1. INTRODUCCIÓN: ¿QUÉ SON LOS MODELOS TEÓRICOS Y PARA QUÉ SIRVEN?

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1 Temas 4 y 5 MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA

2 1. INTRODUCCIÓN: ¿QUÉ SON LOS MODELOS TEÓRICOS Y PARA QUÉ SIRVEN?
2. VARIABLES DISCRETAS 2.1. DISTIBUCIÓN DE BERNOULLI 2.2. BINOMIAL 2.3. DISTRIBUCIÓN DE POISSON 3. VARIABLES CONTINUAS 3.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL 3.2. NORMAL ESTANDARIZADA 3.3. JI-CUADRADO 3.4. T-STUDENT 3.5. F-SNEDECOR

3 Bibliografía básica: Amón, J. (1991). Estadística para psicólogos. Vol II. Madrid: Pirámide Botella, J., León, O., San Martín, R. y Barriopedro, M.I. (2001). Análisis de Datos en Psicología I. Teoría y Ejercicios. Madrid: Pirámide. De la Fuente, E.I. Guàrdia, J. Cañadas, G.R. Lozano, L.M. Martín, M.E. y Vargas, C. (2007). Breviario de Probabilidades para la Estadística. Granada: SIDER S.C. Bibliografía complementaria Merino, J.M., Moreno, E., Padilla, M.,Rodríguez-Miñón, P., Villarino, A. (2001). Análisis de Datos en Psicología I. Madrid: UNED.

4 OBJETIVO En la mayor parte de los casos prácticos nos encontramos con variables cuya función de probabilidad (discretas) o de densidad de probabilidad (continuas) se ajustan a modelos concretos y conocidos. El objetivo de este tema es estudiar algunas distribuciones concretas que sirven de modelos de algunas situaciones reales que se dan en la investigación en Psicologìa.

5 1. INTRODUCCIÓN: ¿QUÉ SON LOS MODELOS TEÓRICOS Y PARA QUÉ SIRVEN?
Por lo visto hasta ahora, puede parecer que el trabajo con V.A es muy laborioso, dado que el valor esperado, la varianza y la probabilidad exige el conocimiento exhaustivo de valores y probabilidades y a veces queremos saber cosas de una población que es para nosotros inaccesible. Para trabajar con variables en psicología, la función de probabilidad y la de densidad de probabilidad se va a ajustar a una fórmula determinada, y por tanto a un modelo teórico concreto. Una vez que elegimos la distribución que mejor se ajusta a nuestros datos, ésta permitirá que calculemos cualquier probabilidad relativa a los mismos. Los modelos teóricos son importantes, ya que nos van a permitir conocer la distribución de una V.A. y todas sus características, que habrán sido previamente calculadas de forma general.

6 Esto conlleva que el primer paso, en el estudio de una situación donde intervenga una V.A. no sea hallar directamente su distribución, sino buscar el modelo teórico que mejor se adecua al problema Vamos a ver aquí los modelos teóricos que más pueden interesarnos como psicólogos, sea bien porque algunas variables de interés se ajustan a ellos (binomial o normal) bien porque sean muy útiles como instrumentos estadísticos (χ2, t-student o la F de Fisher-Snedecor)

7 2. VARIABLES DISCRETAS 2.1. DISTIBUCIÓN DE BERNOULLI ((X→ B(p))
Este experimento sirve de modelo para muchas situaciones en las que solamente pueden ocurrir dos resultados, uno de ellos con probabilidad p y su contrario con probabilidad 1-p=q Habitualmente se denomina éxito al suceso de probabilidad p y fracaso al suceso de probabilidad 1- p = q. Una distribución de este tipo puede usarse para experimentos como: inspeccionar un objeto para ver si es o no defectuoso, preguntar a una persona si tiene o no trabajo, si tiene o no un trastorno, si una empresa está en quiebra o no, si un alumno aprueba o no aprueba un examen… La cantidad p recibe el nombre de parámetro de la distribución y puede ser cualquier número entre 0 y 1, pues expresa la probabilidad de que ocurra éxito en el ensayo Se define: X→ B(p)

