DERIVADA 2º Bachillerato C/T. 18/10/2009.

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1 DERIVADA 2º Bachillerato C/T. 18/10/2009

2 CONTENIDOS TASA DE VARIACIÓN. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA O DERIVADA. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA. DERIVACIÓN IMPLÍCITA. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN. TEOREMA DE ROLLE. TEOREMA DEL VALOR MEDIO. REGLA DE L’HÔPITAL. APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONÍA Y CURVATURA. APLICACIONES DE LA DERIVADA: EXTREMOS RELATIVOS.

3 f(x) = 5x – 1 en el intervalo (-2, 3)
TASA DE VARIACIÓN Dada una función f: A   , se llama TASA DE VARIACIÓN de f para el intervalo (a, b) a f(b) – f(a) Ejemplos f(x) = 5x – 1 en el intervalo (-2, 3) f(3) = 5·3 – 1 = 14 f(-2) = 5·(-2) – 1 = -11 T.V. = 14 – (-11) = 25 g(x) = tgx en el intervalo (-/4, /4) g(/4) = tg(/4) = 1 g(-/4) = tg(-/4) = -1 T.V. = 1 – (-1) = 2 MÁS EJEMPLOS

4 TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Dada una función f: A   , se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de f para el intervalo (a, b) al cociente f(b) – f(a) b – a Ejemplos f(x) = 5x – 1 en el intervalo (-2, 3) T.V. = 14 – (-11) = 25 T.V.M. = 25/[3 – (-2)] = 25/5 = 5 g(x) = tgx en el intervalo (-/4, /4) T.V. = 1 – (-1) = 2 T.V.M. = 2/[/4 – (-/4)] = 4/  MÁS EJEMPLOS

5 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA
f(b) – f(a) f(b) – f(a)  b – a b – a T.V.M. = = tg  = pendiente de la recta secante a la gráfica [que pasa por (a, f(a)) y (b(f(b)]

6 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA  DERIVADA
Dada una función f: A   , se llama TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA de f para x = a, al límite: f(a + h) – f(a) h lim h  0 = La tasa de variación instantánea en x = a, también se llama DERIVADA de la función f en x = a, y se denota f ’(a) f ’(a) Ejemplos Tasa de variación instantánea de f(x) = 5x – 1 en x = 2 f(2) = 5·2 – 1 = 9 f(2 + h) = 5·(2+ h) – 1 = 9 + 5h f(2 + h) – f(2) h 9 + 5h -9 h 5h h = = = 5 f(2 + h) – f(2) h Por tanto: f ‘(2) lim h  0 lim h  0 = = 5 = 5 MÁS EJEMPLOS

7 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
h  0 f(a+h) – f(a) T.V.M. = = tg  = pendiente de la recta secante a la gráfica h Recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x = a: y = f ‘(a)(x – a) + f(a) Recta normal a la gráfica de y = f(x) en x = a: y = (x – a) + f(a)

8 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Ejemplo Calcula el área del triángulo formado por el eje de abscisas y las rectas tangente y normal a la curva y = x2 + 1 en el punto de abscisa x = 1 f ‘(x) = 2x f ‘(1) = 2·1 = 2 f(1) = = 2 RECTA TANGENTE: y = 2(x – 1) + 2  y = 2x RECTA NORMAL: y = (x – 1) + 2  y = Corte de la recta tangente con OX: y = 0  x = 0  A(0, 0) Corte de la recta normal con OX: y = 0  x = 5  B(5, 0) Distancia entre A y B = Base del triángulo = 5 Altura del triángulo = f(1) = 2 Área del triángulo =

9 FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS.
La función que a cada xDomf le hace corresponder f ‘(x), si existe, se llama función derivada de f, o simplemente, derivada de f, y se escribe f ‘ Del mismo modo, podemos hablar de la derivada de f ‘, que representamos por f ”(x) y que se llama derivada segunda de f Análogamente podemos hablar de derivada tercera, cuarta, etc. En general nos referiremos a la derivada de orden n o derivada n-sima de f; f(n)(x) DERIVADAS LATERALES Derivada lateral de f(x) en x = a por la izquierda: Derivada lateral de f(x) en x = a por la derecha: Una función f es derivable en x = a si y sólo si existen y son iguales f ‘(a–) y f ‘(a+)

10 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.
Si f es una función derivable en x = a, entonces f es continua en x = a Ejemplos Esboza la gráfica de y = f ‘(x) a partir de la gráfica de y = f(x) Vemos que la tangente a la gráfica de f en x = 1 y x = 3 es horizontal. Por tanto, f ‘(1) = 0 = f ‘(3) Si 0 < x <1 y si x > 3, la pendiente de la tangente es positiva (f ‘(x) > 0) y negativa en el resto.

11 Ejemplos Considera la función f(x) = ¿Existe f ‘(0)? ¿Existe f ”(0)? En primer lugar, para que sea derivable en x = 0, ha de ser continua en x = 0:  f es continua en x = 0, y, por tanto, en (–, +) Derivamos:  f ‘(0) = 0 Observamos que f ‘(x) es continua en x = 0 por la igualdad de los límites anteriores Derivamos de nuevo: Esta función no es continua en x = 0 (salto finito). Por tanto no puede ser derivable en x = 0: NO EXISTE f “(0)

12 Observamos punto anguloso
Ejemplos Estudia si la función f(x) = es derivable en x = 1. En primer lugar, para que sea derivable en x = 1, ha de ser continua en x = 1:  f es continua en x = 1, y, por tanto, en (–, +) Derivamos:  NO EXISTE f ‘(1) Observamos punto anguloso

13 Ejemplos Considera la función f: [0, 4]  R definida por f(x) = Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c. Por ser derivable, ha de ser continua:  2c = 4 + 2a + b [1] f es derivable: f ‘(x) =  c = 4 + a [2] Y de la condición de ser f(0) = f(4): c = b [3] Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por [1], [2] y [3]: a = –3, b = 4, c = 1

14 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
Se llama así a la técnica empleada para derivar funciones con cierto grado de complejidad que se simplifica al tomar logaritmos previamente. Ejemplo 1: Se toman logaritmos: Ly = Lxx = xLx Se deriva: Despejamos y’: y’ = y(Lx + 1) Sustituimos y: y’ = xx(Lx + 1) Ejemplo 2: Se toman logaritmos: Ly = L(x2 + 1)senx = senx·L(x2+1) Se deriva: Despejamos y’: Sustituimos y:

15 DERIVACIÓN IMPLÍCITA A veces, o bien no se puede, o es complicado despejar en una igualdad la variable dependiente para poder derivar después. En estos casos es útil el método de derivación implícita. Ejemplo 1: Obtén la ecuación de la tangente a la curva xy5 – y2 + x3 = 9 en el punto P(2, 1) Derivamos directamente ambos miembros de la igualdad: 1·y5 + x·5y4·y’ – 2y·y’ + 3x2 = 0  y5 + 3x2 = (2y – 5xy4)·y’  Calculamos la derivada en el punto P sustituyendo x por 2 e y por 1: La recta tangente es:

16 DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
QR = f(x + h) – f(x) = y f(x + h) = f(x) + y ≈ f(x) + dy = f(x) + f ‘(x)dx Por tanto, tenemos una aproximación lineal: f(x + h) ≈ f(x) + f ‘(x)·dx Ejemplo 1: Obtén una aproximación de Tomamos f(x) = Consideramos dx = 32,3 – 32 = 0,3 Entonces: Usando la calculadora, obtenemos:

17 Tesis: c  (a, b), tal que f ‘(c) = 0.
TEOREMA DE ROLLE Hipótesis: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b). Tesis: c  (a, b), tal que f ‘(c) = 0. c2 c1 c2 c1 c

18 TEOREMA DE ROLLE. Ejemplo
Demuestra que la función f(x) = x2 – xsenx – cosx sólo corta dos veces al eje OX. En primer lugar, utilizaremos el teorema de Bolzano para probar que corta dos veces, al menos, el eje horizontal. f es una función continua en cualquier intervalo cerrado, puesto que resulta de componer polinomios con funciones seno y coseno. Por otra parte: f(–) = 2 + 1 > 0 f(0) = –1 f() = 2 + 1 > 0 Es posible, entonces, aplicar el teorema de Bolzano en los intervalos [–, 0] y [0, ] y afirmar que la gráfica de f(x) corta al eje de abscisas al menos una vez en (–, 0) y, al menos una vez, en (0, ). Si cortara más de dos veces el eje OX, aplicando el teorema de Rolle, la derivada se anularía en más de un punto. f ‘(x) = 2x – senx – xcosx + senx = x(2 – cosx) Observamos que f ‘(x) = 0  x = 0. Es decir, la solución es única. Así pues, sólo puede cortar el eje de abscisas dos veces.

19 TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Hipótesis: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en (a, b). Tesis: c  (a, b), tal que f ‘(c) = c2 c c1

20 TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Ejemplo
Sea la función f(x) = Comprueba que f verifica las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 4] y halla el número c cuya existencia asegura dicho teorema. Primero comprobamos si f(x) es continua en x = 1 y en x = 2 (en el resto lo es por ser polinómica).  continua en x = 1  continua en x = 2 Estudiamos la derivabilidad:  derivable en x = 1; f ‘(1) = 12  derivable en x = 2; f ‘(2) = 0

21 TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Ejemplo (continuación)
Tenemos, pues, que f(x) es continua en [0, 4], y derivable en (0, 4) El teorema del valor medio afirma que existe un c(0, 4) en el que se verifica: Probaremos cuál de las expresiones de la derivada puede tomar el valor 9 en el intervalo indicado (0, 4) 8x + 4 = 9  x = 5/8  (0, 4)(, 1] x1 = 1/2 ∉ (0, 4)(1, 2) -12x2 + 24x = 9  12x2 – 24x + 9 = 0  x2 = 3/2  (0, 4)(1, 2) x1 = – 1 ∉ (0, 4)(2, +) 3x2 – 6x = 9  3x2 – 6x – 9 =  x2 = 3  (0, 4)(2, +) Por tanto, hay 3 valores del intervalo (0, 4) en los que se cumple el TVM

22 REGLA DE L’HÔPITAL Sean dos funciones f y g tales que
Si existe , entonces existe y Ejemplo 1: Calcula Aplicamos L’Hôpital derivando numerador y denominador: La regla también es aplicable en el caso de las indeterminaciones del tipo Ejemplo 2: Calcula Aplicamos L’Hôpital derivando numerador y denominador: (De nuevo L’Hôpital)

23 APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONÍA
f ‘(a) > 0 f ‘(a) > 0  / > 0 x  E(a) x > a  f(x) > f(a) f es CRECIENTE en a x < a  f(x) < f(a)

24 APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONÍA
f ‘(a) < 0 f ‘(a) < 0  / < 0 x  E(a) x < a  f(x) > f(a) f es DECRECIENTE en a x > a  f(x) < f(a)

25 APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONÍA
f ‘(a) > 0 Pendiente positiva en x = a f es CRECIENTE en a f ‘(a) < 0 Pendiente negativa en x = a f es DECRECIENTE en a f ‘(a) = 0 Tangente horizontal en x = a (a, f(a)) es PUNTO CRÍTICO

26 APLICACIONES DE LA DERIVADA: CURVATURA
f ”(a) > 0  f ‘ es creciente en x = a La pendiente de la recta tangente aumenta f es CONVEXA en a f ”(a) < 0  f ‘ es decreciente en x = a La pendiente de la recta tangente disminuye f es CÓNCAVA en a f ”(a) = 0  No se puede concluir nada:

27 APLICACIONES DE LA DERIVADA: EXTREMOS RELATIVOS
f ‘(a) = 0 Tangente horizontal f “(a) < 0  CÓNCAVA MÁXIMO RELATIVO f ‘(a) = 0 Tangente horizontal f “(a) > 0  CONVEXA MINIMO RELATIVO f ‘(a) = 0 Tangente horizontal f “(a) = 0  ¿¿?? …seguir investigando….

28 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
FIN DEL CAPÍTULO REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES OPTIMIZACIÓN