BLOQUE 7.

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1 BLOQUE 7

2 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN TRIANGULO RECTANGULO
B B1 B2 C En el triángulo ABC: si vamos cerrando al < A, observamos que varia el valor del lado BC. Por lo tanto en todo triangulo rectángulo existe una relación entre el valor de sus lados y la abertura de sus ángulos; y, el valor de los ángulos depende de las relaciones entre sus lados En un triangulo rectángulo es posible establecer ciertas relaciones entre sus lados con respecto a uno de sus dos ángulos agudos, estas relaciones determinan las llamadas funciones trigonométricas. Existen seis funcioones trigonometricas: 1. Seno=sen Tangente=tan Secante=sec 2. Coseno=cos Cotangente=ctg 6.Cosecante =csc A

3 DEFINICION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Con relación al ángulo agudo A (<A), podemos asignar a cada cateto un nombre determinado y definir las Funciones trigonométricas B a Hipotenusa Cateto opuesto Cateto adyacente b sen A = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ ctg A = = ⎯ Cateto opuesto Hipotenusa c a Cateto opuesto c Cateto Adyacente b hipotenusa c cos A= a = c sec A = ⎯------⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ Hipotenusa b Cateto adyacente a Cateto opuesto hipotenusa c tg A= = C csc A = ⎯ ⎯⎯⎯⎯ = ⎯ Cateto adyacente b A b Cateto opuesto a Cateto Adyacente Analizando las seis funciones trigonométricas, observamos que las 3 ultimas son reciprocas de las 3 primeras, respectivamente : a c 1 sen A= ⎯ tg A = ⎯ ctg A = ⎯ csc A = ⎯ sen A = ⎯⎯ ctg A = ⎯⎯ cos A = ⎯⎯ sec A = ⎯⎯ tg A = ⎯⎯ csc A = ⎯⎯ 1 a csc A c tg A b 1 c 1 cos A = ⎯ sec A = ⎯ sec A cos A c b a b 1 1 b a ctg A sen A

4 sen A = ⎯⎯ = 0,6 csc A = ⎯⎯ = 1,66 cos A = ⎯⎯ = 0,4 sec A = ⎯⎯ = 2,5
Determinar las funciones trigonométricas del ∠A, sobre el triangulo rectángulo ABC cuyos catetos miden 4cm, 6cm respectivamente y la hipotenusa 10cm B 6cm 10cm sen A = ⎯⎯ = 0,6 csc A = ⎯⎯ = 1,66 cos A = ⎯⎯ = 0,4 sec A = ⎯⎯ = 2,5 tg A = ⎯⎯ = 1,5 ctg A = ⎯⎯ = 0,66 10cm 6cm 4cm 10cm 6 10 10cm 4cm 6cm 4cm C A 6cm 4cm 4 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPLEMENTARIOS Determinar las funciones del ∠A y del ∠B sobre el triangulo ABC y comparamos entre ellas a b sen A = ⎯ sen B = ⎯ ⇒ cos A = ⎯ cos B = ⎯ ⇒ tg A = ⎯ tg B = ⎯ ⇒ ctg A = ⎯ ctg B = ⎯ ⇒ sec A = ⎯ sec B = ⎯ ⇒ csc A = ⎯ csc B = ⎯ ⇒ c c sen A=cos B cos A=sen B tg A=ctg B ctg A=tg B sec A=csc B csc A=sec B Como ∠A +∠B= 90° por ser ángulos complementarios, podemos concluir que “una función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofución de su ángulo complementario” b a c c B a b b a b a c a a b c c A b a C b c c a b

5 VALORES DE LAS FUNCIONES DE LOS ANGULOS DE 45°, 30° Y 60°
Determinar las funciones trigonométricas del ∠A y del ∠B sobre el triangulo rectángulo ABC, Cuyos catetos miden 6cm, 8cm respectivamente y la hipotenusa 10cm B 8 6 sen A = ⎯ = 0,8 sen B = ⎯ = 0,6 cos A = ⎯ = 0,6 cos B = ⎯ = 0,8 tg A = ⎯ = 1,33 tg B = ⎯ = 0,75 ctg A = ⎯ = 0,75 ctg B = ⎯ = 1,33 sec A = ⎯ = 1,67 sec B = ⎯ = 1,25 csc A = ⎯ =1,25 csc B = ⎯ = 1,67 10 10 6 8 c=10 10 10 a=8 8 6 6 8 A C 6 8 b=6 8 6 10 10 6 8 10 10 8 6 VALORES DE LAS FUNCIONES DE LOS ANGULOS DE 45°, 30° Y 60° 1 1 ANGULO DE 45° Trazamos un triangulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 45° cada uno y sus catetos 1, el valor de la hipotenusa calculamos por el Teorema de Pitágoras. ANGULOS DE 30° Y 60° Trazamos un triangulo rectángulos, cuyos ángulos agudos sean 30° y 60°, su base mida 1 y la hipotenusa 2, el otro cateto calculamos por el Teorema de Pitágoras. A sen 45° = ⎯ = ⎯ cos 45° = ⎯ = ⎯ tg 45° = ⎯ = 1 sen 30°= -- cos 30° = ⎯ tg 30° = ⎯ = ⎯ ctg 30° = ⎯ = √3 sec 30° = ⎯ = ⎯⎯ csc 30° = ⎯ = 2 √2 ctg 45° = ⎯ = 1 sec 45° = ⎯ = √2 csc 45° = ⎯ = √2 sen 60° = ⎯ cos 6° = ⎯ tg 60° = ⎯ = √3 ctg 60° = ⎯ = ⎯ sec 60° = ⎯ = 2 csc 60° = ⎯ = ⎯⎯ √2 2 1 1 √2 √2 b=1 c=√2 √2 2 1 1 √2 C B 1 1 a=1 1 √3 c = √a2 + b2 = √ = √2 2 2 √3 1 B 2 2 1 √3 √3 √3 1 3 c=√3 a=2 √3 1 √3 3 1 √3 A C 2 2 2√3 b=1 1 √3 3 2 2√3 a = √c2 - b2 = √ = √3 2 √3 3 1

