7 ๐ฅ 2 +2๐ฅ+3 Calculo de raรญces P(x)=0 2๐ฅ 3 โ7 ๐ฅ 2 +2๐ฅ+3=0 ๐ฅโ1 . 2 ๐ฅ 2 โ5๐ฅโ3 =0 Un producto es igual a ยซCEROยป si alguno de sus factores es igual a 0 ๐ฅโ1= ๐ฅ 2 โ5๐ฅโ3=0 ๐ฅ= ๐ฅ 1,2 = 5ยฑ 25โ4.2(โ.3) 2,2 ๐ฅ= ๐ฅ=โ 1 2 Divisores ๐ฅโ1 ๐ฅโ ๐ฅ+ 1 2 Factoreo: El polinomio es igual al producto del coeficiente principal por todos sus divisores. 2๐ฅ 3 โ7 ๐ฅ 2 +2๐ฅ+3= ยซTEOREMA DE GAUSยป nos permite conocer raรญces P(X)= 2๐ฅ 3 โ 7 ๐ฅ ๐ฅ + 3 (de grado 3) Identificar Obtener divisores enteros del tรฉrmino independiente: p โยฑ1, ยฑ3 Obtener divisores enteros del coeficiente principal: q โยฑ1, ยฑ2 Las Posibles Raรญces racionales son de la forma ๐ ๐ =ยฑ1, ยฑ2. ยฑ3, ยฑ 1 2 Valuamos P(1)= โ = 0 โ๐ฅ=1 es raรญz , ๐ฅโ1 divisor y entonces ๐(๐ฅ)=(๐ฅโ1).๐ถ(๐ฅ) Termino independiente TI=3 Coeficiente principal CP=2 C(x)=2 ๐ฅ 2 โ5๐ฅโ3 ๐ฅ+ 1 2 2. ๐ฅโ1 ๐ฅโ3 VOLVER
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Grado de P(x)=3 Cantidad de raรญces racionales=3
Ejercicio: buscar todas las raรญces racionales aplicando T. de Gaus y luego factorear ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3โ19 ๐ฅ+30 TI =30 pโยฑ1ยฑ2ยฑ3ยฑ5ยฑ6ยฑ10ยฑ15ยฑ30 ๐ช๐ท= ๐ช โยฑ1 ๐ ๐ฅ =2๐ฅ3โ3 ๐ฅ2โ3๐ฅโ2 TI =โ2 pโยฑ1ยฑ2 ๐ช๐ท=2 ๐ช โยฑ1ยฑ2 N OTA: Si las raรญces figuran una sola vez en el factoreo se dice que son Raรญces SIMPLES x= ๐ ๐ P(X) = ๐๐ โ ๐๐๐ + ๐๐ 1 P(1) = -1 P(-1) = 2 P(2) = -2 P(-2) = 3 P(3) = -3 P(-3) = 5 P(5) = -5 P(-5) = x= ๐ ๐ P(X) = ๐๐๐โ๐ ๐๐โ๐๐โ๐ 1 P(1) = --1 P(-1) = 2 P(2) = -2 P(-2) = ๐ ๐ P( 1 2 )= โ ๐ ๐ P(- 1 2 ) = โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. โ 0 ๏ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โ 0 ๏ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. โ 0 ๏ 2(-1)3-3(-1)2-3(-1)-2 = 0 Raรญz (2)3 โ 19(๐)+30 = 0 Raรญz 2(2)3-3(2)2-3(2)-2 = 0 Raรญz โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. โ 0 ๏ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. โ 0 ๏ (๐)3โ 19(๐) +30 = 0 Raรญz 2( ๐ ๐ )3-3( 1 2 )2-3( 1 2 )-2 = 0 ๏ Raรญz โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. โ 0 โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. โ 0 ๏ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โ 0 ๏ โ๐ 3โ19 โ๐ +30=0 Raรญz Grado de P(x)=3 Cantidad de raรญces racionales=3 P(x)= x x + 30 = 1 ๐ฅโ2 ๐ฅโ3 ๐ฅ+5 Grado de P(x)=3 Cantidad de raรญces racionales=3 ๐ ๐ฅ =2๐ฅ3โ3 ๐ฅ2โ3๐ฅโ2= ๐ฅ+1 ๐ฅโ2 (xโ 1 2 ) RESOLVER VOLVER
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Ejercicio: buscar una de las raรญces obtener divisor y cociente resuelve la ecuaciรณn de cuadrรกtica y Factorear (๐โ๐) (๐โ1) (๐โ๐) ๐๐โ๐๐๐+๐๐โ๐= Raรญces: ๐๐โ๐๐๐+๐๐โ๐=๐ TI =30 pโยฑ1ยฑ ๐ช๐ท=1 ๐ช โยฑ1 x = ๐ ๐ = ยฑ1ยฑ2ยฑ 1 2 Valuar P(1) = 13โ โ2 = 0 x= 1 raรญz entonces x-1 divisor ๏ฎ C(x)=x2-3x+2 (๐โ๐)(๐๐โ๐๐+๐ )=๐ ๐โ๐= ๐๐โ๐๐+๐=0 ๐=๐ ๐ฅ 1,2 = 3ยฑ 9โ ๏ฎ ๐=๐ ๐=๐ N OTA: Un polinomio de grado n puede tener hasta n raรญces Si una raรญz figuran una sola vez en el factoreo es Raรญces SIMPLES Si una raรญz aparece k veces en el factoreo entonces es una raรญz de Multiplicidad K Ejemplos: Si P(x)= (๐ฅ โ 1)2 (๐ฅโ2)๏ฎ ๐ฅ= 1 raรญz de multiplicidad 2 ๐ฅ = 2 raรญz simple Si Q(x)= โ ๐ฅโ4 2 ๐ฅ+ 1 3 ๏ฎ๐ฅ=4 raรญz de multiplicidad 2 ๐ฅ=โ1 raรญz de multiplicidad 3 (๐โ๐)2 (๐โ๐) RESOLVER VOLVER
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FIN
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