Fundamentos de Control Realimentado

Presentación del tema: "Fundamentos de Control Realimentado"— Transcripción de la presentación:

1 Fundamentos de Control Realimentado
Clases Versión Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

2 Estabilidad - Generalidades
Contenido Diagramas en Bloques Función de Transferencia de Laplace de un Sistema de Control Criterio de Estabilidad de Routh Aplicación al Diseño de un Sistema de Control

3 Función de transferencia y respuestas temporales
Repaso. Salida de un sistema dinámico: Y(s) = G(s) U(s) Respuesta Impulsiva: L G(s) = h(t) U(s)=1 G(s) = H(s) Respuesta al escalón: L -1 G(s)/s = y(t) U(s)=1/s Y(s) = G(s)/s Relación entre las respuestas impulsiva y al escalón: dy/dt = h(t)

4 Operaciones con bloques
4 Sean los siguientes sistemas dinámicos aislados en bloques: Bloques en serie (Lazo Abierto) U2/U1=G1 Y2/U2=G2 U2(s) U2=Y2 / G2 Y2/U1=G1G2 Bloques en paralelo Y1/U=G1 Y2/U=G2 Y1(s) Y2(s) Y=Y1 + Y2 Y/U=G1 + G2 Bloques en Lazo Cerrado U1=R - Y2 Y/U1=G1 Y2/Y=G2 Y=G1 (R-Y2) Y=G1R-G1G2Y Y/R=G1/(1 + G1G2)

5 Operaciones con bloques
5 Traslado de un bloque G1 hacia atrás a través de un nodo Traslado de un bloque G1 hacia adelante a través de un nodo

6 Operaciones con bloques
6 Traslado de bloque G1 hacia atrás a través de un sumador Traslado de un bloque G2 hacia adelante a través de un sumador

7 Operaciones con bloques
7 Traslado de un bloque G2 desde la realimentación hacia afuera y hacia adentro Traslado de un bloque G2´=1/G2 desde afuera hacia adentro del lazo

8 Operaciones con bloques
8 Ejemplo 1 Y/R=G1/(1 + G1G2)

9 Operaciones con bloques
9 Ejemplo 2

10 Regla de Mason para hallar FT-LC
10 Diagrama en bloques Diagrama en flujo 3 Ejemplos distintos Trayecto de lazo Ejemplo 1 Trayecto directo Ganancia de realimentación Otra ganancia de lazo: G2G3 Ganancia de lazo: G1G2G4 Nodos Ganancia de trayecto directo: G1G2 Ejemplo 2 Un nodo es un punto intermedio entre 2 Funciones de Transferencias Ejemplo 3 2 realimentaciones NOTA: todos los sumadores deben tener signos positivos. Si hay una realimentación negativa se traslada el signo menos a la función de transferencia en la realimentación.

11 Regla de Mason para hallar FT-LC
11 Mediante esta regla se puede determinar la Función de Transferencia de un Sistema Dinámico complejo expresado en diagrama bloques de una manera sistemática: Determinante del sistema = 1 – SUMA de todas las ganancias de lazos individuales + SUMA de los productos de ganancias de cada par de lazos que no se tocan – SUMA de los productos de ganancias de cada triplete de lazos que no se tocan entre ellos + … (Nota: 2 lazos no se tocan si no comparten ninguna ganancia) Ganancia del Trayecto directo i-ésimo Determinante del sistema que resulta de anular en  todos los términos que se conectan con el trayecto directo i-ésimo, ya sea en algún sub-tramo o en todo el tramo.

12 Regla de Mason para hallar FT-LC
12 Trayectos directos: 3 Lazos: 3 Ejemplo Trayecto directo Ganancia del trayecto 1 2 3 4 5 6 Diagrama de flujo Trayecto de lazo Ganancia de lazo

13 Regla de Mason para hallar FT-LC
13 G1= b1/s G2= b2/s2 G3= b3/s3

14 Regla de Mason para hallar FT-LC
14 Trayecto directo Ganancia del trayecto G1= b1/s Trayecto de lazo Ganancia de lazo G2= b2/s2 G3= b3/s3

15 Estabilidad de sistemas dinámicos
15 Definición Un sistema lineal invariante en el tiempo es estable si todas las raíces del polinomio denominador de su Función de Transferencia de Laplace tienen parte real negativa. De otra manera el sistema es inestable. Justificación Criterios de Estabilidad Análisis Diseño Toda descomposición de una Función de Transferencia en fracciones parciales posee una antitransformada de Laplace que involucra a funciones exponencialmente decrecientes con exponentes -i. ٢ Raíces de la Ecuación Característica (2do orden) ٢ Criterio de Routh Controlador K ٢ ٢ Por lo tanto, la suma de todas las funciones exponenciales que forman la respuesta de salida al impulso se desvanece si y sólo si cada uno de los exponentes -i de las funciones exponenciales son estrictamente negativos. Diagramas de Bode (frecuencia de cruce) ٢ ٢ Lugar de las raíces ٢ ٢ Diagrama de Nyquist Finalmente -i representan raíces de polos simples o la parte real de polos complejos conjugados. ٢ ٢ Función de Liapunov

16 Estabilidad de sistemas dinámicos
16 Criterio de las raíces de la Ecuación Característica. Sea: Análisis de 3 casos: Ci … …+ C1 ep1t + C2 t ep1t + C3 /2! t2 ep1t+ … +… …+ +… …+ Re(p1)t Se verifica Estabilidad si:

17 Estabilidad de sistemas dinámicos
17 Estabilidad de sistemas dinámicos Definiciones de Clases de Estabilidad Estabilidad Interna: Todos los polos del sistema dinámico están estrictamente en el semiplano izquierdo Estabilidad Neutra: Un sistema dinámico es neutralmente estable cuando además de sus polos estables posee un polo en el origen y/o un par de polos imaginarios conjugados. Inestabilidad: Un sistema dinámico es inestable cuando posee algún polo en el semiplano derecho y/o polos sobre el eje imaginario con multiplicidad (ejemplo: un Integrador doble o un par de polos imaginarios conjugados múltiples). ESTABILIDAD INVERSA: Un sistema es inversamente estable cuando posee todos sus ceros en el semiplano izquierdo. ESTABILIDAD BIBO: Un sistema es BIBO si para cualquier entrada acotada y una condición inicial finita, su salida es acotada.

18 Estabilidad Neutra – Ejemplo 1
18 Respuesta al impulso unitario 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Tiempo (seg) Amplitud Entrada impulsiva (t) jw s Respuesta al impulso de 1/s2 G(s)=1/s Inestable jw s Neutralmente estable G(s)=1/s2 Respuesta al impulso de 1/s

19 Estabilidad Neutra – Ejemplo 2
19 5 10 15 20 25 30 35 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 40 Respuesta al impulso unitario Tiempo (seg) Amplitud Entrada impulsiva (t) jw s G(s)=10/(s2+4) Neutralmente estable jw s T(s)=1/(s2+4)2 Inestable

20 Estabilidad Inversa – Ejemplo 3
20 Respuesta al impulso unitario Tiempo (seg) Amplitud 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -2 -1 3 4 5 6 Entrada impulsiva (t) s2 + 5 s + 6 s2 + 3 s FT inversa jw s I + I E jw s s2 + 5 s + 6 s2 + 3 s E + I E jw s FT inversa jw s s2 + 3 s s2 + 5 s + 6 E + I E E + I I s2 + 3 s s2 + 5 s + 6

21 Criterio de Estabilidad de Routh
21 Criterio de Estabilidad de Routh De la Teoría de Polinomios se sabe que: Una condición necesaria para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces en el semiplano izquierdo s (estable), es que todos sus coeficientes sean del mismo signo. Esta condición no es suficiente. El criterio de Routh (E. Routh 1874) dice que: Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que los signos de la primera columna del denominado “Arreglo de Routh” sean todos estrictamente positivos. El criterio de Hurwitz (A. Hurwitz 1895) dice que: Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que los determinantes de las sub-matrices principales de una matriz construida con el arreglo de Routh, sean positivos. El criterio de Jury (E. Jury, 1923): Es un conocido criterio de estabilidad similar al de Routh pero para sistemas de tiempo discreto en el dominio z.

22 Criterio de Routh ٢ 22 a(s) = sn+ a1 sn-1 + a2 sn-2 +…+ an-1 s + a0 ?
Sea un sistema dinámico con FT G(s)= b(s)/a(s) con denominador mónico: a(s) = sn+ a1 sn-1 + a2 sn-2 +…+ an-1 s + a0 Se construye un ARREGLO construyendo las dos primeras filas del mismo con coeficientes del polinomio: En donde el ARREGLO construido completamente es: Fila ٢ ? Cambios de signos? ?

