Es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedadesEs la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedades.

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2 Es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedadesEs la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedades ¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS? Matemática Antigua Matemática Actual Figuras Números Geometría Teoría de los Números

3 “La Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de los Números es la reina de las Matemáticas” Gauss, 1801 2004 BiólogosQuímicosFísicosMatemáticos ¡No! ¡No! ¡No!¡No!

4 NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN Aquél divisible sólo por él mismo y por 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... ? ¿Qué es un número primo? EUCLIDES (c.300 a.d.C.): Infinitos “Más que cualquier cantidad de primos dada”. ? ¿Cuántos números primos hay?

5 NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ? ¿Cuántos números primos hay? ? ¿En qué proporción? CHEBYSHEV (1848): A la larga, la proporción se hace tan pequeña como se quiera pero decrece menos rápidamente que K/log x. EULER (1737): La infinitud se puede demostrar utilizando series infinitas. Hay más primos que cuadrados.

6 NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ? ¿Se puede aproximar bien la proporción con funciones “normales”? 10 cifras 40 cifras 70 cifras 100 cifras < uno de cada 20 < uno de cada 90 < uno de cada 160 < uno de cada 230 Hadamard, de la Vallée-Poussin (Riemann): Proporción de primos menores que N ~

7  (s)= producto sobre sus ceros (nº complejos) Función con primos = fórmula complicada con   c=Re(cero más a la derecha) 01 1/2 c Prueba “buena” Función rara= fórmula complicada con primos Riemann

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9 -2-4 MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN  1 Ceros en cautividad (no son peligrosos) ! Carril exclusivo para los próximos 10 9 ceros (RIEMANN) Al infinito No se admiten ceros  1/2

10 Hipótesis de Riemann (1859): Todos los ceros no triviales de la función están en “fila india”. no triviales de la función  están en “fila india”. Teorema de los números primos El error en el teorema de los números El error en el teorema de los números primos es lo menor posible (algo más que la raíz cuadrada de N). HR

11 “A los matemáticos les es habitual pretender que las ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y espiritual que no son dominio de la fantasía, sino que deben ser comprendidas por una visión pura e intelectual de la que sólo las facultades del alma son capaces.” Hume, 1736 EMPIRISMO: FILOSOFÍA “OFICIAL” DE LA CIENCIA Hume: Las ideas son impresiones debilitadas Abstracción, Matemáticas Realidad

12 Gracias a los números primos y sus propiedades se pueden hacer conexiones seguras por canales inseguros, acreditar identidades, etc. No es propaganda. Las conexiones seguras en internet funcionan así hoy (protocolos SSH, SSL, firmas electrónicas) de manera cotidiana. La mayoría de los matemáticos consideran que el valor estético de la teoría de números y de las Matemáticas en general, supera su hipotético valor utilitario. Pero...

13 ¿Es posible transmitir públicamente sin comprometer la seguridad? ¿Se puede jugar a las cartas por correo o por teléfono? ¿Se puede jugar a las cartas por correo o por teléfono? (I. Stewart) A B na lanca...

14 ¿Cómo construir “candados” con los primos? Cosas fáciles (con ordenador): · Multiplicar dos primos grandes · Calcular el resto r de a b al dividir por p Cosas difíciles (incluso con ordenador): · Factorizar · Tomar “logaritmos”: hallar b a partir de a, r y p · RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978) · Diffie-Hellman (1976)

15 La aritmética del reloj 2=14=1228=20=-4 Suma 11+4=3 Resta 2-3=-1=11 Multiplicación 7·7=1 División 2·algo=5, no existe 5/2. Notación: Significa que a y b son la misma hora Lo mismo para un reloj con p (primo) números

16 La aritmética del reloj (primo) · En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0. · Siempre hay horas “generadoras”: multiplicadas por sí mismas dan todas las horas no nulas. p=3 p=5 · (China, comienzos de nuestra era) 2·2· p veces ·2 son siempre las 2 en un reloj primo. · (Fermat, siglo XVII) a · a · p veces · a son siempre las a en un reloj primo.

17 a p=primo grande (cientos de cifras), g= generador gbgb gaga b Clave=g ab x Cx x x= mensaje (p) A na B lanca ¿ g a, g b g ab ?

18 9 10 NÚMEROS + ANÁLISIS ¿Cómo contar con ondas? ¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3? 132 10..... enrollar analizar Método mejor

19 Ejemplo no trivial:

20 Tambor rectangular: Tambor hiperbólico (no euclídeo): Tambor circular, esférico: Ondas de Maass (formas modulares) Un muestrario de ondas

21 Contar bien estudiar interferencias Dos ideas: · Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar objetos de tamaño menor que 1/n. (P. Incertidumbre) · Estadísticamente, las ondas “independientes” no tienen resonancia.

22 Teorema de Vinogradov: · Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos. Tiene “resonancias” en y en otros valores, que podemos estudiar, e interferencias destructivas en el resto.

23 Esta presentación está disponible en: http://www.uam.es/fernando.chamizo