ECUACIONES U. D. 4 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito

Presentación del tema: "ECUACIONES U. D. 4 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito"— Transcripción de la presentación:

1 ECUACIONES U. D. 4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.

2 ECUACIONES BICUADRADAS
U. D * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

3 Ecuación de 2º grado completa
CASO 5 Tiene la forma: a.x2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son distintos de cero. Se resuelven aplicando la fórmula: - b +/- √(b2 – 4.a.c) Con el signo “+” se obtiene x1 x = = 2.a Con el signo “–” se obtiene x2 Deducimos la fórmula … @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

4 Deducción de la fórmula
Sea la ecuación cuadrática: a.x2 + b.x + c = 0 1.‑ Restamos c a ambos términos: a.x2 + b.x = ‑c 2.‑ Multiplicamos por 4.a a todo: 4. a2 x2 + 4.a.b.x = ‑ 4.a.c 3.‑ Sumamos b2 a ambos términos: 4. a2 x2 + 4.a.b.x + b2 = b2 ‑ 4.a.c (2.a.x + b)2 = b2 ‑ 4.a.c 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2.a.x + b = +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 5.‑ Restamos b a los dos términos: 2.a.x = ‑ b +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a: ‑ b +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) x = ---‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 2.a Con el signo “+” hallamos una raíz y con el “-” la otra. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

5 Ejemplo Sea la ecuación 2.x2 -10.x + 12= 0 Donde: a=2, b = -10, c=12
Podemos simplificarla, pero no lo hacemos. 1.‑ Restamos c=12 a ambos términos: 2.x x = ‑ 12 2.‑ Multiplicamos por 4.a=4.2= 8 a todo: 16.x x = ‑ 96 3.‑ Sumamos b2 = 100 a ambos términos: 16.x x = (4.x - 10)2 = 4 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 4.x = +/- 2 5.‑ Restamos b = a los dos términos: 4.x = ‑ (- 10) +/- 2 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a = 2.2 = 4: x = (10 +/- 2) /  x1 = (10+2)/4 = 12/4 = 3 x2 = (10-2)/4 = 8/4 = 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

6 Ejercicios Ejercicio 1 Sea x2 - 3.x + 2 = 0 a = 1 b = - 3 c = 2
- b +/- √(b2 – 4.a.c) x = = 2.a - (- 3) +/- √(9 – 4.1.2) x = = 2.1 + 3 +/ (3 + 1) / 2 = 2 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = (3 – 1) / 2 = 1 = x2 Otra solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

7 Ejercicios Ejercicio 2 Sea 3.x2 - 5.x + 2 = 0 a = 3 b = - 5 c = 2
- b +/- √(b2 – 4.a.c) x = = 2.a - (- 5) +/- √(25 – 4.3.2) x = = 2.3 + 5 +/ (5 + 1) / 6 = 1 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = (5 – 1) / 6 = 4 / 6 = 2 / 3 = x2 Otra solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

8 Ejercicios Ejercicio 3 Sea x2 + 6.x + 9 = 0 a = 1 b = 6 c = 9
- b +/- √(b2 – 4.a.c) x = = 2.a - 6 +/- √(36 – 4.1.9) x = = 2.1 - 6 +/ (-6 + 0) / 2 = - 3 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = ( ) / 2 = - 3 = x Otra solución. Cuando b2 – 4.a.c = 0 el valor de las dos soluciones coincide, que es lo que ocurre en este ejemplo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

9 Ecuaciones BICUADRADAS
ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Son aquellas que, mediante un cambio de variable, se transforman en ecuaciones de segundo grado. Tiene la forma a.x4 + b. x2 + c = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado. También tienen la forma a.x6 + b. x3 + c = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: IMPORTANTE: En ambos casos hay que deshacer el cambio, pues hay que hallar el valor de la variable x , no de la variable y. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

10 Ejemplo 1 Sea x x = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: y y + 36 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-13) +/- √[(-13)2 – ] Resolviéndola: y = = 2.1 13 +/- √[169 – 144] /- √ /- 5 = = = = 9 y 4 Deshacemos el cambio: Si x2 = y = 9  x = +/- √ 9  x = +/- 3  x1 = 3 , x2 = -3 Si x2 = y = 4  x = +/- √ 4  x = +/- 2  x3 = 2 , x4 = -2 Que son las 4 raíces, ceros o soluciones de la ecuación dada. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

11 Ejemplo 2 Sea x x = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: 3.y y - 25 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-74) +/- √[(-74)2 – 4.3.(-25)] Resolviéndola: y = = 2.3 74 +/- √[ ] /- √ /- 76 = = = = 25 y / 3 Deshacemos el cambio: Si x2 = y = 25  x = +/- √ 25  x = +/- 5  x1 = 5 , x2 = - 5 Si x2 = y = - 1/3  x = +/- √ - 1/3  x3 y x4 no son reales Que son las 4 raíces, dos reales y dos no reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

12 Ejemplo 3 Sea x x3 + 8 = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: y y + 8 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-9) +/- √[(-9)2 – 4.1.8] Resolviéndola: y = = 2.1 9 +/- √[81 – 32] /- √ /- 7 = = = = 8 y 1 Deshacemos el cambio: 3 Si x3 = y = 8  x = √ 8  x = 2  x1 = 2 , x2 y x3 no reales Si x3 = y = 1  x = √ 1  x = 1  x4 = 1 , x5 y x6 no reales Que son las 6 soluciones de la ecuación dada, de ellas sólo 2 son reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.