35 Volumen de sólido mediante secciones.

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1 35 Volumen de sólido mediante secciones.
INTEGRALES

2 Habilidad Calcula volúmenes por el método del disco.

3 Volumen de un sólido de revolución
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.

4 Diferencial de volumen
MÉTODO DEL DISCO Diferencial de volumen ∆xi f(xi) a xi b xi y=f(x) f(xi)

5 TEOREMA Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

6 Ejemplo 1 Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

7 Ejemplo 2 Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1. y

8 Ejemplo 3 Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.

9 Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:

10 La curva gira alrededor de una recta paralela al eje x.
b Y y=f(x) y=k elemento diferencial de volumen: f(x)-k dx diferencial de volumen: volumen del sólido:

11 Diferencial de volumen
Método de la arandela Cuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b. Diferencial de volumen f(xi) g(xi) xi a b x x (*) y= f(x) y= g(x)

12 TEOREMA Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:

13 Ejemplo 4 Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

14 Ejemplo 5

15 Ejemplo 6 Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y y x = -y2 + y + 4.

16 Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart
Ejercicios 6.2 Pág. 430