PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Presentación del tema: "PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES"— Transcripción de la presentación:

1 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
PROF. M. ALONSO Creciente Decreciente Traslaciones Par e Impar

2 Prerrequisitos Definir el concepto de función.
Trazar las gráficas de las funciones básicas.

3 Objetivos Definir función creciente,decreciente y constante.
Definir función par e impar. Determinar cuando una función es par o impar. Determinar las transformaciones de funciones. Trazar gráficas.

4 Las propiedades que estudiaremos son:
Funciones crecientes, decrecientes o constantes Función par o impar Transformaciones de de funciones Traslaciones Estiramientos Contracciones Reflexiones

5 Considere las siguientes funciones:
¿Cuál usted considera que es creciente y cuál es decreciente?

6 Definición Decimos que la función f es creciente en el intervalo I = [a,b] cuando tomamos dos valores x1, x2 en ese intervalo con x1 < x2 y observamos que f(x1) < f(x2). En palabras sencillas, si a medida que la x aumenta también la y aumenta entonces es una función creciente.

7 Explicación de la definición mediante la gráfica

8 Ejemplo Note que 2 < 5 Podemos concluir que la función Es creciente

9 La y que le corresponde a x1 es mayor que la y que le corresponde a x2
Definición Decimos que la función f es decreciente en el intervalo I = [a,b] cuando tomamos dos valores x1, x2 en ese intervalo con x1 < x2 y observamos que f(x1) > f(x2).Es decir, si a medida que la x aumenta la y disminuye decimos que es una función decreciente. La y que le corresponde a x1 es mayor que la y que le corresponde a x2

10 Note que a medida que aumentamos el valor de la x, la variable y disminuye.
Ejemplo Note que 4 > 2 Podemos concluir que la función es decreciente. Note que 1 < 3

11 Definición Decimos que la función f es constante en el intervalo I = [a,b] cuando tomamos dos valores x1, x2 en ese intervalo con x1 < x2 y observamos que f(x1) = f(x2). O sea, si la x aumenta la y se queda igual, no cambia.

12 Note que f(1) =f(4), pues f(1) = 5 y f(4)=5
Ejemplo Note que f(1) =f(4), pues f(1) = 5 y f(4)=5 Podemos concluir que la función es constante Note que 1 < 4

13 Pasemos a estudiar otra propiedad de las funciones
Función par o impar

14 Observe los pares ordenados de la siguiente función F(x) = x2.
Y F(x) F(0)= 0 1 F(1)= 1 -1 F(-1)= 1 2 4 F(2)= 4 -2 F(-2)= 4 3 9 F(3)= 9 -3 F(-3)= 9 OBSERVE!

15 La gráfica es:

16 De la tabla o de la gráfica observamos que:
X Y F(x) F(0)= 0 1 F(1)= 1 -1 F(-1)= 1 2 4 F(2)= 4 -2 F(-2)= 4 3 9 F(3)= 9 -3 F(-3)= 9 F(1)= 1 = F(-1) F(2) = 4 = F(-2) F(3) = 9 = F(-3) O sea que F(x) = F(-x)

17 Simetría con respecto al eje de y
Definición Decimos que una función es par si se cumple que f(-x) = f(x) para todo valor del dominio. Las gráficas de las funciones pares son simétricas al eje de y. Simetría con respecto al eje de y

18 Considere la función F(x) = x3

19 La tabla es: X Y F(x) F(0)= 0 1 F(1)= 1 -1 F(-1)= -1 2 8 F(2)= 8 -2 -8
F(0)= 0 1 F(1)= 1 -1 F(-1)= -1 2 8 F(2)= 8 -2 -8 F(-2)= -8 3 27 F(3)= 27 -3 -27 F(-3)=-27

20 De la tabla se desprende:
F(-1) = -1 = -F(1) F(-2) = -8 = -F(2) F(-3) = -27 = -F(3) Por lo tanto F(-x) = -F(x) X Y F(x) F(0)= 0 1 F(1)= 1 -1 F(-1)= -1 2 8 F(2)= 8 -2 -8 F(-2)= -8 3 27 F(3)= 27 -3 -27 F(-3)=-27 Simétrica al origen

21 Definición Una función se dice que es impar si se cumple que f(-x) = -f(x) para todo valor del dominio. Observe que las funciones impares son simétricas al origen.

22 Se evalúa la función en -x Obtenemos la misma función que la original
Ejemplos Determine si la función es par o impar. Se evalúa la función en -x Concluimos que es una función par porque se cumple la siguiente igualdad Obtenemos la misma función que la original

23 Se evalúa la función en -x Obtenemos el opuesto de la función original
Ejemplos Determine si la función es par o impar. Se evalúa la función en -x Concluimos que es una función impar porque se cumple la siguiente igualdad Obtenemos el opuesto de la función original

24 Transformaciones de las funciones
Traslaciones Estiramientos Contracciones Reflexiones

25 Definición Suponga que usted conoce la gráfica de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) =f(x) + c representa una traslación vertical de la gráfica de f. Si c > 0 entonces la gráfica se traslada c unidades hacia arriba y si c < 0 entonces la traslación es de c unidades hacia abajo.

26 Note que la gráfica se trasladó 3 unidades hacia arriba
Ejemplo G(x) = x2 + 3 F(x)=x2

27 Note que la gráfica se trasladó 2 unidades hacia abajo
Ejemplo Note que la gráfica se trasladó 2 unidades hacia abajo G(x) = |x| - 2

28 Definición Suponga que usted conoce la gráfica de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) =f(x - c) representa una traslación horizontal de la gráfica de f. Si c > 0 entonces la gráfica se traslada c unidades hacia la derecha y si c < 0 entonces la traslación es de c unidades hacia la izquierda.

29 Ejemplo G(x) = (x – 3)2 F(x) = x2

30 Ejemplo G(x)=(x+2)3 x G(x) -4 -8 -2 -1 1 8 F(x)=x3

31 Definición Suponga que usted conoce la gráfica de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) = cf(x) representa un estiramiento vertical de la gráfica de f si c > 1 pero si 0 <c < 1 entonces es una contracción vertical.

32 Estiramiento vertical
Ejemplo G(x) = 3x2 x G(x) -2 12 -1 3 2 F(x)=x2

33 F(x) = x2 Ejemplo Contracción vertical

34 Definición Suponga que usted conoce la gráfica de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) = f(cx) representa un estiramiento horizontal de la gráfica de f si 0 < c < 1 y si c > 1 entonces representa una contracción horizontal de la gráfica de f.

35 Contracción horizontal
Ejemplo Contracción horizontal

36 Estiramiento horizontal
Ejemplo Estiramiento horizontal

37 Definición Suponga que usted conoce la gráfica de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) = - f(x) representa una reflexión de la gráfica de f a través del eje de x.

38 Ejemplos H(x)=x3 F(x)=x2 G(x)=-x3 G(x)=-x2

39 Ejercicios de Práctica
Recuerde verificar en la Sección 2.2 los ejercicios asignados. Solamente trabajando los ejercicios sabrás si entiendes el material.

40 FIN…