8 Ejemplo Se sabe que la prevalencia de un determinado trastorno en un centro de salud es de un 3%. Elegimos un paciente al azar para comprobar si padece o no dicho trastorno. La variable X que vale 1 si el paciente no padece el trastorno y 0 si lo padece, sigue una distribución de Bernoulli con p=0.97 B(0.97); p=0.97 y q=0.03

9 La función de probabilidad de una variable de Bernoulli tiene la siguiente forma
f(x)=px.q1-x Y su función de distribución F(X)= P(Xx)= xpxq1-x Los parámetros Esperanza Matemática y Varianza: E[X]=p VAR [X]=p·q

10 En el ejemplo anterior.. E[X]=p; E[X]=0,97
VAR [X]=p·q; VAR [X]=0,97·0,03=0.0291

11 2. VARIABLES DISCRETAS 2.2. BINOMIAL ((X→B(n, p))
Una variable Binomial es una secuencia de n pruebas independientes de Bernoulli donde la probabilidad de éxito (p) permanece constante Para que se pueda considerar una distribución como binomial debe cumplir algunas condiciones: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso A y su contrario (éxito/fracaso) El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores La probabilidad del suceso A es constante, y por tanto no varía de una prueba a otra

12 El esquema es el mismo, pero ahora contaremos con que tenemos una serie de éxitos y una serie de fracasos (no sólo uno como en el caso anterior) Entonces la v.a. quedaría definida como número de éxitos que aparecen en las n pruebas A la variable X que expresa el número de éxitos en cada prueba del experimento la llamaremos variable aleatoria binomial. Esta variable es discreta, ya que solamente puede tomar los valores 0, 1, 2, 3…n, suponiendo que se han realizado n pruebas. Se representa por B(n, p), siendo n y p los parámetros de la distribución: n= número de veces que realizamos la prueba p= probabilidad de éxito Si representamos por X la variable aleatoria binomial que representa el número de éxitos, se obtiene: p (obtener k éxitos) = p(x=K)

13 La v.a. queda definida como número de éxitos que aparecen en las n pruebas
Para que la variable tome el valor x tiene que ocurrir que en las n pruebas se produzcan x éxitos y por consiguiente n-x fracasos. Como la realización de cada una de las pruebas es independiente, la probabilidad del suceso es igual al producto de las probabilidades. tenderemos; p x · q n-x La función de probabilidad de una v.a. que sigue esta distribución será: f(x)= n! · p X · q n-x x! · (n-x)!

14 La función de probabilidad de una variable binomial, tiene la forma siguiente:
f(x)= P(X=x)=Cn,xpxqn-x La función de distribución de una variable binomial, se calcula a partir de la función de probabilidad, como sigue: F(k)=P(Xk)=xkCn,xpxqn-x Ejemplo: F(3)=P(x3)= P(x=1)+ P(x=2)+P(x=3)= f(1)+f(2)+f(3)

15 E[X]=n·p VAR [X]=n·p·q
Los parámetros Esperanza Matemática o Valor Esperado y Varianza: E[X]=n·p VAR [X]=n·p·q

16 f(x)= P(X=x)=Cn,xpxqn-x
El ya conocido ejemplo de las ratas situadas en el centro del laberinto sigue una distribución binomial. La v.a es “número de ratas que salen por la izquierda” donde n=3 y p=0.5. Luego, X→B(3,0.50) f(x)= P(X=x)=Cn,xpxqn-x

17 f(x)= P(X=x) f(0)= P(X=0)=0.125 f(1)= P(X≤1)-P(X≤0)= =0.375 f(2)= P(X≤2)-P(X≤1)= =0.375 F(3)= P(X≤3)-P(X≤2)= =0.125 F(k)=P(Xk) P(X=0)=0.125 f(1)= P(X≤1)=0.500 f(2)= P(X≤2)=0.875 F(3)= P(X≤3)=1

18 2. VARIABLES DISCRETAS 2.1. DISTIBUCIÓN DE POISSON (X→P())
Cuando manejamos variables binomiales donde la probabiliad de éxito (p) es muy pequeña y el número de pruebas (n) muy grande el modelo de probabilidad que usamos es el la distribución de Poisson o ley de los sucesos raros Una v.a. que tiene una distribución binomial con parámetros n y p en la que n→, y p→0, es decir en la que n es muy grande y p muy pequeña, se dice que sigue una distribución de poisson de parámetro lambda () X→P()

19 La función de distribución de una variable de Poisson:
La función de probabilidad de una variable que sigue una ley de Poisson de parámetro , tiene la forma siguiente: f(x)= e- · x , donde =n · p e= x! La función de distribución de una variable de Poisson: F(xi)=  e- · x Los parámetros esperanza matemática y varianza para la variable X, son los siguientes: E[X]= V(X)=

20 Se sabe que la probabilidad de partos dobles es de 0. 02
Se sabe que la probabilidad de partos dobles es de Supongamos que hemos seleccionado un total de 100 partos. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan contabilizado tres partos dobles? P(x=3) n=100 y p=0.02 Luego, n·p=; 100·0.02=2 =2 f(3)= e-2 · 23= ·8=0.18 3! E[X]=2 V(X)=2

21 En el ejemplo anterior:
P(x=3) n=100 y p=0.02 Luego, n·p=; 100·0.02=2 =2 (buscando en la tabla 3) P(x=3)= (o buscando en la tabla 4) P(x=3)= P(x≤3)-P(x≤2)= =0.1804 Y ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan contabilizado tres o menos partos dobles? P(x≤3)=0.8571 ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan contabilizado mas de tres partos dobles? P(x>3)=1- P(x≤3)= =0,1429

22 DISTRIBUCIONES DISCRETAS
CUADRO-RESUMEN BERNOULLI BINOMIAL POISSON f(x)= px · q1-x f(x)= n! · p X · q n-X x! · (n-x)! f(x)= e- · x x! F(X)=  f(xi) E[X]= p E[X]= n · p E[X]=  VAR [X]= p · q VAR [X]= n · p · q VAR[X]= 

23 3. VARIABLES CONTINUAS 3.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL X→(μ,σ)
Además de una función matemática se trata de un fenómeno natural, puesto que es frecuente encontrar variables con distribuciones muy similares a la de la normal. El primero en llegar a su formulación fue de Moivre (1733) en un intento de dar una solución al cálculo de las probabilidades binomiales acumuladas con n grande. Desarrollos importantes fueron los de Gauss y Laplace, que hace que la función se conozca como distribución de Gauss o de Laplace-Gauss. Además de su utilidad para el análisis estadístico, muchas variables de interés en ciencias sociales y de la salud se asemejan en gran medida a la normal, especialmente cuando se recogen datos en muestras grandes. Refleja el hecho de que la mayor parte de las personas se encuentran en los valores centrales y muy pocos en los extremos. Muchas variables en Psicología (cociente intelectual, razonamiento espacial, nivel de introversión, etc…) y en otras disciplinas como en la Biología o la Física, se asemejan a la normal lo suficiente como para trabajar con ellas “como si fueran normales” sin cometer demasiados errores

24 En su representación gráfica podemos advertir el porqué de su universalidad. En la mayor parte de las variables existe un valor central (la media) en torno al cual se concentran la mayor parte de los individuos. A medida que nos vamos alejando de este valor nos encontramos con que los demás valores son menos frecuentes. Esto está reflejando el hecho de que la mayor parte de nosotros somos mediocres en nuestras características, y sólo unos pocos sobresalen por adoptar valores excepcionalmente altos o bajos. Además, cuánto más nos alejamos de la media más difícil es encontrar individuos que adopten esos valores

25 CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA NORMAL
Son más probables los valores próximos a uno central, en el que coinciden la media o valor esperado, la mediana (que divide a la curva en dos zonas de igual área) y la moda, que es el punto de la distribución con máxima ordenada. Este valor, representado por μ, es uno de los parámetros de la distribución Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda, es decir, la distribución es simétrica La probabilidad va decreciendo de manera más o menos rápida dependiendo de un parámetro σ2, que es el otro parámetro que caracteriza la distribución, y que es su varianza, llamándose a σ desviación típica. Se denota como X→(μ,σ2)

26 Es asintótica con respecto al eje de abscisas, es decir, por mucho que se extienda jamás llega a tocar los ejes, que solamente se tocarían en ∞ Existe toda una familia de curvas normales, dependiendo de los valores de los parámetros. De entre ellas la más conocida es la N(0,1) o normal estandarizada porque nos servirá para poder resolver con ella, cualquier otra distirbución Normal que necesitemos estudiar. Los puntos de inflexión (cambio de curvatura) se encuentran en los puntos correspondientes la media (μ) ±1σ Cualquier combinación de variables aleatorias normales se ajusta también al modelo normal.

27 Varias distribuciones con media igual y diferente desviación típica

28 Función de densidad de probabilidad

29 Función de distribución
Suele expresarse como la integral definida de la función de densidad hasta un punto x

30 3.2. NORMAL ESTANDARIZADA N→(0,1)
Normalmente no es este modelo teórico el que se usa, sino otro más simplificado: el de la Normal Tipificada, Estandarizada o Unitaria Una puntuación típica o tipificada es z= x -   En la fórmula anterior se puede reconocer la fórmula de las variables tipificadas. Sabemos que las variables tipificadas tienen media (=0) y desviación típica (=1), lo que facilitaría las operaciones con este modelo. N→(0,1)

31 Se obtiene una distribución normal cuya función de densidad se puede expresar como
Esta distribución es la que se usa en la práctica, ya que es común a todas las distribuciones normales (previa tipificación) y sus valores están tabulados

32 Representación gráfica de la curva normal estandarizada

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34 Esta distribución es la que se usa en la práctica, ya que es común a todas las distribuciones normales (previa tipificación) y sus valores están tabulados

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37 Sea una variable N(50,8) para la que queremos obtener las siguientes probabilidades
1.Observar un valor menor a 56 z=(56-50)/8=0.75 En este caso se trata de obtener la probabilidad acumulada del valor 56. Si lo tipificamos, su valor típico es 0.75, por lo que buscamos en la tabla la probabilidad acumulada para 0.75, que es

38 2. Observar un valor mayor a 52.8
z=( )/8=0.35 En este caso se trata de obtener el complementario de la probabilidad acumulada del valor 52,8. La z correspondiente a este valor es 0,35, por lo que la probabilidad pedida será Luego, p(x>52,8) ó p(z>0.35)= 1-p(z<0.35)= =0.292

39 3. Obtener un valor comprendido entre 40.8 y 48.3
p(x=48.3)-p(x=40.8); p(z=-0.21)-p(z=-1.15); =0.458 En este caso se trata de obtener la probabilidad de un área acotada entre los valores 40,8 y 48,3. Para ello se obtiene la diferencia entre las probabilidades acumuladas de 48,3 y de 40,8, una vez tipificados estos valores. Los valores típicos correspondientes son -1,15 (40,8) y -0,21 (48,3):

40 APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL
Normal Las probabilidades asociadas a valores de variables nominales pueden obtenerse mediante un procedimiento de aproximación a la distribución normal. El parecido es tanto mayor cuanto mayor cuanto más simétrica es la distribución y cuando n es mayor.

41 El procedimiento consiste en que para calcular la probabilidad acumulada de un valor de una variable distribuida según el modelo binomial se calcula la de ese mismo valor en una distribución normal en la que el valor esperado (n·p) y la varianza (n·p·q) fueran los de la binomial original, y aplicando una corrección por continuidad, ya que estamos aproximando una variable discreta por medio de una continua. La corrección consiste en no tipificar el valor original, sino el resultante de sumar o restarle media unidad para salvar la continuidad. Binomial 4 5 [ 6 ) 7 8 Normal

42 Algunos autores señalan condiciones para llevar a cabo esta aproximación. No siempre existe coincidencia, pero en general se dice que el valor esperado sea al menos de 5 y las probabilidades estén comprendidas entre 0.20 y 0.80. El problema es que la Binomial hace referencia a las discretas y la Normal a las continuas. Por ello es necesario, efectuar una corrección por continuidad. ¿CÓMO?: Tipificando el valor resultante de restar o sumar media unidad (0.5) al valor original

43 B→(n,p) X→(μ,σ) En X ha de aplicarse la corrección por continuidad

44 EJEMPLO APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL :
Si la v.a. se distribuye según B→(10, 0.40) debemos buscar en la tabla de la Normal como si se distribuyera con valor esperado y desviación típica propios de la Binomial, es decir, N→(4, 1.56) E(x)=n.p=10·0.4=4 V(x)=n·p·q=10·0.4·0.6=2.4 Desv. Típica= √2.4=1.56 1. Suponiendo que quisiéramos obtener la probabilidad de observar un valor como máximo igual a 3, tendremos que tipificar el valor resultante de sumar media unidad al valor original: COMPROBAR SEGÚN LA BINOMIAL: Si lo comprobamos con la tabla de la distribución Binomial, podremos concluir que el resultado se aproxima bastante.

45 2. Obtener la probabilidad de valores como mínimo iguales a 6
En este caso se trata de encontrar el complementario de la probabilidad acumulada del valor 5 (valores de 6 o más). Para ello tipificamos el valor 5.5, obteniendo el valor de Este valor deja un área de Su complementario será =

46 3. Obtener la probabilidad de que X se encuentre entre los valores 5 y 8, ambos incluidos

47 3.3. JI-CUADRADO (x→χ2n) Existe un caso concreto que es el de una v.a. compuesta por la suma de otras v.a. elevadas al cuadrado, que siguen una distribución normal unitaria (z12 + z ). La distribución JI-CUADRADO (x→χ2n) surge de una combinación de variables aleatorias normales. Es una suma de variables z elevadas al cuadrado. El número de valores sumados es el único parámetro de este modelo, pues las restantes características de las normales tipificadas son constantes (media=0 y desviación típica = 1). Este número de sumandos son los grados de libertad, que es el parámetro por el que se distinguen los distintos miembros de esta familia de distribuciones.

48 Por tanto en la distribución ji-cuadrado tenemos las siguientes condiciones:
z1, z2,…..,zn son valores de la distribución normal unitaria independientes entre sí Se forma una variable suma de los anteriores valores elevados al cuadrado La variable aleatoria X se ajusta al modelo ji cuadrado con n grados de libertad, que representaremos de la siguiente forma X→ χ2n

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50 Distribuciones ji-cuadrado con diferentes grados de libertad

51 Propiedades de la distribución ji-cuadrado
1. Dado que se suman valores tipificados elevados al cuadrado los sumandos son necesariamente positivos. Luego esta distribución tomará siempre valores positivos 2. Dado que la distribución normal tipificada es asintótica por ambas colas, la distribución de los cuadrados de sus valores será asintótica por la derecha 3. Como consecuencia de lo anterior la distribución es asimétrica, con asimetría positiva, que es tanto mayor cuanto menor es el número de grados de libertad. 4. La distribución tiende a la distribución normal a medida que los grados de libertad se agrandan (cuando n tiende a infinito). La convergencia con la distribución normal es rápida y hay una fórmula que permite obtener áreas de la distribución ji-cuadrado a partir de la distribución normal con bastante precisión

52 4. Si se suman dos variables ji-cuadrado independientes, la variable resultante es una variable ji-cuadrado, con grados de libertad iguales a la suma de los grados de libertad de los sumandos. Esta propiedad recibe el nombre de propiedad de la aditividad de variables ji-cuadrado. Veamos en que consiste: T1 y T2 son variables aleatorias distribuidas según el modelo ji-cuadrado con c y k grados de libertad, respectivamente. Se forma la variable aleatoria Tg mediante la suma de los valores de T1 y T2 que se supone que son independientes Tg se distribuye según ji-cuadrado y sus grados de libertad son la suma de c y k. T1 → χ2c T2 → χ2k Si Tg = T1 + T2 entonces Tg→ χ2c+k

53 5. La función de densidad de probabilidad es:
6.Los parámetros Media y Varianza son respectivamente: E(X)=n V(X)=2n Donde k=n

54 7. Aproximación de la χ2 a la Normal
La distribución tiende a la distribución normal a medida que los grados de libertad se agrandan (cuando n tiende a infinito). La convergencia con la distribución normal es rápida y hay una fórmula que permite obtener áreas de la distribución ji-cuadrado a partir de la distribución normal con bastante precisión cuando el número de grados de libertad es moderadamente grande. Si X es una variable ji cuadrado la expresión se distribuye aproximadamente Esta aproximación se suele considerar suficientemente buena cuando los grados de libertad son superiores a 30

