Clase 18: La Función Exponencial

Presentación del tema: "Clase 18: La Función Exponencial"— Transcripción de la presentación:

1 Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

2 Clase 18: La Función Exponencial
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3 Temas Definición de función exponencial
Gráfica de la función exponencial Aplicaciones Número 𝑒 Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

4 Introducción 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 𝑥 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 𝑥 𝑔(𝑥) Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

5 Función Exponencial Una función exponencial con base 𝑏 es una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑥 , donde 𝑏 y 𝑥 son números reales tal que 𝑏 > 0 y 𝑏 es diferente de uno. Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

6 Gráfica de la función exponencial: 𝒂 𝒙
Si < 𝑎 < 1 Si 𝑎 > 1 Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

7 Ejemplo: Crecimiento de bacterias
El número de bacterias en cierto cultivo aumentó de 300 a 600 entre las 7:00 a.m. y las 9:00 a.m. Si el crecimiento esta dado por 𝑓(𝑡)=300∗ 2 𝑡 2 donde el número 𝑓(𝑡) representa el numero de bacterias en 𝑡 horas. Estime el número de bacterias a las 11:00 a.m. y 1:00 p.m. Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

8 Ejemplo: Interés compuesto
Si invierto $100 a una tasa de interés anual del 12%: Si invierto $100 a una tasa de interés anual del 12% capitalizada semestralmente: Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

9 Interés compuesto ∴ 𝑡 𝑡 =𝑃 1+ 𝑖 𝑛 𝑛∗𝑡
Si se invierte una cantidad 𝑃 a una tasa de interés 𝑖 capitalizada 𝑛 periodos, entonces la cantidad de dinero después de un tiempo 𝑡 esta dada por: 𝑡 0 →𝑃 𝑡 1 →𝑃+𝑃∗ 𝑖 𝑛 =𝑃 1+ 𝑖 𝑛 𝑡 2 →𝑃 1+ 𝑖 𝑛 +𝑃 1+ 𝑖 𝑛 ∗ 𝑖 𝑛 =𝑃 1+ 𝑖 𝑛 2 ∴ 𝑡 𝑡 =𝑃 1+ 𝑖 𝑛 𝑛∗𝑡 Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

10 Ejercicios Si un fondo de ahorros paga interés al 12% anual, capitalizado trimestralmente, ¿cuánto dinero le será entregado dentro de 2 años si ahorra hoy $1.000? Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

11 El número 𝒆 Si en el anterior calculo de interés compuesto tomamos a t=1, P=1, i=1 obtenemos: 𝐴= 𝑛 𝑛 Si n es un entero positivo, entonces: 1+ 1 𝑛 𝑛 →𝑒≈ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛→ ∞ 𝑛 1 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 𝐴 2.0000 2.5937 2.7048 2.7169 2.7181 Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

12 Ejemplo Si una cantidad 𝑚 0 aumenta o disminuye instantáneamente a una razón proporcional a su valor, entonces el valor en cualquier tiempo esta dado por: 𝑚 𝑡 = 𝑚 0 𝑒 𝑟𝑡 donde 𝑟>0 es la rapidez de crecimiento(o 𝑟<0 es la rapidez de decrecimiento) Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

13 Ejemplo Si 250 mg de un elemento radiactivo se desintegra instantáneamente hasta 200 mg en 48 horas, determine que cantidad habrá después de una semana. Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

14 Ejercicios Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia