Tele clase 15 Ecuaciones diferenciales.

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1 Tele clase 15 Ecuaciones diferenciales

2 Ecuación diferencial Es una ecuación que contiene derivadas

3 Ejemplos

4 Solución Una función que exprese la relación que debe existir entre las variables para que la ecuación diferencial se satisfaga.

5 Solución particular Una solución que no contiene constantes arbitrarias.

6 Ejemplo y(1) = 2

7 Ejemplo y(1) = 2

8 Ejemplo y(1) = 2

9 Ejemplo y(1) = 2

10 Ejemplo y(1) = 2

11 Ejemplo y(1) = 2

12 Ejemplo y(1) = 2

13 Ejemplo y(1) = 2 Solución general

14 Ejemplo y(1) = 2 K = 2

15 Ejemplo y(1) = 2 K = 2 Solución particular:

16 Geométricamente

17 Los métodos analíticos
Utilizan operaciones algebraicas.

18 Los métodos analíticos
Utilizan operaciones algebraicas. Primero se halla la solución general y después la solución particular a partir de las condiciones iniciales y de frontera.

19 Los métodos analíticos
Cada método analítico se ocupa de un tipo especial de ecuación diferencial y no es aplicable a otros tipos.

20 Los métodos analíticos
Cada método analítico se ocupa de un tipo especial de ecuación diferencial y no es aplicable a otros tipos. La mayoría de las ecuaciones diferenciales no puede resolverse por esta vía.

21 Ejemplo: El péndulo simple
t = 0

22 Ejemplo

23 Ejemplo

24 Ejemplo

25 Ejemplo

26 Ejemplo

27 Ejemplo

28 Ejemplo

29 Ejemplo

30 Ejemplo t > 0 

31 Ejemplo t > 0 y  x

32 Ejemplo t > 0 y  T x mg

33 Ejemplo t > 0 y  T x mg

34 Ejemplo t > 0 y  T x mg

35 Ejemplo t > 0 y  T x mg

36 Ejemplo t > 0 y  T x mg

37 Un cable colgante

38 Un cable colgante y x

39 Un cable colgante y s x x

40 Un cable colgante y T2 s x T1 x ws

41 Un cable colgante y T2 s x T1 x ws

42 Un cable colgante y T2 s x T1 x ws y(0) = 0 y’(0) = 0

43 E. D. de primer orden y(x0) = y0

44 Campo de direcciones

45 Campo de direcciones El campo de direcciones es un esquema en el cual, para un conjunto regular de puntos del plano xy se dibujan pequeños segmentos de recta cuya pendiente es f(x, y)

46 Campo de direcciones

47 Campo de direcciones y x

48 Campo de direcciones pendiente: f(x, y) y x

49 Campo de direcciones pendiente: f(x, y) Una solución y x

50 Ejemplo

51 Ejemplo

52 Ejemplo

53 Ejemplo

54 E. D. inestables y(x0) = y0

55 E. D. inestables y(x0) = y0 Se dice que es inestable si pequeños cambios en y0 producen grandes cambios en la solución para valores de x alejados de x0

56 Ejemplo Observe el campo de direcciones de la ecuación diferencial en la región -2 < x < 2; -2 < y < 2 y analice su estabilidad.

57 Ejemplo

58 Ejemplo

59 Ejemplo

60 Ejemplo y(-2) = -1,66 y(-2) = -1,67

61 E. D. estable modelo A > 0

62 Ejemplo

63 El método de Euler y y(x0) = y0 x

64 El método de Euler y y0 x x0

65 El método de Euler y y0 x x0 x1 x2

66 El método de Euler y y0 x x0

67 El método de Euler y y0 y1 h x x0 x1

68 El método de Euler y y1= y0 + hf(x0, y0) y0 y1 h x x0 x1

69 El método de Euler y y1= y0 + hf(x0, y0) y0 y1 h x x0 x1

70 El método de Euler y y1= y0 + hf(x0, y0) y2 y0 y1 h h x x0 x1 x2

71 El método de Euler y y1= y0 + hf(x0, y0) y2= y1 + hf(x1, y1) y2 y0 y1 h h x x0 x1 x2

72 El método de Euler y y1= y0 + hf(x0, y0) y2= y1 + hf(x1, y1) y2 y0 y1 h h x x0 x1 x2

73 El método de Euler xn+1= xn + h y yn+1= yn + hf(xn, yn) y2 y0 y1 h h x x0 x1 x2

74 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1

75 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x0 = 0 y0 = 2

76 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x0 = 0 y0 = 2 y1= y0 + hf(x0, y0)

77 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x0 = 0 y0 = 2 y1= y0 + hf(x0, y0) = 2 + (0,1)(02 – 22) =

78 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x0 = 0 y0 = 2 y1= y0 + hf(x0, y0) = 2 + (0,1)(02 – 22) = 1,6

79 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x0 = 0 y0 = 2 y1= y0 + hf(x0, y0) = 2 + (0,1)(02 – 22) = 1,6 x1 = 0,1 y1 = 1,6

80 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x1 = 0,1 y1 = 1,6

81 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x1 = 0,1 y1 = 1,6 y2= y1 + hf(x1, y1)

82 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x1 = 0,1 y1 = 1,6 y2= y1 + hf(x1, y1) = 1,6 + (0,1)[(0,1)2 – (1,62)] =

83 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x1 = 0,1 y1 = 1,6 y2= y1 + hf(x1, y1) = 1,6 + (0,1)[(0,1)2 – (1,62)] = = 1,345

84 Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x1 = 0,1 y1 = 1,6 y2= y1 + hf(x1, y1) = 1,6 + (0,1)[(0,1)2 – (1,62)] = = 1,345 x2 = 0,2 y2 = 1,345

85 Algoritmo Se desea resolver la E. D. y(x0) = y0 en el intervalo x0  x  xf por el método de Euler, con paso h

86 Algoritmo Se desea resolver la E. D. y(x0) = y0 en el intervalo x0  x  xf por el método de Euler, con paso h Datos: f, x0, y0, h, xf

87 Algoritmo

88 Algoritmo n := 0

89 Algoritmo n := 0 do while xn  xf

90 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada

91 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada xn+1 := xn + h

92 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada xn+1 := xn + h yn+1 := yn + hf(xn, yn)

93 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada xn+1 := xn + h yn+1 := yn + hf(xn, yn) n := n + 1

94 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada xn+1 := xn + h yn+1 := yn + hf(xn, yn) n := n + 1 end

95 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada xn+1 := xn + h yn+1 := yn + hf(xn, yn) n := n + 1 end Terminar

96 Ejemplo y(0) = 2 Hallar la solución en el intervalo 0  x  3, mediante el método de Euler con paso h = 0,1

97 Ejemplo

98 Ejemplo

99 Ejemplo

100 Ejemplo

101 Error local en el método de Euler
y(x0) = y0

102 Error local en el método de Euler
y(x0) = y0

103 Error local en el método de Euler
y(x0) = y0

104 Error local en el método de Euler
y(x0) = y0

105 Error local en el método de Euler
y(x0) = y0

106 Error local en el método de Euler
y(x0) = y0

107 Error local en el método de Euler
y(x0) = y0 Error de y1

108 Error en el método de Euler
Error local de yn: O(h2)

109 Error en el método de Euler
Error local de yn: O(h2) Error total de yn: O(h)

110 Estimación del error yh: Solución para x con paso h

111 Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h

112 Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh

113 Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h

114 Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp (Euler: p = 1)

115 Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp (Euler: p = 1)

116 Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp (Euler: p = 1)

117 Ejemplo Resolver la ecuación diferencial: y(0) = 2.5 mediante el método de Euler con h = 0,1 en el intervalo [0, 3]. Estimar el error en x = 0, 1, 2 y 3

118 Solución

119 Solución

120 Solución

121 Solución

122 Solución

123 Solución x yh y2h eh 2.5 1 0.8591 2 1.6798 3 2.8152

124 Ejemplo

125 Ejemplo

126 Ejemplo

127 Ejemplo

128 Solución x yh y2h eh 2.5 2.5 1 0.8591 0.7607 2 1.6798 1.6633 3 2.8152 2.8160

129 Solución x yh y2h eh 2.5 2.5 1 0.8591 0.7607 0.0984 2 1.6798 1.6633 0.0165 3 2.8152 2.8160

130 Ejemplo

131 Estabilidad del método de Euler
Para la ecuación estable modelo el método de Euler es estable siempre que se tome un paso h tal que hA < 2

132 Métodos de Taylor

133 Métodos de Taylor

134 Métodos de Taylor

135 Métodos de Taylor xn+1

136 Métodos de Taylor

137 Métodos de Taylor

138 Métodos de Taylor

139 Métodos de Taylor

140 Métodos de Taylor

141 Métodos de Taylor

142 Métodos de Taylor

143 Métodos de Taylor Fórmula de Taylor de orden 2

144 Métodos de Taylor Fórmula de Taylor de orden 2 Error local: O(h3)

145 Métodos de Taylor Fórmula de Taylor de orden 2 Error local: O(h3) Error total: O(h2)

146 Métodos de Runge - Kutta

147 Métodos de Runge - Kutta

148 Métodos de Runge - Kutta

149 Métodos de Runge - Kutta
K1 = hf(xn,yn)

150 Métodos de Runge - Kutta

151 Métodos de Runge - Kutta

152 Métodos de Runge - Kutta

153 Métodos de Runge - Kutta

154 Métodos de Runge - Kutta

155 Métodos de Runge - Kutta

156 Métodos de Runge - Kutta

157 Métodos de Runge - Kutta

158 Métodos de Runge - Kutta

159 Métodos de Runge - Kutta

160 Método de Runge – Kutta orden 2
K1 = hf(xn,yn)

161 Método de Runge – Kutta orden 2
K1 = hf(xn,yn) K2 = hf(xn + h, yn + K1)

162 Método de Runge – Kutta orden 2
K1 = hf(xn,yn) K2 = hf(xn + h, yn + K1)

163 Método de Runge – Kutta orden 2
K1 = hf(xn,yn) K2 = hf(xn + h, yn + K1) Error local: O(h3) Error total: O(h2)

164 Interpretación geométrica
y x

165 Interpretación geométrica
y yn x xn

166 Interpretación geométrica
y yn h x xn xn+1

167 Interpretación geométrica
y K1 yn h x xn xn+1

168 Interpretación geométrica
y K1 yn h x xn xn+1

169 Interpretación geométrica
y K1 yn h x xn xn+1

170 Interpretación geométrica
y K1 K2 yn h x xn xn+1

171 Interpretación geométrica
y K1 K2 yn h x xn xn+1

172 Interpretación geométrica
y K1 K2 yn yn+1 h x xn xn+1

173 Método de Runge – Kutta orden 4

174 Método de Runge – Kutta orden 4

175 Método de Runge – Kutta orden 4

176 Método de Runge – Kutta orden 4

177 Método de Runge – Kutta orden 4

178 Método de Runge – Kutta orden 4
Error local: O(h5) Error total: O(h4)

179 Estabilidad de RK2 Para la ecuación estable modelo el método RK2 es estable siempre que se tome un paso h tal que hA < 2

180 Estabilidad de RK4 Para la ecuación estable modelo el método RK4 es estable siempre que se tome un paso h tal que hA < 2,785

181 Algoritmo RK2 Se desea resolver la E. D. y(x0) = y0 en el intervalo x0  x  xf por el método de Runge – Kutta orden 2 con paso h

182 Algoritmo RK2 Se desea resolver la E. D. y(x0) = y0 en el intervalo x0  x  xf por el método de Runge – Kutta orden 2 con paso h Datos: f, x0, y0, h, xf

183 Algoritmo n := 0

184 Algoritmo n := 0 do while xn  xf

185 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada

186 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada K1 := hf(xn,yn)

187 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1)

188 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1)

189 Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h

190 Algoritmo K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h

191 Algoritmo K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h

192 Algoritmo K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h n := n + 1

193 Algoritmo K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h n := n + 1 end

194 Algoritmo K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h n := n + 1 end Terminar

195 Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp

196 Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp RK2: p = 2

197 Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp RK2: p = 2 RK4: p = 4

198 Ejemplo Resolver la ecuación diferencial: y(0) = 2.5 mediante el método RK4 con h = 0,1 en el intervalo [0, 3]. Estimar el error en x = 0, 1, 2 y 3

199 Ejemplo

200 Ejemplo

201 Ejemplo

202 Ejemplo

203 Ejemplo

204 Solución x yh y2h eh 2,5 1 0,939272 2 1,696874 3 2,814402

205 Ejemplo

206 Ejemplo

207 Ejemplo

208 Ejemplo

209 Solución x yh y2h eh 2,5 2,5 1 0,939272 0,939345 2 1,696874 1,696972 3 2,814402 2,814338

210 Solución x yh y2h eh 2,5 2,5 1 0,939272 0,939345 - 0,000005 2 1,696874 1,696972 - 0,000007 3 2,814402 2,814338 - 0,000004

211 Problema de Cauchy de orden m

212 Problema de Cauchy de orden m

213 Problema de Cauchy de orden m
condiciones iniciales

214 Problema de Cauchy de orden m
Tantas ED como variables dependientes.

215 Problema de Cauchy de orden m
Solo una variable independiente.

216 Problema de Cauchy de orden m
Todas las ecuaciones son de primer orden.

217 Problema de Cauchy de orden m
En la i-sima ED solo está la derivada de ui

218 Problema de Cauchy de orden m
La derivada en cada ED está despejada.

219 Problema de Cauchy de orden m
Para un cierto valor x0 se conoce todas las variables.

220 Ejemplo y(1) = 2 z(1) = 3

221 ED de orden m

222 ED de orden m

223 ED de orden m Condiciones iniciales

224 Transformación de una ED

225 Transformación de una ED

226 Transformación de una ED

227 Transformación de una ED

228 Transformación de una ED

229 Transformación de una ED

230 Transformación de una ED

231 Ejemplo

232 Ejemplo

233 Ejemplo

234 Ejemplo

235 Ejemplo

236 Ejemplo

237 Ejemplo

238 Ejemplo

239 RK4 para un sistema de ED condiciones iniciales

240 Paso n Etapa 1: Calcular las K1

241 Paso n Etapa 1: Calcular las K1

242 Paso n Etapa 1: Calcular las K1

243 Paso n Etapa 1: Calcular las K1

244 Paso n Etapa 2: Calcular las K2

245 Paso n Etapa 2: Calcular las K2

246 Paso n Etapa 2: Calcular las K2

247 Paso n Etapa 2: Calcular las K2

248 Paso n Etapa 3: Calcular las K3

249 Paso n Etapa 3: Calcular las K3

250 Paso n Etapa 3: Calcular las K3

251 Paso n Etapa 3: Calcular las K3

252 Paso n Etapa 4: Calcular las K4

253 Paso n Etapa 4: Calcular las K4

254 Paso n Etapa 4: Calcular las K4

255 Paso n Etapa 4: Calcular las K4

256 Paso n Etapa 5: Hallar la solución en xn+1

257 Paso n Etapa 5: Hallar la solución en xn+1

258 Paso n Etapa 5: Hallar la solución en xn+1

259 Paso n Etapa 5: Hallar la solución en xn+1

260 Algoritmo RK4 para sistemas
Se desea resolver el sistema:

261 Algoritmo RK4 para sistemas
Con condiciones iniciales: en el intervalo x0  x  xf por el método RK4 con paso h

262 Algoritmo RK4 para sistemas
Datos: f1, f2,..., fm x0, xf, h, u10, u20,..., um0

263 Algoritmo RK4 para sistemas
n := 0

264 Algoritmo RK4 para sistemas
n := 0 do while xn  xf

265 Algoritmo RK4 para sistemas
n := 0 do while xn  xf (xn, u1n, u2n ,..., umn) es un punto de la solución aproximada.

266 Algoritmo RK4 para sistemas
n := 0 do while xn  xf (xn, u1n, u2n ,..., umn) es un punto de la solución aproximada. for i = 1 to m Calcular K1i end

267 Algoritmo RK4 para sistemas
n := 0 do while xn  xf (xn, u1n, u2n ,..., umn) es un punto de la solución aproximada. for i = 1 to m Calcular K1i end for i = 1 to m Calcular K2i end

268 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K2i end

269 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K2i end

270 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K2i end for i = 1 to m Calcular K3i end

271 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K2i end for i = 1 to m Calcular K3i end for i = 1 to m Calcular K4i end

272 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K4i end

273 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K4i end

274 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K4i end for i = 1 to m end

275 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K4i end for i = 1 to m end xn+1 := xn + h

276 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K4i end for i = 1 to m end xn+1 := xn + h n := n + 1

277 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K4i end for i = 1 to m end xn+1 := xn + h n := n + 1 end

278 Algoritmo RK4 para sistemas
for i = 1 to m Calcular K4i end for i = 1 to m end xn+1 := xn + h n := n + 1 end Terminar

279 Bibliografía Texto: Secciones: 7.1, 7.2, 7.3 y 7.5

280 Ejercicios recomendados
Sección 7.1: 13 al 20 Sección 7.2: 1, 3 y 7 Sección 7.3 3, 4 y 6 Sección 7.5 2, 4 y 10