23 Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes
23 Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes La tercera fila del arreglo se construye a partir de determinantes Fila Cuando se terminan todos los determinantes de la tercera fila, quedará un el último elemento vacío, por lo tanto se llena con un cero El número de estos lugares libres crecerá linealmente en cada fila subsiguiente y serán llenados igualmente con ceros .

24 Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes
24 Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes De igual manera, la cuarta fila se construye a partir de determinantes Fila De manera similar con la quinta y sexta fila hasta que se llegue a la última fila que por lo general contará de un primer elemento no-nulo seguido de elementos ceros en la fila. El aspecto del arreglo de Routh es una matriz triangular superior.

25 Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes
25 Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes El número de cambios de signo en la primera columna indica la cantidad de polos inestables Ejemplo: si la secuencia de signos es , existen 2 polos inestables en el sistema dinámico Si el último elemento de la columna es cero, el sistema posee un polo en el origen Si una fila es cero y no existen cambios de signo, entonces el sistema posee un par de polos imaginarios conjugados Existen dos casos patológicos que nos impiden calcular el arreglo. Estos casos se salvan con modificaciones.

26 Criterio de Routh – Caso: normal
26 Criterio de Routh – Caso: normal Ejemplo Hay dos cambios de signo. Existen dos polos inestables !

27 Caso Patológicos 27 1er. Caso: un elemento cero en la primera columna
2do. Caso: toda una fila de elementos cero 3er. Caso: el último elemento de la primera columna es cero

28 1er Caso Patológico: un elemento nulo
28 1er Caso Patológico: un elemento nulo Ejemplo: Fila s3 se reemplaza! Donde e es un número pequeño y positivo Y si es  pequeño pero negativo Se continúa con fila nueva (se divide por 3 a la fila de s4) Coef. negativo Coef. positivo Coef. positivo Coef. negativo Coef. positivo Coef. positivo Por lo tanto, existen dos polos en el semiplano derecho

29 2do. Caso Patológico: una fila nula
29 2do. Caso Patológico: una fila nula Ejemplo: Polinomio auxiliar Fila s1 es nula! No existen cambios de signo: Sistema Dinámico estable? ? Marginalmente estable, pues una fila nula indica un par de polos en el eje imaginario.

30 2do. Caso Patológico: una fila nula
30 2do. Caso Patológico: una fila nula Analicemos el mismo ejemplo: Si e es positivo, no existe cambio de signo Por el contrario, si e es negativo, existen dos cambios de signo Para e=0, existe un par de polos conjugados en el eje imaginario. De la fila s2 se calcula: El sistema no es internamente estable, pero si neutralmente estable. Su respuesta temporal no se extingue y oscila en el tiempo.

31 Criterio de Routh – Aplicación: DISEÑO
31 Criterio de Routh – Aplicación: DISEÑO Ejemplo: Diseño de un Sistema de Control Proporcional Proceso Controlador Salida controlada Comando Realimentación unitaria Objetivos del Diseño: Objetivo 1: Encontrar la ganancia crítica para este sistema (simbolizada por K*), a fin de que el mismo se encuentre en el límite de estabilidad, es decir, que sea marginalmente estable Objetivo 2: Buscar una ganancia K que otorgue al sistema controlado estabilidad y una buena performance

32 Criterio de Routh – Aplicación
32 Criterio de Routh – Aplicación Respuesta Impulsiva de la Planta o Proceso 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 1 2 3 4 6 7 8 9 x 10 24 Impulso a la entrada Salida creciente sin cota G(s) = s (s-1) (s+6) (s+1) Posee un polo estable, otro inestable y un integrador. Por lo tanto, el proceso sin control, es Inestable !