55 Supongamos que la variable X se distribuye χ2 20 y queremos obtener la probabilidad de que X sea menor o igual que 12,443. La probabilidad pedida vale, buscando en la tabla correspondiente: P(X≤12,443)=0,100

56 3.4. T-STUDENT (X  tn) La distribución t de Student se basa en la composición de dos variables aleatorias, una normal estandarizada y una ji-cuadrado Debido a la presencia de esta última con grados de libertad, la distribución variará en función de éstos y existirá una familia de distribuciones t de Student con un parámetro igual a los grados de libertad de la variable que interviene en su generación. Estas variables así compuestas se distribuyen según t de Student con n grados de libertad (X  tn)

57 Esto es: Si a) La variable Z se distribuye N(0,1) y la variable W se distribuye χ2n, y b) Formamos la variable X extrayendo valores independientes de Z y W, sustituimos en la formula: Entonces la variable X se distribuye según el modelo T de Student con n grados de libertad y la representamos de la siguiente forma: X  tn La probabilidad de que una variable que sigue una distribución t15 sea menor o igual que 2,60249 vale: P(X≤2,60249)=0,990

58 Propiedades de la distribución T-Student
1. La distribución es simétrica con respecto al valor 0 2. En el valor 0 coinciden media, mediana y moda 3. A medida que los grados de libertad se van incrementando la distribución t de Student se va pareciendo más a la normal y tiende a esta cuando los grados de libertad tienden a infinito. Distribuciones t de Student con diferentes grados de libertad

59 4. La función de densidad de probabilidad es:
5. Los parámetros media y varianza Donde k=n

60 3.5. F-SNEDECOR (X→Fn1, n2) También se genera a partir de la composición de otras variables aleatorias con distribución conocida, concretamente a partir de dos variables χ2, que pueden tener distintos grados de libertad. El cociente de dos variables ji-cuadrado dividida cada una de ellas por sus correspondientes grados de libertad da lugar a la distribución F Habrá tantas distribuciones F como cambios en los grados de libertad del numerador y denominador

61 Esto es: Si Las variables W1 y W2 ,se distribuyen según el modelo χ2, con n1 y n2 grados de libertad respectivamente Extraemos valores independientes de W1 y W2 Formamos la variable aleatoria Entonces la variable X se distribuye según el modelo F de Snedecor con n1 y n2 grados de libertad y se representa: X→Fn1, n2 Donde el primer subindice n1 representa los grados de libertad del numerador y el segundo subindice n2 representa los grados de libertad del denominador

62 Distribución con diferentes valores de los grados de libertad

63 Para referirnos a valores concretos de la distribución F pondremos en el subíndice derecho los grados de libertad del numerador y del denominador, por ese orden. Si tenemos, por ejemplo una distribución F con 3 grados de libertad en el numerador y 5 en el denominador, el valor que deja un área izquierda de 0.95 es 5.409

64 Propiedades de la distribución F de Snedecor
1. Dado que se basa en valores positivos (los valores de las distribuciones χ2 lo son necesariamente, y los grados de libertad son siempre enteros positivos), una variable distribuida según este modelo sólo puede adoptar valores positivos 2. Continuando con lo anterior, y dado que las variables χ2 son asintóticas por la derecha, las variables distribuidas según F también tienen como valor mínimo el cero y son asintóticas por la derecha. 3. Se trata de una distribución asimétrica , pero a medida que aumentan los grados de libertad la distribución se va haciendo más simétrica. De hecho, F tiende a la normal cuando ambos grados de libertad tienden a infinito.

65 4. Los valores de la distribución F verifican una propiedad útil para encontrar valores que no están en las tablas. Según ella, el valor de una distribución F con n1 y n2 grados de libertad que tiene una probabilidad acumulada igual a p es igual al inverso del valor que en una distribución F con los grados de libertad permutados tiene una probabilidad acumulada complementaria. Es decir: 5. Si en una variable que se distribuye tn elevamos sus valores al cuadrado, los cuadrados se distribuyen según F1,n El trabajo en la práctica con v.a. distribuidas según F se reduce a la obtención de valores que acotan ciertas áreas y las probabilidades asociadas a ciertos valores. Suelen utilizarse tablas que recogen estos valores de probabilidad más frecuentes

66 6. La media y la varianza de la distribución son: