Tema X: Optimización con restricciones de desigualdad

Presentación del tema: "Tema X: Optimización con restricciones de desigualdad"— Transcripción de la presentación:

1 Tema X: Optimización con restricciones de desigualdad

2 Hipótesis de cualificación de restricciones NO las daremos
Utilizaremos el concepto de punto regular

3 Definiciones: Conjunto factible Restricción saturada en un punto
Punto regular conjunto factible es REGULAR si los gradientes de las restricciones saturadas en son L.I (determinante o rango máximo) También se consideran regulares puntos del interior, o sea, que no saturan ninguna restricción

4 Forma normal:

5 Ejemplo (1/2): (0,1) ¿es regular? * (1/2,1/2) es regular (0,0)

6 Ejemplo (2/2): * ¿Qué restricciones satura? 1ª y 3ª (1/2,1/2) (0,0)
{(1,1),(-1,0)} que son l.I (0,1) es regular (1/2,1/2) (0,0)

7 Teorema de Kuhn-Tucker. Óptimos Locales
f y g son diferenciables es punto regular .

8

9

10 Observaciones: 1. son los multiplicadores de Kuhn-Tucker.
2. Si es no nulo la restricción está saturada. 3. Las condiciones son necesarias siempre que sea punto regular

11 Los programas de minimización y maximización pueden formularse en la forma
Ésta modificación afecta al signo de los multiplicadores En concreto, las posibilidades son: Los multiplicadores asociados a restricciones no saturadas son nulos, mientras que los correspondientes a saturadas pueden ser nulas o no nulas.

12 Ejercicio 1: Analizar las condiciones necesarias de K-T para
Ejercicio 1: Analizar las condiciones necesarias de K-T para los puntos indicados

13 Solución: es factible, además satura las dos primeras restricciones con Luego es regular. Veamos si : como no satura (3) y (4):

14 NO GARANTIZA mínimo local.
Ver gráficamente

15 Ejercicio 2:

16 Solución: El punto (-5,-2) satura 2 y 4 es regular
El punto(0,3) es regular y satura 1 y 2

17 >0 (-5,-2) verifica K-T (0,3) no verifica K-T

18 Gráficamente: No es óptimo 3 Máximo -5 -3 -2 Mínimo

19 Ejercicio 3:

20 Ejercicio 3: -3 Mínimo (0,0)

21 Numéricamente: (0,0) satura (1) y (2):

22 Ejercicio 4:

23 Ejercicio 4: 2 1 -1 1 -1 -2

24 Numéricamente: Condición

25 Ejercicio 5: Calcular analíticamente las soluciones factibles x
Ejercicio 5: Calcular analíticamente las soluciones factibles x* verificando K-T

26 x*=(1,0;1/2) cumple la condiciones de K-T sea óptimo

27 Condiciones suficientes de segundo orden para óptimo local
Con y sea x* un punto factible, regular que verifique las condiciones de K-T, i.e.

28

29 Condiciones suficientes de segundo orden para óptimo local
Con y sea x* un punto factible, regular que verifique las condiciones de K-T (para máximo), i.e.

30

31 Condiciones suficientes de óptimo global:
“En programas convexos las condiciones necesarias de K-T son también suficientes” Programa convexo Conjunto factible convexo convexa (mínimo) Función objetivo cóncava (máximo) Conjunto factible convexo. Lo identificaremos mediante Hg(x) si Hg(x) es semidefinida (+) o definida (+) f.o.convexa (mínimo) a través de Hf(x), si es definida (+) o semidefinida (+) f.o. cóncava (máximo): Hf(x) semidefinida (-) o definida (-)

32 (A) f. convexa y región factible convexa
(B) f. cóncava y región factible convexa

33 Observaciones: Las condiciones de K-T son las mismas a excepción de que los multiplicadores asociados a las restricciones de igualdad no tienen porqué tener un signo determinado. Las condiciones de globalidad son las mismas : f convexa (cóncava), g convexa y h lineales.

34 2. Optimización con conjunto factible compacto
Denominando S al conjunto de posibles óptimos, entonces, a) x* es máximo global si con mayor imagen b) x* es mínimo global si con menor imagen Puede probarse que : vértices de la región factible = ptos de intersección de las restricciones puntos interiores de la región factible “interiores” “frontera”

35 Interpretación de los multiplicadores
Sea x* óptimo del problema. Los multiplicadores de K-T cambiados de signo son las derivadas parciales del valor óptimo de la función objetivo respecto a los términos independientes de las restricciones saturadas. Por tanto, los multiplicadores dan una idea de la sensibilidad del valor óptimo frente a variaciones (infinitesimales) de las restricciones.