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DIFERENCIA DE CUADRADOS

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Presentaciรณn del tema: "DIFERENCIA DE CUADRADOS"โ€” Transcripciรณn de la presentaciรณn:

1 DIFERENCIA DE CUADRADOS
Existe entre los productos especiales uno muy utilizado: ๐Ÿ“๐’™ ๐Ÿ— 25 ๐‘ฅ 2 โˆ’81= โˆ’ ๐Ÿ“๐’™ ๐Ÿ— ๐ด+๐ต ๐ดโˆ’๐ต = ๐ด 2 +๐ด๐ตโˆ’๐ด๐ตโˆ’ ๐ต 2 ๐ด+๐ต ๐ดโˆ’๐ต = ๐ด โˆ’ ๐ต 2 ๐Ÿ“๐’™ 2 ๐Ÿ— 2 Diferencia Cuadrado del primer monomio Cuadrado del primer monomio Diferencia ๐‘ฅ 4 โˆ’ 36= โˆ’ ๐’™ ๐Ÿ ๐Ÿ” ๐’™ ๐Ÿ ๐Ÿ” ๐’™ ๐Ÿ 2 6 2 Diferencia VOLVER

2 CASO DE FACTOREO. JUSTIFICACIร“N
Ejemplos + Ejercicio: identifica el caso de factoreo que se debe aplicar y completa la factorizaciรณn POLINOMIO 4 ๐‘ฅ 2 +12๐‘ฅ+9= 4 ๐‘ฅ 2 โˆ’9= 2 ๐‘ฅ 3 โˆ’3 ๐‘ฅ 2 = 8๐‘ฅ 3 โˆ’36 ๐‘ฅ 2 +54๐‘ฅโˆ’27= 4 ๐‘ฅ 2 โˆ’12๐‘ฅ+9= 16 ๐‘ฅ 2 โˆ’81= 6 ๐‘ฅ 3 โˆ’9 ๐‘ฅ 2 +4๐‘ฅโˆ’6= 8๐‘ฅ ๐‘ฅ 2 +54๐‘ฅ+27= 4 ๐‘ฅ 3 +6 ๐‘ฅ 2 โˆ’6๐‘ฅโˆ’9= โˆ’ 8๐‘ฅ ๐‘ฅ 2 โˆ’54๐‘ฅ+27= 14 ๐‘ฅ 2 +21๐‘ฅ= FACTORIZACIร“N CASO DE FACTOREO. JUSTIFICACIร“N ๐Ÿ๐’™+๐Ÿ‘ 2 ๐‘‡๐ถ๐‘ƒ: ๐Ÿ๐’™ ๐Ÿ๐’™ ๐Ÿ‘+ ๐Ÿ‘ 2 (๐Ÿ๐ฑ+๐Ÿ‘)(๐Ÿ๐ฑโˆ’๐Ÿ‘) D๐ถ: ๐Ÿ๐’™ 2 โˆ’ ๐Ÿ‘ 2 ๐’™ ๐Ÿ .(2xโˆ’3) ๐น๐ถ:2. ๐’™ ๐Ÿ . ๐‘ฅโˆ’3 ๐’™ ๐Ÿ (๐Ÿ‘๐’™ ๐Ÿ +๐Ÿ).(2xโˆ’3) ๐น๐ถ๐บ: 2.๐Ÿ‘๐’™ ๐Ÿ ๐‘ฅโˆ’3.๐Ÿ‘ ๐’™ ๐Ÿ +๐Ÿ.2๐‘ฅโˆ’2.3 โˆ’๐Ÿ๐’™+๐Ÿ‘ 3 ๐ถ๐ถ๐‘ƒ: โˆ’๐Ÿ๐’™ โˆ’๐Ÿ๐’™ 2 .๐Ÿ‘+3. โˆ’๐Ÿ๐’™ . ๐Ÿ‘ 2 + ๐Ÿ‘ 3 RESOLVER VOLVER