6 Angulo Sen Cos Tg C tg Sec Csc 30° ½ ⎯ √3 ⎯⎯ 2 45° 1 √2 60°
Resumiendo los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos 45°, 30° y 60° tenemos: Angulo Sen Cos Tg C tg Sec Csc 30° ⎯ √3 ⎯⎯ 2 45° 1 √2 60° √3 √3 2√3 2 3 3 √3 2 ACTIVIDAD EN CLASE 1. Contesta con V si el enunciado es correcto y con F si es incorrecto. 5 2 3 1 2 Cateto opuesto Sen ∞= ⎯⎯⎯⎯ ( ) Cos ∞ = ⎯⎯⎯⎯ ( ) Sen A = ⎯⎯ ( ) Sec A = ⎯⎯ ( ) Sen 45° = cos 45° ( ) Tg 60° = tg 30° ( ) Csc ∞ = ⎯⎯⎯⎯ ( ) h. Tg ∞ = ⎯⎯⎯⎯ ( ) Sec A = ⎯⎯⎯ ( ) Tg A = ⎯⎯⎯ ( ) k. sen 60° = sen 30° ( ) l. Tg 60° = ctg 30° ( ) Cateto opuesto hipotenusa hipotenusa 3 Cateto opuesto Cateto opuesto Cateto adyacente Cateto adyacente 4 1 1 1 cos A 5 cos A 1 1 6 csc A cot A 4 7 8 2. Desarrolla el siguiente crucigrama 7. Lado ubicado al frente de un ángulo agudo Función que relaciona el cateto opuesto con el adyacente VERTICALES Medida angular del sistema circular Lados que forman el ángulo recto en un triangulo rectángulo Función inversa al seno Abreviatura de secante Lado que forma un ángulo en un triangulo rectángulo HORIZONTALES Abreviatura de cotangente Abreviatura de coseno El lado mayor de un triangulo rectángulo Función inversa al coseno Unidad del sistema sexagesimal Función que relaciona al cateto opuesto y la hipotenusa

7 del triangulo rectángulo, cuyos catetos miden 5cm 3,5cm
3. Determina el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triangulo rectángulo, cuyos catetos miden 5cm 3,5cm Determina el valor numérico de las siguientes expresiones: a. 3 sen 30° + sec 60°= c. 6 tg 45° - 3 csc 30° = e. 8 cos 30°+ 9 ctg 60°= b. 10 sen 45°- 6 cos 45°= d. 5 cos 45°+csc 30° = f Sec 60° sec60° + 5sen45° (tg45°+1)sen30° Calcula el valor de las 5 funciones trigonométricas que faltan, de acuerdo a los siguientes datos: (traza el triangulo) a. Sen A = 10⁄ c. Cos E = 5⁄7 b. Tg K = d. La hipotenusa es el doble de uno de los catetos TAREA 1. Determina el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triangulo rectángulo, cuyos catetos miden 6,5cm, 4cm. (traza el triangulo) 2. Calcula el valor de las 5 funciones trigonométricas que faltan, de acuerdo a los siguientes datos: Sen A = 11/15 b. Tg K = 3 c. Cos E = 4/9 d. La hipotenusa es el cuádruplo de uno de los catetos

8 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
Resolver un triángulo rectángulo es, encontrar el valor de los elementos desconocidos (lados y ángulos agudos), conociendo por lo menos dos de ellos; basados en las relaciones trigonométricas ya establecidas y el Teorema de Pitágoras. Resolver el triángulo rectángulo si uno de sus catetos mide 8 cm y la hipotenusa 12cm B Datos ∠C = 90° b = 8cm C = 12cm ∠A = ? ∠B = ? a = ? Calculo del ∠ A 8cm Cos A = 12cm = 0,666 ⇒ ∠A = 48,2° Calculo del ∠ B Como ∠A y∠B son complementarios: ⇒ ∠B = 90°-∠A ∠B = 90°-48,2° ∠B = 41,8° Calculo de a (cateto) Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos: a=√122-82= √80 a =8,94cm c=12 a A C b=8 Resolver el triángulo rectángulo si uno de sus catetos mide 10cm y 8cm, respectivamente B Datos ∠C = 90° b = 8cm C = 10cm ∠A = ? ∠B = ? c = ? Calculo del ∠ A 8cm tg A = 10cm/8cm = 1,25 ⇒ ∠A = 51,3° Calculo del ∠ B Como ∠A y∠B son complementarios: ⇒ ∠B = 90°-∠A ∠B = 90°-51,3° ∠B = 38,7° Calculo de c (hipotenusa) Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos: c=√102+82= √164 c =12,8cm c a=10 A C b=8

9 APLICACIONES F d=9 f D F e E f d F D e=10
Resolver el triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 9cm y uno de sus ángulos agudos 25° F Datos ∠D = 90° d = 9cm F= 25° ∠E = ? e = ? f = ? Calculo del ∠ E Como ∠E y ∠F son complementarios: ⇒ ∠E= 90°-∠F ∠E = 90°- 25° ∠E = 65° Calculo de e (cateto) Cos 25° = e/9cm 0,906 = e/9cm e =9cm x 0,906 e= 8,15cm Calculo de f (cateto) Sen 25° = 1/9cm 0,423 = 1/9cm f = 9cm x 0,423 f = 3,8cm d=9 f 250 D F e Resolver el triángulo rectángulo si uno de sus ángulos agudos miden 25° y su cateto adyacente 10cm E Datos ∠D= 90° e = 10cm ∠F = 25° ∠E = ? d = ? f = ? Calculo del ∠ E Como ∠E y∠F son complementarios: ⇒ ∠E = 90° - ∠F ∠E = 65° Calculo de f (cateto) Tg 25° = f/10cm 0,466 = 1/10cm f = 10cm x 0,466 f = 4,66cm Calculo de d (hipotenusa) Cos 25° = 10cm/d 0,906 = 10cm/d d = 10cm/0,906 d = 11,04cm f d F D e=10 APLICACIONES Las técnicas de resolución de triángulos rectángulos, nos permiten resolver problemas de la vida diaria. PARA RECORDAR Línea visual Linea horizontal Angulo de depresión Angulo de elevación Linea horizontal Línea visual

10 Ejemplos: ∠S = 90° b= 25cm f= 80m ∠B= ? Calculo del ∠B
Calcular la atura que se ha elevado una cometa, si la longitud del hilo que le sostiene es de 50m y forma con el suelo un ángulo de 42° DATOS ∠B = 90 b = 10cm a = ? Calculo de a (altura) Sen 42° = a/50m⇒0,669=a/50m Despejando a tenemos: a=50m x 0,669 a= 33,45m C b=50m a 42° A c B Para calcular el ancho de un río, se midió la distancia AB como se observa en la figura a lo largo de su orilla, tomándose el punto A Opuesto a un árbol ubicado en el punto C sobre el otro lado del río. Si se observa que el ∠ABC es de 52° y la distancia AB de 10m ¿cuál es el ancho del río? DATOS ∠A= 90° ∠B= 52° c= 10cm b= ? Calculo de b (ancho del río) Tg 52° = b/10m 1,28 = b/10m b = 10m x 1,28 = 12,8m b A C A C 10 a B B La distancia de un barco a un faro es de 80m. ¿Cuál es el ángulo de elevación con el que el capitán de un barco observa la parte superior Del faro si éste mide 25m de alto? DATOS ∠S = 90° b= 25cm f= 80m ∠B= ? Calculo del ∠B Tg B = 25m/80m= 0,3125 ⇒ ∠B = 17,35° F b= 25m B f= 80m S

11 Resuelve los siguientes problemas:
ACTIVIDAD EN CLASE Resuelve los siguientes problemas: Un edificio proyecta una sombra de 18m cuando los rayos del sol determinan un ángulo de 40° sobre el horizonte ¿Cuál es la altura del edificio? Una escalera de 2,5m forma con el piso un ángulo de 75°. Calcula la distancia que existe entre la base de la pared y el extremo inferior de la escalera. Un piloto que vuela a una altura de 4820m observa que el ángulo de la depresión de una cancha de futbol es de 15°15’ ¿Qué distancia hay en ese instante entre el avión y la cancha? Uno de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo mide 80° y su área es de 120m2. Calcula la medida des sus lados y el valor del otro ángulo agudo. Desde la parte superior de un edificio se observa que el ángulo de depresión del extremo de una línea horizontal de 276m de longitud, medidos a partir del pie del edificio es de 50°30’. Determinar la atura del edificio. Las diagonales de un rombo suman 18cm; se sabe que la diagonal mayor tiene 4cm mas que la diagonal menor. Calcula la medida de los ángulos agudos.

12 Resolución de los siguientes problemas:
TAREA Resolución de los siguientes problemas: Un edificio de 85m de altura proyecta una sombra de 68m de longitud. ¿Cuál será el valor del ángulo de elevación del sol? En un triangulo isósceles la base mide 10cm y uno de los ángulos de la base mide 35°. ¿Cuál es la altura del este triangulo? Desde la punta de una roca que se eleva verticalmente 36m fuera del agua se observa que el ángulo de depresión de un bote es de 42° Determina la distancia del bote al pie de la roca. Desde la parte superior de un edificio de 65m de altura se observa que el ángulo de depresión de un objeto que esta a nivel con la base del edificio es de 34°45’. ¿Cuáles son las distancias del objeto a la punta y a la base del edificio? Una escalera esta apoyada en la pared de un edificio, de modo que del pie de la escalera al edificio hay 6,5m. ¿A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera y cual es la longitud de la misma, si forma un ángulo de 65° con el suelo? Desde el interior de un barco a 28m sobre el nivel del mar se puede observar una lancha con un ángulo de depresión de 48°. Determine la distancia entre el barco y la lancha. Se desea saber el ancho de un río. Colocándonos en un punto de referencia A nos desplazamos 32m al norte hasta el punto B; desde ahí se observa con un ángulo de 40° un punto C que forma un ángulo recto con el punto de referencia A.

13 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Objetivo general Comprender los diferentes casos de triángulos oblicuángulos y sus respectivas soluciones por medio de la ley del seno y del coseno. Objetivo especifico: Demostrar y comprobar las leyes del seno y del coseno en la resolución de triángulos oblicuángulos.

14 Un triángulo oblicuángulo incluye 6 elementos susceptibles
Elementos de un Triángulo oblicuángulo Un triángulo oblicuángulo incluye 6 elementos susceptibles de variación: Que son 3 ángulos y 3 lados. Ejemplos

15 Leyes para la resolución de triángulos oblicuángulos
Ley del seno Ley del coseno En cualquier triángulo ABC, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos; esto es: En cualquier triángulo ABC, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante; esto es:

16 RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS
TRIANGULO OBLICUANGULO.- Es aquel en que ninguno de sus ángulos interiores es recto, son triángulos acutángulos y obtusángulos. La resolución trigonométrica de esto triángulos se basa en la aplicación de tres leyes: ley de los senos, ley de los cósenos y ley de las tangentes. LEY DE LOS SENOS.- En todo triángulo los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: DEMOSTRACION a b c A C B D altura h altura a A C D B b c h

17 Igualamos Analógicamente trazamos las alturas a los vértices A y B, tenemos: Igualamos Igualamos Igualamos (1), (2) y (3)

18 LEY DE LOS COSENOS.- En todo triangulo el cuadrado de un lado cualesquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

19 DEMOSTRACION En el ΔADC En el ΔBCD b2 = h2 + AD2 ➊ Sen B= h/a
altura a A C D B b c h a b c A C B D altura h En el ΔADC En el ΔBCD b2 = h2 + AD2 ➊ Sen B= h/a Cos B = BD/a h = a sen B ➋ BD = a cos B Entonces: AD = AB - BD reemplazando AD = c – a cos B ➌

20 Reemplazando ➋ y ➌ en ➊ b2 = a2 sen2 B + (c - a cos B)2 b2 = a2 sen2 B + c2 - 2ac cos B + a2 cos2 B b2 = (a2 sen2 B + a2 cos2 B) + c2 - 2ac cos B b2 = a2 (sen2 B + cos2 B) + c2 – 2ac cos B Como: sen2 B + cos2 B = 1 b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

21 De las tres primeras formulas despejando los cosenos de los ángulos tenemos:

22 ✥ La suma de los tres ángulos interiores de un triángulos es 180°.
PARA RECORDAR ✥ La suma de los tres ángulos interiores de un triángulos es 180°. A+B+C=180°, entonces: A=180°-B-C B=180°-A-C C=180°-A-B ✥ Ángulos suplementarios son los que sumados dan 180°. ✥ En todo triangulo, a mayor lado se opone mayor ángulos y a menor lado se opone menor ángulo. ✥ Para resolver un triangulo oblicuángulo es necesario conocer por lo menos tres de sus elementos: > Un lado y dos ángulos. > Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos > Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. > Tres lados.

23 Resolver el triángulo, dados a= 20 ; A= 50° ; B=60°
LEY DE LOS SENOS Resolver el triángulo, dados a= 20 ; A= 50° ; B=60° Cálculo del lado ∠C C = 180° - A – B C = 180° - 50° - 60° C = 70° Cálculo del lado b a / senA = b / senB → b = a senB / senA b = 20 x sen60° / sen50° b = 20 x 0,866 / 0,766 b = 22,6 Cálculo del lado c a / sen A = c / sen C → c = a sen C / sen A c = 20 x sen 70° / sen 50° c = 20 x 0,934 / 0,766 c = 24,4 C a=20 b 60° 50° B c A Resolver el triángulo, dados c= 5,5 ; A= 55° ; B=100° Cálculo del lado ∠C C = 180°- A- B C = 180° -55° -100° C = 25° Cálculo del lado a a /sen A = c / sen C → a = c sen / sen C a = 5,5 x sen 55° / sen 25° a = 5,5 x 0,819 / 0,423 a = 10,6 Cálculo del lado b a / senA = b /senB → b = a senB /senA b = 10,6 x sen 100° / sen 55° b = 10,6 x 0,985 / 0,819 b = 12,7 b C a 55° 100° A c= 5,5 B Resolver el triángulo, dados a= 10 ; b= 15 ; B=80° Cálculo del lado ∠C a / senA = b / senB → senA = asenB /b Sen A= 10 x sen 80° / 15 Sen A = 10 x 0,985 / 15 = 0,6567 A = sen-1 0,6567 A = 41° C = 180° - A – B C = 180° -41° - 80° C = 59° a / senA = c / senC → c = a senC / senA c = 10 x sen 59° / sen 41° c = 10 x 0,8572 /0,6567 c = 13,1 C a=10 b=15 80° B c A Resolver el triangulo, dados a= 10, b= 14, A =75° En este caso b sen A = 14 x 0,9659 = 13,5226 por lo tanto a < b sen A y el triángulo no tiene solución. Resolver el triangulo, dados a= 14, b= 25, A=150° En este caso a < b y ∠A > 90°, el triángulo es imposible y no hay solución.

24 Resolver el triángulo, dados a= 12, b= 25, A=35°
En este caso b sen A = 20 x 0,5536=11,472 por lo tanto a esta comprendido entre b y b senA y si el triángulo tiene 2 soluciones, es decir se forman 2 triángulos que satisfacen las condiciones dadas. Cálculo de ∠B a / sen A= b / sen B → sen B = b sen A / a Sen B = 20 x sen 35° / 12 = 20 x 0,5736 / 12 Sen B = 0,956 B = sen-1 0,956 Este valor corresponde al ∠B’ y al del ángulo suplementario ∠B: B’ = 72,94° B = 180° - 72,94° - 107,06° En el ∆ ABC C = 180°- A – B C = 180° - 35° - 107,94° C = 37,94° a/senA = c / senC → c = a sen C / sen A c = 12 x sen 37,94° / sen 35° = 12 x 0,6148 / 0,5736 c = 12,9 En el ∆ AB’C B’ = 72,94° Cálculo del ∠C’ C’ = 180° - A – B’ C’ = 180° - 35°- 72,94° C’ = 72,06 a / sen A = c’ /sen C’ → c’ = a sen C’ / sen A c’ = 12 x sen 72,06° / sen 35° c’ = 12 x 0,9514 / 0,5736 c’ = 19,9 C b=20 a=12 35° 100° A B C b=20 a=12 a=12 35° 100° A B B’ Cateto Opuesto ∗ Dos soluciones: Si ∠A es agudo y el valor de a esta comprendido entre b y b sen A. ∗ Ninguna solución: Si ∠A es agudo y a < b sen A, o si ∠A es obtuso y a < b, o a = b ∗ Una solución: En todos los demás casos. PARA RECORDAR

25 LEY DE LOS COSENOS Resolver el triángulo, dados a = 15, b = 20, C = 70° Cálculo del lado c c2 = a2 b2- 2ab cos C c2 = (15)(20) cos 70° c2 = – 600(0,342) c2 = 625 – 205,2 c2 = 419,8 c2 =√419,2 c = 20,5 Cálculo del lado ∠A a / sen A = c / sen C → senA = asenC / c Sen A = 15 x sen75° / 20 Sen A = 15 x 0,9659 / 20 Sen A = 0,724425 A = sen-1 0,724425 A = 46,42° Cálculo del lado ∠B B = 180° - A – C B = 180° - 46,42° - 75° B = 58,58° B c a =15 700 A C b=20 Resolver el triángulo, dados a = 12, b = 10, c = 15 Cálculo del ∠A a2 = b2 + c2 - 2bc cos A Despejando cos A Cos A = b2+c2-a2 / 2bc Cos A = / 2(10)(15) Cos A = / 300 Cos A = 0,6033 A = cos-1 0,6033 A = 52,89° Cálculo del ∠B a/senA = b / sen B → sen B = bsenA / a Sen B = 10xsen52,89°/ 12 Sen B = 10x0,6033 / 12 Sen B = 0,50275 B = sen-1 0,50275 B = 30,18° Cálculo del ∠C C = 180° - A – B C = 180° - 52,89°- 30,18° C = 96,93° B C=15 a =12 A b=10 C

26 b. Dados a = 120cm; B = 60°30’; C = 40°25’
ACTIVIDAD EN CLASE Resuelva los siguiente triángulos. (en caso de no tener solución escriba la razón: a. Dados a = 30m, A = 70°, B = 40° b. Dados a = 120cm; B = 60°30’; C = 40°25’ c. Dados a = 30cm; b = 50cm; A = 110° d. Dados a = 12m, b = 18m; A= 720 e. Dados a = 13km; b= 15km, A = 54° f. Dados a = 4m; b = 5m; C = 60° g. Dados a = 6mm, b = 5mm, c = 8mm h. Dados b = 10m, c= 12m, A = 120°

27 TAREA Resuelva los siguiente triángulos. (en caso de no tener solución escriba la razón: Dados a = 6m; b = 11m; A = 64° Dados a = 5m; b = 7m; C = 80° Dados a = 8cm; b = 6cm; c= 9cm Dados a = 11cm; b = 13cm; c = 15cm Dados a = 9m; b = 12m; c = 15m Dados a = 25cm; A = 65°; B = 50° Dados a = 100cm; B = 50°45’; C = 50°25’ Dados a = 40cm; b = 60cm; A = 120° Dados b = 12mm; c = 14mm; A = 150°

28 APLICACIONES Las leyes de resolución de triángulos oblicuángulos, permiten solucionar problemas de la vida diaria. Dados dos puntos B y C de una carretera situados a una distancia de 250m se observa un árbol A, sabiendo que el ángulo C es 50° y el ángulo B es 60°. Calcular la distancia del árbol al punto mas cercano. C Cálculo de ∠A A = 180° -B – C A = 180° - 60° - 50° A = 70° Cálculo del lado b a / sen A= b / sen B → b=a sen B/sen A b = 250m x sen 60° / sen 70° b = 250m x 0,866 / 0,9397 b = 230, 4m Cálculo del lado c a / sen A= c / sen C → c = a sen C / sen A c = 250m x sen50° / sen70° c = 250m x 0,766 / 0,9397 c = 203,08m 50° b a=250 60° A B c Para encontrar la distancia entre dos puntos A y B separados por un estanque, se ha escogido una estación C y se han medido las distancias AC = 326m, BC = 222,5m y el ángulo C = 58°.¿Cuál es la distancia AB? Cálculo del lado c c2 = a2 + b2 -2ab cos C c2 = (222,5m) 2 + (326m) 2 – 2(222,5m)(326m)cos58° c2 = 49506,25m m2 – m2 (0,5299) c2 = ,25m2 – 76872,593m2 c2 = 78909,657m2 c = √ 78909,657m2 c = 280,9m A b=326m C 58° a=222,5m B

29 ACTIVIDAD EN CLASE Resuelve los siguientes problemas (Traza el triangulo) a. Dos trenes parten simultáneamente de una estación, en dirección tal que forman un ángulo de 45˚. Uno va a 15Km/h y el segundo a 25Km/h. Determinar a que distancia se encuentran separados después de 2 horas de viaje. R=35,8Km b. Calcular la distancia entre los puntos A y B, separados por una montana , sabiendo que sus distancias a un punto O son de 300 y 400m respectivamente y que el ángulo O es de 50˚. R=309,4m c. Un avión sale de un punto A y vuela a 120 millas en dirección N35˚40’O. Trata de regresar al punto de partida, pero, por error, vuela 120 millas en dirección S49˚20’E. Calcular a que distancia se encuentra de A y cual debe ser la dirección que ha de tomar para llegar a A. R=100,1 millas y S39,23˚O d. La magnitud de la resultante de dos fuerzas de 105Kg y 205Kg es 265Kg. Encontrar el ángulo formado por las dos direcciones de las fuerzas componentes. R=66˚29’ e. Un barco navega 12 millas en dirección S45˚15’O, después, 20 millas en dirección N30˚45’O. Encontrar a que distancia esta del punto partida y cual es su orientación respecto al mismo punto. R=20,7 millas, N65˚7’O.

30 TAREA Resolver los siguientes problemas (Traza triangulo)
a. Una escalera de 4,30m de largo se coloca a 2,5m de la base de un muro inclinado y alcanza una altura de 3,2m sobre el muro. Hallar el ángulo de inclinación del muro. R=97˚11’ b. En las orillas opuestas de un rio se sitúan dos puntos A y B. En la orilla donde esta situado el punto A se determina un segmento AC=225m y se miden los ángulos A=125˚15’ y C=47˚50’. Encontrar la longitud de AB. R=1384m c. Sobre un cuerpo se ejercen dos fuerzas de 15,5Kg y 21,5Kg. Si las direcciones de las fuerzas forman un ángulo de 55˚20’, encontrar la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma con la fuerza mayor. R=32,89Kg,22˚47’ d. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 40˚15’ y tienen longitudes de 5 y 8cm. Determinar la longitud de la diagonal menor. R=5,3m e. Calcular la distancia entre los puntos A y B, entre los cuales hay un estanque, sabiendo que sus distancias a un punto P son de 275 y 325 metros respectivamente y que el ángulo P es de 65˚. R=325,13m

31 Taller 1. Escribir una V sui el enunciado es correcto y una F si es incorrecto. a. La tan de 180˚ tiende al infinito ( ) b. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios ( ) c. El coseno es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa ( ) d. La tangente es la inversa de la cotangente ( ) e. En todo triangulo, a mayor lado se opone mayor ángulo ( ) f. Si ∠ A es obtuso y a ∠ b el triangulo tiene dos soluciones ( ) g. Ángulos suplementarios son los que sumados dan 180˚ ( ) h. Si A es obtuso y a=b el triangulo no tiene solución ( ) i. La suma de los tres ángulos interiores de un triangulo es: 180˚ ( ) j. Dados los 3 lados de un triangulo oblicuángulo se aplica la ley de los senos ( ) k. Si ∠ A es agudo y el valor de a esta comprendido entre b y b sen A ( ) j. En todo triangulo los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos ( )

32 2. Verificar la igualdad de las siguientes relaciones, en caso de ser incorrecto corregir el error.
a. sen² 30˚ + tg² 45˚=5/ c. cos² 45˚ tg45˚-sen² 45˚ tg² 45˚=0 b. sen30˚ cos60˚ + cos30˚ sen60˚= d. sec² 60˚ = 2csc² 30˚ - 4 Resolver los siguientes problemas. ( Realizar el gráfico respectivo) a. Sabemos que la hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 20cm y su área de 120m². ¿Cual es el valor de sus otros elementos? b. Desde la parte superior de un edificio de 76m de altura se observa que el ángulo de depresión de un objeto que esta a nivel con la base del edificio es de 46˚15’ ¿ Cuales son las distancias del objeto a la punta y a la base del edificio? c. Un avión deja caer un proyectil sobre un objetivo. Calcula la distancia a la que debe saltar el proyectil antes del objetivo sabiendo que el ángulo de tiro es de 36˚ ; el avión vuela a 3400m de altura. d. Se desea establecer un punto A al occidente de B, inaccesible desde este punto. Se escogió entonces un punto C, al N31˚42’O de B, a la distancio BC=825,3m. A queda ahora al S41˚20’ de C ; hallar la distancia AC. R=935,2m.

33 EJERCICIOS DE REFUERZO
e. Un alambre que tiene una longitud de 1,6m se dobla para formar un triangulo. Si 2 de sus lados miden 45 y 60cm, respectivamente, calcular los angulos del triangulo. R=45˚48’,75˚,61˚12’ f. Un barco zarpa de un muelle y navega 16 millas nauticas hacia el Este. Despues navega 18 millas nauticas en la direccion S55˚E. ¿ A que distancia del muella se encuentra en este ultimo punto? R=32.4millas nauticas g. Dos fuerzas de 140Kg y 210Kg determinan una resultante es de 280Kg , hallar el angulo que forman las dos fuerzas y el que forma la resultande con la fuerza menor. R=46˚34’,75˚31’ Determina el valor de las siguientes expresiones. a. 3 sen 60˚ + 3 cos 30˚ c. 4 cos 45˚ - 4 sen 45˚ e. 3 cos 30˚ + 2 cot 60˚ b. 3 cos 30˚ + 2 sen 45˚ d. tan 25˚ + tan 60˚ f. sen² 30˚ + cos² 30˚ cos 45˚ + 2 cot 60˚ tan 25˚x tan 60˚ sen² 60˚ + cos² 60˚ EJERCICIOS DE REFUERZO

34 2. Encuentra los valores de las demas funciones trigonometricas de los angulos agudos A y B del triangulo rectangulo ABC. a. sen A= c. cos A= e. sen A= g. tg A = cos A= 1 b. tg A= 2, d. tg A= f. sec A = h. ctg A= j. csc A= 1,2 3. Resuelve los triangulos rectangulos, con los datos que indican a continuacion. (Los angulos son A y B) a. c= c. c= e. a= 7, g. b= i. b= 6,8 A= 75˚ B= 54˚ B=28˚ A= 42˚ B= 52˚ b. a= d. a= 6, f. c= 7, h. c= 9, j. A= 28˚ A= 48˚ b= 5, a= 5, b= 5, a= 12 4. Resuelva los siguientes problemas. a. ¿Cual es el valor de la altura de un triangulo equilatero que mide 9m de lado? b. ¿Cual es el valor de la altura de un triangulo isosceles si sus lados congruentes miden 10 cm u su lado no congruente mide 7cm? c. ¿Cuanto mide la base de un rectangulo que tiene una altura de 5m, si la diagonal que se forma entre la base y la altura mide 9m?

35 d. Un edificio de 120m de altura proyecta una sombra de 150m
d. Un edificio de 120m de altura proyecta una sombra de 150m. ¿Que distancia existe en linea recta desde el punto mas alto del edificio hasta el extremo de la torre? e. Una persona utilizo 12m de alambre para sujetar una antena de television que tiene una altura de 6m. ¿A que distancia de la base de la antena se debe clavar el alambre? f. Que altura alcanza una escalera de 13m de largo que se encuentra apoyada sobre un muro vertical, y si la distancia desde el muro hasta la base de la escalera es de 5m. g. Cual es el valor de la base y la altura de un triangulo isosceles cuyo angulo de vertice mide 70˚ y cuyos lados congruentes miden 45m. h. Un triangulo isosceles tiene una base de 16,9cm, y los angulos de su base miden 45˚28’. Encontrar los lados congruentes y la altura. i. Desde la parte superior de un edificio se observa que el angulo de depresion del extremo de una linea horizontal de 280m de longitud, medidos a partir del pie del edificio es de 25˚20’. Determinar la altura del edificio. j. Una casa de 15m de altura proyecta una sombra de 9,5m. Determinar el angulo de elevacion del sol. k. Dos caminos rectos que se cortan, forman un angulo de 50˚. En uno de los caminos y a 200m del cruce, hay una estacion de gasolina. Encontrar la menor distancia desde la estacion hasta el otro camino.

36 l. Un tubo de agua se ha instalado con un angulo de 10˚30’ por debajo del piso. En un punto
A del piso se hace una excavacion de 1,25m de profundidad para llegar al punto B del tubo. Se desea saber a que profundidad se debe de excavar para llegar al tubo (punto D) desde el punto C que dista 12m del punto A. Calcular ademas la longitud del tubo. m. Desde la parte superior de un edificio de 120m de altura se observa que el angulo de depresion de un objecto que esta a nivel con la base del edificio es de 26˚45’. ¿ Cuales son las distancias del objecto a la punta y a la base del edificio? n. Desde la parte superior de un edificio se observa que el angulo de depresion del extremo de una linea horizontal de 350m de longitud, medidos a partir del pie del edificio s de 20˚16’. Determinar la altura del edificio. n. Un piloto que vuela a una altura de 3800m observa que el angulo de depresion de una cancha de futbol es de 30˚. ¿ Que distancia hay en ese instante entre el avion y la cancha? o. Desde el interior de un barco a 28m sobre el nivel del mar se puede observar una lancha con un angulo de depresion de 34˚. Determinar la distancia entre el barco y la lancha. p. Un hombre recorre 1500m a lo largo de un camino que tiene una inclinacion de 10˚ respecto a la horizontal. ¿Que altura alcanza respecto al punto de partida? q. Dos caminos rectos que se cortan, forman un angulo de 50˚. En uno de los caminos y a 200m del cruce, hay una estacion de gasolina. Encontrar la menor distancia desde la estacion hasta el otro camino.

37 b. b=109; c=141; C=40˚16’ g. b=6; c=4 A=58˚ l. B=45˚; b=9 2; c=18
Encuentra los elementos restantes en cada uno de los triangulos rectangulos que forman las siguientes figuras. 16 a b 6. Resuelve los siguientes triangulos oblicuangulos. (Traza el triangulo) a. a=18,5; B=62˚; C=48˚ f. a=5,15; c=8,35; C=31˚52’ k. A=54˚; a=8cm; c=7cm b. b=109; c=141; C=40˚16’ g. b=6; c=4 A=58˚ l. B=45˚; b=9 2; c=18 c. B=30˚; a=20; b= h. a=3; b=7; c= m. A=79˚15’; B=55˚; c=112 d. a=70; c=82; A=118˚ i. A=25˚08’; a=6,75; b=8, n. c=50; A=54˚; B=38˚ e. b=3; c=2,5; C=24˚ j. a=6; b=8; c=10 7. Resuelva los siguientes problemas. (Traza el triangulo) a. Un topografo situado en B observa dos puntos A y C, en los extremos de un lago. SiAB=331,7m, BC=241,2m, y el angulo B=120˚41’. Calcular la distancia AC. 1 2 3

38 b.Un triangulo esta formado por tres fuerzas: F=25,07Kg, F =22,6Kg y F =41,72Kg Calcular los angulos que forman dichas fuerzas. R=122˚ c. Un buque A zarpa de un puerto P con un rumbo O 53˚36’ a la velocidad de 10,3 millas nauticas por hora, 45 minutos mas tarde, zarpa el buque B del mismo puerto con rumbo O22˚42’ a la velocidad de 8,3 millas nauticas por hora. Halle la distancia entre los buques 2 horas despues de haber zarpado B. d. Un bote patrulla recorre 37,8Km con rumbo 131,3˚ y despues 28,3˚ con rumbo O36,7˚. Hallar el rumbo y la distancia que ddebe recorrer para regresar por la ruta mas corta. R=45,37Km, 272,7˚ e. Dos fuerzas de 400Kg y 600Kg, forman un angulo de 53˚35’. Determinar la magnitud y direccion de la resultante. R=897Kg, 21˚1’(Con la componente mayor) f. Volando sobre una isla a 1200m sobre el nivel del mar, un observador determina que los puntos extremos de la isla, en linea recta con su direccion de vuelo, determinan angulos de depresion de proa y popa de 32˚12’ y 18˚29’, respectivamente, Determina la distancia entre dichos puntos de la isla. R=5496m

39 RAZONES TRIGONOMETRICAS EN LOS DIFERENTES CUADRANTES
Cuando estudiamos las razones o funciones trigonométricas de ángulos agudos de un triangulo rectángulo, tenemos como elementos: El cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa. En cambio por las razones o funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera en el plano cartesiano, tenemos como elementos: La abscisa (x), la ordenada (y) y la distancia (d) Y+ Segundo Cuadrante Y+ Primer Cuadrante II I P ( x , y ) P (-x , y) I II d d + + X+ θ α α θ X- X+ X- - + O Q O Q III IV Todas las funciones son positivas El Angulo θ esta entre 0˚ y 90˚ ( α, θ ) angulos complementarios α θ = 90˚ α = 90˚ θ θ = 90˚ α III IV Las funciones senθ y cscθ son positivas El Anguloθ esta entre 90˚ y 180˚ ( α , θ ) angulos suplementarios α + θ = 180˚ α = 180˚ - θ θ = 180˚ θ Y- Y- Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante Y+ Y+ II I II I θ X+ θ X+ - + X- O α X- α - O d d - III IV Las funciones tagθ y ctgθ son positivas El Angluloθ esta entre 180˚ y 270˚ θ 180˚y ˚ θ = 180˚ + α α = θ - 180˚ P (-x , - y) Las funciones cosθ y secθ son positivas El Anguloθ esta entre 270˚ y 360˚ θ ˚ y ˚ θ = 360˚ α α = 360˚ θ P(x, -y) III IV Y- Y-

40 FUNCIONES I CUADRANTE II CUADRANTE III CUADRANTE IV CUADRANTE
senθ= ordenada y y y= - y y = - y distancia d d d d d d cosθ= abcisa x x = - x x = - x x = x distancia d d d d d d d tanθ= ordenada y y = - y y = y y = y abcisa x x x x x x x ctgθ= abcisa x x = - x x = x x = - x ordenada y y y y y y y senθ= distancia d d = - d d = - d d = d abcisa x x x x x x x cscθ= distancia d d d = -d d = - d ordenada y y y y y y SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LOS DISTINTOS CUADRANTES Y+ II I CUADRANTE FUNCION Sen θ y Cscθ Cos θ y Sec θ Tan θ y Ctg θ I II III IV Senθ y cscθ son positivas Todas las funciones son positivas X- X+ Tanθ y ctg son positivas Cosθ y secθ son positivas IV III Y-

41 Calcular las razones trigonometricas sabiendo que sen= - 3 4
Datos: x= -3 ; d = 4 ; y = ? y = √d² + x² d = √(4)² - (-3)² y = √7 RAZONES TRIGONOMETRICAS

42 ACTIVIDAD EN CLASE Calcula las razones trigonometricas con los siguientes datos. a. Dado el punto P (-5, -2) b. Dado senθ - 4 5 c. Dado el punto P ( 4, -5)

43 Grafica las lineas trigonometricas en el primero y segundo cuadrante.
2. Grafica las lineas trigonometricas en el tercero y cuarto cuadrante. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS BASICAS Identidad trigonometrica es una igualdad que se verifica para todos los valores posibles de la variable. Las identidades trigonometricas basicas son: IDENTIDADES RECIPROCAS senθ = IDENTIDADES DE COCIENTE senθ x cscθ= cscθ cscθ= tanθ= senθ senθ cosθ senθ= ctgθ= cosθ senθ x cscθ= cscθ senθ cscθ= IDENTIDADES PITAGORICAS senθ sen² θ + cos² θ= 1 senθ= 1 senθ x cscθ= cscθ ctg² θ = csc² θ cscθ= 1 senθ tan² θ = sec² θ ACTIVIDAD EN CLASE TAREA

44 Ecuaciones trigonometricas basicas
Para demostrar una ecuación trigonométrica se procede a reemplazar las identidades trigonométricas hasta obtener una igualdad. Demostrar que las siguientes ecuaciones son identidades trigonométricas Demostrar que: Demostrar que: cosα = senα . ctgα cosα = senα . cosα cos² α= sen α ( csc α – senα) senα cos² α= sen α ( senα) cosα = cosα senα Demostrar que: cos² α = senα - sen²α tanα = tanα – senα 1 – ctgα cos² α = 1- sen²α tanα = tanα cos² α = cos² α tanα Demostrar que: tanα = tanα cos²β + sen β= cos β + sen²β tanα cos²β + sen β= (cos²β)² + sen²β tanα cos²β + sen β=(1-sen²β)²+ sen²β tanα = (tanα -1) tanα cos²β+ sen β= 1-sen²β+sen β+sen²β tanα cos²β+sen β=1-sen²β+sen β tanα = tanα cos²β+sen β= cos²β + sen β 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

45 Actividad en Clase Demuestra las siguientes identidades trigonométricas. a. (1-sen²α) sec²α= c. cosβ ctgβ= cscβ - senβ b. senα tan α= secα – cosα d. sen²α – cos²α = sen α – cos α e. sec² α = csc² α f. 1+ sec²β = cscβ tan² α tanβ+senβ 4 4 TAREA Demuestra las siguiente identidades trigonometricas a. tan²α – sen²α = tan²α sen²α f. sen²α sec²α = sec²α - 1 b. sen y (csc y –sen y) = cos² g. tan x sen x + cos x= sec x c. csc²α tan²α -1=tan²α h. (1+tan²a) (1-sen²a) =1 d. 1+ cosμ + senμ = 2cscμ i. 1+cosα + senα = cosα+1 senμ cosμ senα cosα senα cosα e. sen y = 1-cos y j. 1-senσ = cosσ 1+cos y sen y cosσ 1+senσ

46 Autoevaluacion Escribe una X en el casillero que consideres adecuado, segun tu apreciacion. No comprendo 1. Comprendo pero tengo dificultad para resolver 2. Comprendo y resuelvo sin dificultad 3. INDICADORES INDICADORES Funciones Trigonometricas Funciones trigonometricas en los difetentes cuadrantes Funciones de angulos Lineas trigonometricas notables. Aplicaciones de triangulos Identidades trigonometricas Rectangulos. Aplicaciones de triangulos Ecuaciones trigonometricas Oblicuangulos