Multi-Variable Newton-Raphson ANGEL DE JESÚS VÁZQUEZ FLORES.

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1 Multi-Variable Newton-Raphson ANGEL DE JESÚS VÁZQUEZ FLORES.

2 2  x 1   x 2     x x n nn n Este caso se utiliza cuando f(x) es una función de “n” dimensiones.  f1(x)  f1(x)   f2 (x) f2 (x) xx f (x)f (x)  f(x) f(x)  M  M  M Se define la solución xˆ y f (xˆ)  0 Además de  x  xˆ  x

3 Multi-Variable Case, cont’d 1 3 12 1 nn nn12 n n n xx 1x1x21x1x2  x  higher order terms xnxn ff xx x1x2x1x2 xnxn The Taylor series expansion is written for each f i (x) f (x)f (x) f (x)f (x) f 1 (xˆ)  f 1 (x)  f (x)f (x) (x)(x) f(x)f(x) f(xˆ)f(xˆ) f(x) f(x)  f(x)f(x) x Kx K M x Kx K

4 1 4 2 12 Lo anterior puede ser escrito de una forma más compacta en una matriz donde: n n  x1x2x1x2 xnxn xx    x1  x1      xx xx xx    f1(x)f1(x) f1(x)f1(x) f1(x) f1(x)   f1(x)  f1(x)  f(x)f(x)f(x)f(x) f(x)f(x)  f2 (x) f2 (x) f (xˆ)    f(x) f(x) fn (x)fn (x) L M M 2 22x2LxnOOMfn (x)L22x2LxnOOMfn (x)L     x 2       x x  f n (x)   n n   M M

5 Ejemplo. Use el método de newton-raphon multivariable para encontrar una solución aproximada del sistema: Solución: Primero se forma la matriz de derivadas parciales:

6  Y aumentadas en el vector de funciones resulta:  Al evaluar en (x^0,y^0)=(0,0).  Tenemos:  Al resolver la matriz por eliminación gaussiana, tenemos los valores de h y j: h= 0.8 j=0.88  Al sustituir en la ecuación:

7 Segunda iteración:  Evaluando la matriz en (x^1.y^1).  Al resolver la matriz por eliminación gaussiana, tenemos los nuevos valores de h y j: h =0.19179 j=0.1117, de donde:  calculo de la distancia entre x^1 y x^2:

8 Con la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientes: