Qué es una derivada? “La pregunta del millón…”

Qué es una derivada? “La pregunta del millón…”
Introducción a la Derivada “La pregunta del millón…” Qué es una derivada? ( un minuto de silencio…)

Dos problemas un mismo concepto
La Velocidad instantánea de un móvil (problema de mecánica) La pendiente de una recta tangente a una curva (problema geométrico)

Introducción a la Derivada
Algo de historia. Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran : Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo Moderno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a una curva a través de lo que el llamo símbolos. Cómo?

apliquemos lo anterior en una función..
Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en términos geométricos Recta tangente Recta secante “es una recta que intersecta un círculo en dos puntos” “es una recta que tiene un punto en común con un circulo” apliquemos lo anterior en una función..

Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. Sabemos que una de las características principales de una recta es su pendiente (m) En términos muy simples la pendiente de una recta es un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!

Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original

Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta secante

Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta tangente

Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta secante en la curva de una función es: Función original Recta secante

Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta tangente si solo conoce un punto? Recta tangente

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE Observe que si hacemos diversas aproximaciones de rectas secantes, podemos hacer una muy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente Supongamos que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente en X=1

Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

Observa que el punto Cada vez se acerca más al punto
Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Observa que el punto Cada vez se acerca más al punto Continuar Volver a mostrar Atajo

Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Ahora, como expresar el comportamiento anterior en términos matemáticos?

Aprox. Procedemos a sustituir:

Considerando: Procedemos a sustituir:

Ahora Consideremos:

Ahora recordemos el comportamiento
Introducción a la Derivada Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

lim Se puede observar que el punto cada vez se aproxima más al punto
Introducción a la Derivada Se puede observar que el punto cada vez se aproxima más al punto pero no llegará a tocarlo Podemos expresar lo anterior así: lim Analizando dicho comportamiento, procedemos a aplicar un límite así:

lim Finalmente considerando lo siguiente: La expresión nos queda así:
Introducción a la Derivada Finalmente considerando lo siguiente: lim La expresión nos queda así:

La Derivada = lim Este límite (el cual genera otra
Introducción a la Derivada Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a la gráfica de una función….. Y se le conoce comúnmente como: = La Derivada Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así: lim Por su origen basado en incrementos

Velocidad Instantánea
Nuestro segundo problema es más reciente. Creció con los intentos de Kepler ( ), Galileo ( ), Newton ( ) y otros, por describir la velocidad de un cuerpo móvil. Es el problema de la Velocidad Instantánea

Problema de la velocidad instantanea
Sea P un objeto que cae en el vacio. Los experimentos demuestran que si empieza en el reposo, P cae 16t2 pies por segundo. x(t)= 16t2 Función de posición con respecto al tiempo

Recordemos algunos conceptos de Física Desplazamiento
Se define el desplazamiento de una partícula que se mueve de una coordenada inicial xi a una coordenada final xf como:

Velocidad Promedio La velocidad promedio es igual al desplazamiento total por intervalo de tiempo total: La rapidez es la magnitud de la velocidad

Analicemos que ocurre con la velocidad promedio a medida que el intervalo de tiempo es cada vez más corto Intervalo de tiempo (segundos) Velocidad promedio (pies por segundo) t = 1 a t = 2 t = 1 a t = 1.5 t= 1 a t = 1.1 t = 1 a t = 1.01 t = 1 a t =

Supongamos que P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posición en el momento t está dada por En el instante c el objeto está en f(c); en el instante próximo c+h, está en f(c+h). Por lo tanto, la velocidad promedio durante este intervalo es

Velocidad instantánea
Ahora tomamos límite a la velocidad promedio cuando h tiende a cero; si dicho límite existe se denomina velocidad instantánea Ésta es un indicador de la velocidad del móvil en cualquier instante “c”.

Velocidad instantánea
En el caso del objeto P tenemos:

Esto confirma nuestra suposición anterior.
Por lo tanto la velocidad instantánea es de V= 32 pies por segundo Esto confirma nuestra suposición anterior.

Dos problemas un mismo concepto
Velocidad instantánea Pendiente de la recta tangente a una curva

La derivada: La derivada de una función es otra función cuyo valor en cualquier número es:
Siempre que dicho límite exista

Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada Aplicación del límite obtenido…. Procederemos a la aplicación del límite deducido para obtener la derivada de la función: Recordemos que la derivada esta definida por el límite: Al evaluar el término se puede observar que: Al sustituirlo obtenemos:

Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada Aplicación del límite obtenido…. Al desarrollar el binomio al cuadrado obtenemos: Reduciendo términos: Aplicando los teoremas sobre límites tenemos lo siguiente:

Y gracias al desarrollo del límite anterior podemos
Introducción a la Derivada Aplicación del límite obtenido…. Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que: Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es: Y gracias al desarrollo del límite anterior podemos generalizar su aplicación en diversas funciones, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Ahora apliquemos la derivada para obtener
Tomada de “El Cálculo” por Louis Leithold Ahora apliquemos la derivada para obtener las pendientes de las rectas tangentes

Representación gráfica de: La función que representa su derivada es:

Representación gráfica de: La función que representa su derivada es: Suponga que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente mostrada Al sustituir en la derivada el valor de X: Observe que:

localizadas en la gráfica de una función
Representación gráfica de: La función que representa su derivada es: De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangentes localizadas en la gráfica de una función

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