Unidad 3 Capítulo I Teoría general

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1 Unidad 3 Capítulo I Teoría general

2 U-3. Cap.I. Teoría general Los fenómenos o procesos que se estudian en las ciencias químicas, físicas, biológicas y sociales, son de naturaleza dinámica. Tales fenómenos involucran la rapidez de cambio de una cantidad (o propiedad de la materia), con respecto a una variable (el tiempo, generalmente). En el lenguaje de la matemática, la rapidez de cambio de una función con respecto a una variable corresponde con una derivada, por lo que es de esperarse que el modelo matemático de los fenómenos dinámicos resulte en una ecuación diferencial.

3 Es decir, si a es una propiedad y t el tiempo se tiene que:
U-3. Cap.I. Teoría general En una gran cantidad de fenómenos dinámicos se observa que la rapidez de cambio de una propiedad es proporcional a la propiedad misma Es decir, si a es una propiedad y t el tiempo se tiene que: donde k es la constante de proporcionalidad y su valor se puede obtener mediante observación experimental. Como se puede ver, el modelo de estos procesos resulta en una ecuación diferencial lineal de primer orden.

4 La ecuación diferencial lineal resultante se puede escribir:
U-3. Cap.I. Teoría general La ecuación diferencial lineal resultante se puede escribir: y para resolverla, se obtiene primero el factor integrante: que permite determinar la solución general: o bien

5 Al sustituir la condición en la solución general, se obtiene:
U-3. Cap.I. Teoría general El comportamiento del proceso, que es determinado por esta función, depende de las constantes, C y k. El valor de la constante de integración C se obtiene a partir de una condición inicial, que establece el valor de y en el momento en que el proceso inicia, es decir: Al sustituir la condición en la solución general, se obtiene: por lo que la llamada solución particular es:

6 cuya sustitución permite calcular el valor de k:
U-3. Cap.I. Teoría general El valor de la constante k, una propiedad intrínseca del proceso, se puede determinar mediante: i Si el proceso es conocido, la búsqueda de información en la literatura apropiada. ii La cantidad de y en un momento posterior al inicial, obtenida ya sea por información del mismo proceso o a través de un experimento cuya sustitución permite calcular el valor de k: