Integrales impropias.

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1 Integrales impropias

2 Integrales impropias En todo el estudio hecho hasta ahora se han utilizado dos propiedades fundamentales: la función tenía que ser acotada y el intervalo de integración tenía que ser cerrado y acotado. Ahora extenderemos el Cálculo Integral a: Funciones definidas en intervalos no acotados: integrales impropias de primera especie, (límites infinitos de integración o integrales con extremos infinitos). 2. Funciones no acotadas: integrales impropias de segunda especie, (o integrandos infinitos).

3 Límites infinitos de integración (integrales impropias de primera especie)
Si f es una función continua en el intervalo [a,∞), entonces se define la integral impropia 𝑎 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑏→∞ 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ∈ ℝ

4 Límites infinitos de integración (integrales impropias de primera especie)
Si f es una función continua en el intervalo (-∞,b], entonces se define la integral impropia −∞ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑎→−∞ 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 ∈ ℝ

5 Límites infinitos de integración (integrales impropias de primera especie)
Si f es una función continua en el intervalo (-∞, ∞), entonces se define la integral impropia −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= −∞ 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ c ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 ∈ ℝ =lim 𝑎→−∞ 𝑎 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + lim 𝑏→∞ 𝑐 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

6 Límites infinitos de integración (integrales impropias de primera especie)
En cada caso, si el límite es finito, se dice que la integral es convergente y que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe la integral impropia es divergente.

7 Ejemplos

8 Integrandos infinitos (integrales impropias de segunda especie)

9 Integrandos infinitos (integrales impropias de segunda especie)

10 Integrandos infinitos (integrales impropias de segunda especie)

11 Integrandos infinitos (integrales impropias de segunda especie)
Ejemplos