3 DIVISIBILIDAD Si P(x) es divisible por ๐‘ฅโˆ’๐‘Ž entonces R=0
5 ๐‘ฅ 4 โˆ’3 ๐‘ฅ 3 +2 ๐‘ฅ 2 โˆ’7๐‘ฅ+3 es divisible por ๐‘ฅ+1 ya que: Si P(x) es divisible por ๐‘ฅโˆ’๐‘Ž entonces R=0 entonces P( ๐‘Ž ) = 0 entonces x =๐‘Ž es raรญz de P(x) EJEMPLO x = -2 es raรญz de Q(x) = ๐‘ฅ 3 โˆ’3๐‘ฅ+2 ya que Q(-2)=0 Segรบn el Teorema del resto: el resto de Q(x) : ๐‘ฅ+2 es R = Q(-2) y Q(-2)= 0 entonces el resto es 0 Entonces Q(x) es divisible por ๐‘ฅ+2 En consecuencia el polinomio se puede expresar como productos del divisor por el cociente Q(x) = ๐‘ฅ+2 (5 ๐‘ฅ 3 +2 ๐‘ฅ 2 +4๐‘ฅโˆ’3) Si P(x) tiene una raรญz ๐‘ฅ=๐‘Ž entonces tiene un divisor ๐‘ฅโˆ’๐‘Ž y en consecuencia se lo quede escribir en forma de producto โ†’๐‘ƒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅโˆ’๐‘Ž .๐ถ(๐‘ฅ) VOLVER

4 SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO (IMPAR)
๐‘ฅ 3 โˆ’8= ๐‘ฅโˆ’2 .(๐‘ฅ 2 +2๐‘ฅ+4) ๐‘ฅ 3 +27= ๐‘ฅโˆ’3 .(๐‘ฅ 2 โˆ’3๐‘ฅ+9) CA Buscar raรญces ๐‘ฅ 3 โˆ’8=0 ๐‘ฅ 3 =8 ๐‘ฅ= ๐‘ฅ=2 Divisor: ๐‘ฅโˆ’2 Obtener el cociente ( ๐‘ฅ 3 โˆ’8):(๐‘ฅโˆ’2) โˆ’8 | ๏‚ฎCociente ๐‘ฅ 2 +2๐‘ฅ+4 Si ๐‘ƒ ๐‘ฅ : ๐‘ฅโˆ’2 = ๐‘ฅ 2 +2๐‘ฅ+4 entonces ๐‘ƒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅโˆ’2 .( ๐‘ฅ 2 +2๐‘ฅ+4) CA Buscar raรญces: ๐‘ฅ 3 +27=0 ๐‘ฅ 3 =โˆ’27 ๐‘ฅ= 3 โˆ’27 ๐‘ฅ=โˆ’3 Divisor: ๐‘ฅ+3 Obtener el cociente ( ๐‘ฅ 3 +27):(๐‘ฅ+3) | ๏‚ฎCociente ๐‘ฅ 2 โˆ’3๐‘ฅ+9 Si ๐‘ƒ ๐‘ฅ : ๐‘ฅ+3 = ๐‘ฅ 2 โˆ’3๐‘ฅ+27 entonces ๐‘ƒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ+3 .( ๐‘ฅ 2 โˆ’3๐‘ฅ+9) VOLVER

5 Ejercicios: unir cada igualdad con el factor que le falta y escribe la igualdad completa
๐‘ฅ 3 +1= ๐‘ฅ+1 ๐‘ฅ 5 โˆ’32=(๐‘ฅโˆ’2) ๐‘ฅ 3 โˆ’1= ๐‘ฅโˆ’1 ๐‘ฅ 3 +8= ๐‘ฅ+2 ๐‘ฅ 5 +32=(๐‘ฅ+2) (๐‘ฅ 2 โˆ’2๐‘ฅ+4) (๐‘ฅ 2 โˆ’2๐‘ฅ+4) (๐‘ฅ 4 โˆ’2 ๐‘ฅ 3 +4 ๐‘ฅ 2 โˆ’8๐‘ฅ+16) ( ๐‘ฅ 4 +2 ๐‘ฅ 3 +4 ๐‘ฅ 2 +8๐‘ฅ+16) (๐‘ฅ 2 โˆ’๐‘ฅ+1) (๐‘ฅ 2 +๐‘ฅ+1) (๐‘ฅ 4 โˆ’2 ๐‘ฅ 3 +4 ๐‘ฅ 2 โˆ’8๐‘ฅ+16 ( ๐‘ฅ 4 +2 ๐‘ฅ 3 +4 ๐‘ฅ 2 +8๐‘ฅ+16) (๐‘ฅ 2 โˆ’๐‘ฅ+1) (๐‘ฅ 2 +๐‘ฅ+1) (๐‘ฅ 2 +๐‘ฅ+1) ๐‘ฅ+1 ๐‘’๐‘  ๐‘‘๐‘–๐‘ฃ๐‘–๐‘ ๐‘œ๐‘Ÿ ๐‘‘๐‘’ ๐‘ฅ 3 +1 ya que Resto = P(-1)= โˆ’ =0 Ya tenemos el divisor : x+1 Calculo del cociente (๐‘ฅ 3 +1): ๐‘ฅ+1 โ†’ ๐ถ๐‘œ๐‘๐‘–๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘’ =๐‘ฅ 2 โˆ’๐‘ฅ+1 ๐‘†๐‘– (๐‘ฅ 3 +1): ๐‘ฅ+1 = ๐‘ฅ 2 โˆ’๐‘ฅ+1 โ†’ ๐‘ฅ 3 +1= ๐‘ฅ+1 . (๐‘ฅ 2 โˆ’๐‘ฅ+1) RESOLVER VOLVER

6 TRINOMIO DE GRAD0 2 ๐‘Ž ๐‘ฅ 2 +๐‘๐‘ฅ+๐‘ Denominamos trinomio de grado dos a los de la forma: Para factorizar se buscaran las raรญces 2 ๐‘ฅ ๐‘ฅ =0 usaremos la fรณrmula resolvente ๐‘ฅ 1,2 = โˆ’7ยฑ โˆ’ ๐‘ฅ 1 = โˆ’ ๐‘ฅ 2 = โˆ’7โˆ’ ๐‘ฅ 1 =โˆ’ ๐‘ฅ 2 =โˆ’3 Divisores: ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ฅ + 3 Obtenciรณn de los cocientes si se divide por ๐‘ฅ โˆ’ cociente 2๐‘ฅ +6 y se divide ๐‘ฅ + 3 cociente 2 Ejemplo: 2 ๐‘ฅ ๐‘ฅ ๐’‚=2 Coef. principal ๐’ƒ=7 Coef. lineal ๐’„=3 tรฉrm. Independ. 2 ๐‘ฅ ๐‘ฅ + 3 (๐‘ฅ ) . (2๐‘ฅ +6) (๐‘ฅ ) . 2(๐‘ฅ +3) 2 ๐‘ฅ ๐‘ฅ (๐‘ฅ )(๐‘ฅโˆ’3) Los trinomios de grado dos son igual al entre el coeficiente principal y los binomios de la forma variable menos la raรญz ๐š ๐’™ ๐Ÿ +๐’ƒ๐’™+๐’„ =๐’‚(๐’™ โˆ’ ๐’™ ๐Ÿ )(๐’™โˆ’ ๐’™ ๐Ÿ ) VOLVER

7 Coeficientes: ๐‘Ž=5 ๐‘=โˆ’6 ๐‘=4
Ejemplos: Como factorizar un trinomio de grado dos: ๐‘Ž ๐‘ฅ 2 +๐‘๐‘ฅ+๐‘=๐‘Ž(๐‘ฅโˆ’ ๐‘ฅ 1 )(๐‘ฅโˆ’ ๐‘ฅ 2 ) ๐‘ฅ 2 โˆ’6๐‘ฅ+9= 3 ๐‘ฅ 2 +2๐‘ฅโˆ’8= 5๐‘ฅ 2 โˆ’6๐‘ฅ+4= ๐‘ฅ+ 3 8 = 3 ๐‘ฅโˆ’1 = 1 ๐‘ฅโˆ’3 ๐‘ฅโˆ’3 = ๐‘ฅโˆ’3 2 = polinomio primo Coeficientes: ๐‘Ž=3 ๐‘=2 ๐‘=โˆ’8 Raรญces: 3 ๐‘ฅ 2 +2๐‘ฅโˆ’8=0 ๐‘ฅ 1,2 = โˆ’2ยฑ โˆ’4.3(โˆ’8) 2.3 ๐‘ฅ 1,2 = โˆ’7ยฑ 49โˆ’24 6 ๐‘ฅ 1 =โˆ’ ๐‘ฅ 2 =1 Divisores: (๐‘ฅโˆ’(โˆ’ 8 3 )) y (๐‘ฅโˆ’1) Coeficientes: ๐‘Ž=1 ๐‘=โˆ’6 ๐‘=9 Raรญces: ๐‘ฅ 2 โˆ’6๐‘ฅ+9=0 ๐‘ฅ 1,2 = 6ยฑ (โˆ’ 6) 2 โˆ’ ๐‘ฅ 1,2 = 6ยฑ 36โˆ’36 6 ๐‘ฅ 1 = ๐‘ฅ 2 =3 ยซraรญces doblesยป Divisores es dos veces divisible por (x โ€“ 3 ) Coeficientes: ๐‘Ž=5 ๐‘=โˆ’6 ๐‘=4 Raรญces: 5 ๐‘ฅ 2 โˆ’6๐‘ฅ+4=0 ๐‘ฅ 1,2 = 6ยฑ (โˆ’6} 2 โˆ’ ๐‘ฅ 1,2 = 6ยฑ 36โˆ’40 10 ๐‘ฅ 1,2 = 6ยฑ โˆ’4 10 No tiene soluciรณn real no existen raรญces Divisores: no tiene VOLVER

8 Al trinomio โˆ’ ๐‘ฅ 2 +๐‘ฅ+6 Se factorea
โˆ’(๐‘ฅ+3)(๐‘ฅโˆ’2) โˆ’(๐‘ฅโˆ’3)(๐‘ฅโˆ’2) โˆ’(๐‘ฅโˆ’3)(๐‘ฅ+2) Cual de los polinomios tiene raรญces dobles ๐‘ฅ 2 โˆ’2๐‘ฅ + 2 ๐‘ฅ 2 โˆ’2๐‘ฅ+1 ๐‘ฅ 2 โˆ’2๐‘ฅโˆ’1 Uno de estos polinomios no tiene por raรญces a ๐‘ฅ= y x=โˆ’2 6 ๐‘ฅ 2 +8xโˆ’8 โˆ’3 ๐‘ฅ 2 โˆ’4x+4 6 ๐‘ฅ 2 +16xโˆ’8 Cual de los siguientes polinomios es primo โˆ’ ๐‘ฅ 2 +7xโˆ’8 ๐‘ฅ 2 +2x+4 ๐‘ฅ 2 โˆ’4x+4 Ejercicio: elije la respuesta correcta (nota revisar ecuaciones cuadrรกticas) RESOLVER VOLVER

9 CASO GENERAL DE FACTOREO PARA POLINOMIOS DE GRADO MAYOR A 2
E๐ฃ๐ž๐ฆ๐ฉ๐ฅ๐จ :factorear ๐‘ƒ(๐‘ฅ)=2๐‘ฅ 3 โˆ’7 ๐‘ฅ 2 +2๐‘ฅ+3 Calculo de raรญces P(x)=0 2๐‘ฅ 3 โˆ’7 ๐‘ฅ 2 +2๐‘ฅ+3=0 ๐‘ฅโˆ’1 . 2 ๐‘ฅ 2 โˆ’5๐‘ฅโˆ’3 =0 Un producto es igual a ยซCEROยป si alguno de sus factores es igual a 0 ๐‘ฅโˆ’1= ๐‘ฅ 2 โˆ’5๐‘ฅโˆ’3=0 ๐‘ฅ= ๐‘ฅ 1,2 = 5ยฑ 25โˆ’4.2(โˆ’.3) 2,2 ๐‘ฅ= ๐‘ฅ=โˆ’ 1 2 Divisores ๐‘ฅโˆ’1 ๐‘ฅโˆ’ ๐‘ฅ+ 1 2 Factoreo: El polinomio es igual al producto del coeficiente principal por todos sus divisores. 2๐‘ฅ 3 โˆ’7 ๐‘ฅ 2 +2๐‘ฅ+3= ยซTEOREMA DE GAUSยป nos permite conocer raรญces P(X)= 2๐‘ฅ 3 โˆ’ 7 ๐‘ฅ ๐‘ฅ + 3 (de grado 3) Identificar Obtener divisores enteros del tรฉrmino independiente: p โ†’ยฑ1, ยฑ3 Obtener divisores enteros del coeficiente principal: q โ†’ยฑ1, ยฑ2 Las Posibles Raรญces racionales son de la forma ๐’‘ ๐’’ =ยฑ1, ยฑ2. ยฑ3, ยฑ 1 2 Valuamos P(1)= โˆ’ = 0 โ†’๐‘ฅ=1 es raรญz , ๐‘ฅโˆ’1 divisor y entonces ๐‘ƒ(๐‘ฅ)=(๐‘ฅโˆ’1).๐ถ(๐‘ฅ) Termino independiente TI=3 Coeficiente principal CP=2 C(x)=2 ๐‘ฅ 2 โˆ’5๐‘ฅโˆ’3 ๐‘ฅ+ 1 2 2. ๐‘ฅโˆ’1 ๐‘ฅโˆ’3 VOLVER

10 Grado de P(x)=3 Cantidad de raรญces racionales=3
Ejercicio: buscar todas las raรญces racionales aplicando T. de Gaus y luego factorear ๐‘ƒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ3โˆ’19 ๐‘ฅ+30 TI =30 pโ†’ยฑ1ยฑ2ยฑ3ยฑ5ยฑ6ยฑ10ยฑ15ยฑ30 ๐‘ช๐‘ท= ๐ช โ†’ยฑ1 ๐‘„ ๐‘ฅ =2๐‘ฅ3โˆ’3 ๐‘ฅ2โˆ’3๐‘ฅโˆ’2 TI =โˆ’2 pโ†’ยฑ1ยฑ2 ๐‘ช๐‘ท=2 ๐ช โ†’ยฑ1ยฑ2 N OTA: Si las raรญces figuran una sola vez en el factoreo se dice que son Raรญces SIMPLES x= ๐’‘ ๐’’ P(X) = ๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ๐Ÿ—๐’™ + ๐Ÿ‘๐ŸŽ 1 P(1) = -1 P(-1) = 2 P(2) = -2 P(-2) = 3 P(3) = -3 P(-3) = 5 P(5) = -5 P(-5) = x= ๐’‘ ๐’’ P(X) = ๐Ÿ๐’™๐Ÿ‘โˆ’๐Ÿ‘ ๐’™๐Ÿโˆ’๐Ÿ‘๐’™โˆ’๐Ÿ 1 P(1) = --1 P(-1) = 2 P(2) = -2 P(-2) = ๐Ÿ ๐Ÿ P( 1 2 )= โˆ’ ๐Ÿ ๐Ÿ P(- 1 2 ) = โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.. โ‰  0 ๏Œ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..โ‰ 0 ๏Œ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.. โ‰  0 ๏Œ 2(-1)3-3(-1)2-3(-1)-2 = 0 Raรญz (2)3 โˆ’ 19(๐Ÿ)+30 = 0 Raรญz 2(2)3-3(2)2-3(2)-2 = 0 Raรญz โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.. โ‰ 0 ๏Œ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.. โ‰  0 ๏Œ (๐Ÿ‘)3โˆ’ 19(๐Ÿ‘) +30 = 0 Raรญz 2( ๐Ÿ ๐Ÿ )3-3( 1 2 )2-3( 1 2 )-2 = 0 ๏Œ Raรญz โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.. โ‰  0 โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.. โ‰  0 ๏Œ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..โ‰ 0 ๏Œ โˆ’๐Ÿ“ 3โˆ’19 โˆ’๐Ÿ“ +30=0 Raรญz Grado de P(x)=3 Cantidad de raรญces racionales=3 P(x)= x x + 30 = 1 ๐‘ฅโˆ’2 ๐‘ฅโˆ’3 ๐‘ฅ+5 Grado de P(x)=3 Cantidad de raรญces racionales=3 ๐‘„ ๐‘ฅ =2๐‘ฅ3โˆ’3 ๐‘ฅ2โˆ’3๐‘ฅโˆ’2= ๐‘ฅ+1 ๐‘ฅโˆ’2 (xโˆ’ 1 2 ) RESOLVER VOLVER

11 Ejercicio: buscar una de las raรญces obtener divisor y cociente resuelve la ecuaciรณn de cuadrรกtica y Factorear (๐’™โˆ’๐Ÿ) (๐’™โˆ’1) (๐’™โˆ’๐Ÿ) ๐’™๐Ÿ‘โˆ’๐Ÿ’๐’™๐Ÿ+๐Ÿ“๐’™โˆ’๐Ÿ= Raรญces: ๐’™๐Ÿ‘โˆ’๐Ÿ’๐’™๐Ÿ+๐Ÿ“๐’™โˆ’๐Ÿ=๐ŸŽ TI =30 pโ†’ยฑ1ยฑ ๐‘ช๐‘ท=1 ๐ช โ†’ยฑ1 x = ๐’‘ ๐’’ = ยฑ1ยฑ2ยฑ 1 2 Valuar P(1) = 13โˆ’ โˆ’2 = 0 x= 1 raรญz entonces x-1 divisor ๏‚ฎ C(x)=x2-3x+2 (๐’™โˆ’๐Ÿ)(๐’™๐Ÿโˆ’๐Ÿ‘๐’™+๐Ÿ )=๐ŸŽ ๐’™โˆ’๐Ÿ= ๐’™๐Ÿโˆ’๐Ÿ‘๐’™+๐Ÿ=0 ๐’™=๐Ÿ ๐‘ฅ 1,2 = 3ยฑ 9โˆ’ ๏‚ฎ ๐’™=๐Ÿ ๐’™=๐Ÿ N OTA: Un polinomio de grado n puede tener hasta n raรญces Si una raรญz figuran una sola vez en el factoreo es Raรญces SIMPLES Si una raรญz aparece k veces en el factoreo entonces es una raรญz de Multiplicidad K Ejemplos: Si P(x)= (๐‘ฅ โ€“ 1)2 (๐‘ฅโˆ’2)๏‚ฎ ๐‘ฅ= 1 raรญz de multiplicidad 2 ๐‘ฅ = 2 raรญz simple Si Q(x)= โˆ’ ๐‘ฅโˆ’4 2 ๐‘ฅ+ 1 3 ๏‚ฎ๐‘ฅ=4 raรญz de multiplicidad 2 ๐‘ฅ=โˆ’1 raรญz de multiplicidad 3 (๐’™โˆ’๐Ÿ)2 (๐’™โˆ’๐Ÿ) RESOLVER VOLVER

12 FIN


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