33 Criterio de Routh – Diseño de un SC
33 Criterio de Routh – Diseño de un SC Función de Transferencia del Sistema de Control: Y(s)/R(s) = G(s) = Gcontrolador Gplanta /(1 + Gcontrolador Gplanta Gsensor) El polinomio característico del Sistema de Control se calcula de: Al aplicar el Test de Routh de estabilidad para el Lazo de Control: Resultan estricciones para la estabilidad:

34 Criterio de Routh – Diseño de un SC
34 Criterio de Routh – Diseño de un SC Restricción de estabilidad: * La ganancia crítica K* es: Raíces del SC Raíces para K*=7.5 p1= p2= i p3= i jw s K* 5s2 + K K*/5 ±i Raíces para K=13 p1= p2= i p3= i Raíces para K=25 p1= p2= i p3= i

35 Criterio de Routh – Performance del SC
35 Criterio de Routh – Performance del SC 5 10 15 20 25 30 -0.5 1 1.5 2 2.5 3 Respuesta al escalón Tiempo (seg) Amplitud 0.5 K*=7.5 K=13 K=25

36 Criterio de Routh – Diseño de un SC
36 Criterio de Routh – Diseño de un SC Ejemplo: Dos parámetros de diseño – Control PI Proceso Controlador PI Salida controlada Comando Realimentación unitaria Ecuación característica en forma racional FT de LC Ecuación característica en forma polinomial

37 Criterio de Routh – Diseño de un SC
37 Criterio de Routh – Diseño de un SC Ejemplo: Dos parámetros de diseño – Control PI Parámetros estabilizantes

38 Diseño de un PI optimizado
38 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros Funciones de costo para diseño de un PI: z1 = min |1(t)-y(t; K, Ki)| dt   K, Ki z2= min (1(t)-y(t; K, Ki))2 dt   K, Ki Error absoluto de control e(t) Error cuadrático de control e(t) donde y(t) es la respuesta al escalón del sistema de control a la entrada 1(t). La integral es finita en la zona de estabilidad de K y Ki. En las siguientes transparencias se busca selectivamente un par K y Ki según el gradiente de z en el dominio paramétrico.

39 Diseño de un PI optimizado
39 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 1 2 3 4 5 6

40 Diseño de un PI optimizado
40 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 Step Response Time (sec) Amplitude El menor valor de z de las cuatro evaluaciones 4 3 K Ki

41 Diseño de un PI optimizado
41 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 1 2 3 4 5 6 7

42 Diseño de un PI optimizado
42 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 Step Response Time (sec) Amplitude El menor valor de z de las cuatro nuevas evaluaciones K Ki

43 Diseño de un PI optimizado
43 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 1 2 3 4 5 6 7

44 Diseño de un PI optimizado
44 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 Step Response Time (sec) Amplitude La mejor respuesta de las 3 evaluaciones de z K Ki

45 Diseño de un PI optimizado
45 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 1 2 3 4 5 6

46 Diseño de un PI optimizado
46 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 Step Response Time (sec) Amplitude Mínimo de z K Ki Respuesta Óptima

47 Diseño de un PI optimizado
47 Diseño de un PI optimizado Refinamiento del controlador PI 1 2 3 4 5 6

48 Diseño de un PI optimizado
48 Diseño de un PI optimizado Implementación en MATLAB MATLAB Ejercicio 5 Diseño con dos Funciones de costo + 1) Función de costo de error de control absoluto Parámetro C=1 2) Función de costo de error de control cudrático Parámetro C=2 3) Simulación lenta y simulación superpuesta Parámetro b=1 y b=0

49 Diseño de un PI optimizado
49 Diseño de un PI optimizado Comparación del SC PI y la Planta sin Control 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 Step Response Time (sec) Amplitude Respuesta óptima del sistema de control Respuesta del proceso

50 Planta con Control a Lazo Abierto
50 Planta con Control a Lazo Abierto Construyamos un control a lazo abierto y comparemos la performance de ambos sistemas de control. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 Para ello modifiquemos el proceso incorporando un amplificador de valor 2 Respuesta óptima del sistema de control de lazo cerrado Respuesta del sistema de control de lazo abierto U(s) (s+1) (s+2) 2 Y(s)

51 Controles a Lazo Cerrado y Abierto
51 Controles a Lazo Cerrado y Abierto Pensemos en un cambio brusco de la planta (una falla) que desplaza el polo del proceso de s=-1 a s=-0.5 Si comparamos las nuevas respuestas del sistema a lazo abierto y cerrado: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 Respuestas óptimas del sistema de control de lazo cerrado tras la variación paramétrica Respuesta del sistema de control de lazo abierto tras la variación paramétrica 1(t) escalón unitario Respuestas anteriores sin falla Conclusión: * La variación de la Función de Transferencia del proceso, no afecta significativamente al SC a LC * Pero sí considerablemente al SC a LA