Métodos de Optimización aplicados Introducción John Jairo Millán Hernández.

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1 Métodos de Optimización aplicados Introducción John Jairo Millán Hernández

2 Métodos de Optimización - Definición formal - Que es Optimizar? Es una rama de la matemática-estadística que aprovecha los recursos (modelos) matemáticos y estadísticos con el único objetivo de realizar un proceso metodológico que permita tomar decisiones administrativas de la mejor manera (objetivamente). Por otro lado, los modelos de optimización intentan estudiar el comportamiento del sistema enfocándose en resultados de optimización o mejora (maximización de ganancias o minimización de recursos). >

3 Investigación de Operaciones - Definición formal - La investigación de Operaciones se ocupa directamente de estudiar los problemas que pueden surgir en la dinámica de la conducción y la coordinación de actividades de una Organización. Este tipo de investigación no discrimina la esencia u objetivo de la organización, más bien, sin importar su naturaleza, la Investigación de operación posee la virtud de ser aplicada a diferentes ramas: telecomunicaciones, planeación, sistemas de salud, institución de fuerzas armadas, servicios públicos, entre otros. 1. Formulación del problema → 2. Construcción de un modelo científico → 3. Experimentos adecuados para comprobar la hipótesis planteada ( validación del modelo ) → 4. Tomar decisión de acuerdo a la coherencia de los resultados encontrados.

4 Investigación de Operaciones - Definición formal - Definir raíz del problema Propuesta del modelo matemático Posible solución ¿Es óptima la solución? Implementación

5 Investigación de Operaciones - Formas de Aplicación -  Asignar mínimos recursos a diferentes maniobras militares y a las actividades que componían cada operación de la manera más eficaz. Hacer Investigación de Operaciones militares. (Segunda Guerra Mundial)  Creación del método simplex para resolver problemas de programación lineal. (George Dantzig-1947)  En el desarrollo de la computadora, la capacidad de calcular expresiones complejas en tiempos mínimos poco probables para la agilidad humana. (Computadores digitales)  Maximización de ganancias para una IPS de acuerdo al número de consultas y cirugías que debe producir. (Producción)  Método para determinar la mejor alternativa de inversiones. (Análisis financiero)  Las suficientes cantidades, costos fijos y variables, reemplazo de materiales. (Distribución de Insumos)  Programación del horario del Sistema Integrado de Transporte Masivo. (Optimización en transporte)

6 Análisis Cuantitativo - Definición formal - Consiste en definir un problema, desarrollar el modelo, adquirir datos de entrada, desarrollar la solución, probar la solución, analizar los resultados e implementar los resultados. Render et al (2006). Definición del problema Desarrollar el modelo Obtención de los datos de entrada Desarrollo de la solución Prueba de la solución Análisis de los resultados y análisis de sensibilidad Implementación de los resultados

7 Análisis Cuantitativo - Ejemplo: Costos -

8 ¿Cuáles son los parámetros? ¿Cuál o cuales son las variables?

9 Análisis Cuantitativo - Definición formal - ¿Variable? “Medida la cual puede tomar cualquier valor existente” ¿Parámetro? “Medida la cual solo toma un valor en particular”

10 Análisis Cuantitativo - Definición formal - Modelos Matemáticos según el riesgo Modelo Determinístico Se conoce con certeza todos los valores utilizados en el modelo. Cuando se busca minimizar los costos de cirugía manteniendo calidad. Si se conocen todos estos valores con certeza, es un modelo determinístico. Modelo Probabilístico Se incluye de alguna manera formas de incertidumbre en los que la probabilidad es calculada. Implementar en el medio un nuevo procedimiento quirúrgico que puede ser probablemente (70%) atractivo o no (30%.

11 Análisis Cuantitativo - Definición formal - Conceptos de Probabilidad

12 Análisis Cuantitativo - Conceptos de Probabilidad - Resolver  Se han atendido en los últimos 8 días 80, 95, 100 y 110 pacientes en consulta externa. Difícilmente se han atendido menos de 80 y más de 110. Suponiendo comportamiento similar en las próximas semanas, determine cual es la probabilidad para el número de pacientes atendidos, si se admitieran 80 pacientes en 2 días, 95 pacientes en 3 días, 100 pacientes en 3 días y 110 pacientes en 3 días.  En un salón de clases con 60 estudiantes se tienen características diversas como genero social y segmentos políticos (izquierdista y derechistas). 25 son mujeres (M) e izquierdistas (I); 15 son hombres (H) e izquierdistas (I); 15 son mujeres (M) de la derecha (D); 10 son hombres (H) derechistas (D). Seleccionando aleatoriamente un nombre de la lista de clase se encuentra una mujer. ¿Qué probabilidades existe de que la estudiante sea de la derecha?

13 Análisis Cuantitativo - Conceptos de Probabilidad - Investigar para el próximo encuentro.  Investigue brevemente que son modelos de solución en investigación de operaciones  ¿Que son desigualdades matemáticas?. Proponga un ejemplo, resuélvalo con capacidad de explicación.  ¿Que son modelos de programación lineal?. Investigue al menos un ejercicio donde pueda resolverlo encontrando: Variables de decisión, Función objetivo, Restricciones y posible solución óptima  Justifique con su experiencia. ¿Por que puede ser tan importante este tipo de desarrollo teórico?

14 Programación Lineal - Características conceptuales -  La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema.  Todos los modelos matemáticos o “funciones matemáticas” deben ser funciones lineales.  Programación = Planeación = Proyectar = Calcular = Pensar …  Necesidad de tener un resultado óptimo.  Involucra la planeación de actividades para obtener resultado óptimo.  Siempre se busca Maximizar o Minimizar alguna cantidad, por lo general costos o utilidad.

15 Programación Lineal - Definición - “ Técnica de modelado matemático ampliamente utilizada, que esta diseñada para ayudar a los gerentes en la planeación y toma de decisiones respecto a la asignación de recursos. La Programación Lineal se construye a base de un modelo matemático “función objetivo” y “restricciones lineales”, con esto, se modela y resuelve matemáticamente un problema en particular. ”

16 Programación Lineal - Desigualdades Matemáticas -

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18 Programación Lineal - Ejemplo Wyndor Glass CO. (Hillier & Lieberman) - Detalles del proceso (1) Empresa que produce artículos de vidrio de alta calidad como ventanas y puertas de vidrio. Se tienen tres plantas: planta 1, planta 2 y planta 3. En cada una de las plantas de realizan procesos diferentes, necesarios para el producto final. Adicionalmente, no todos los productos requieren parte de su capacidad de producción en las tres plantas:  Producto 1 → se requiere parte de su producción en plantas 1 y 3.  Producto 2 → se requiere parte de su producción en plantas 2 y 3.

19 Programación Lineal - Ejemplo Wyndor Glass CO. (Hillier & Lieberman) - Detalles del proceso (2) Unidad de medida será el “número de lotes de 20 unidades del producto i ” que se producen a la semana. La capacidad de producción se establecerá en horas disponibles por semana en c/u de las plantas para fabricar los productos 1 y 2. Se establece un número de horas de fabricación para producir cada lote artículos nuevos en cada una de las plantas. Conclusión del proceso Se producen en cada una de las plantas ciertas características de los productos en general, donde su capacidad de producción esta determinado en este ejercicio en términos del tiempo (horas/semana). Adicional, se tiene una ganancia por cada lote producido de acuerdo al tipo de producto.

20 Programación Lineal - Ejemplo Wyndor Glass CO. (Hillier & Lieberman) - Problema del proceso? Reducción de las ganancias, luego, la compañía ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía para incrementarlas. Forma de solucionarlo? Maximizar las ganancias que generan los productos de acuerdo a unas condiciones.

21 Programación Lineal - Ejemplo Wyndor Glass CO. (Hillier & Lieberman) - En palabras “cristianas”…

22 Programación Lineal - Ejemplo Wyndor Glass CO. (Hillier & Lieberman) -  Maximizar “Las ganancias ($) de acuerdo al No. de lotes de fabricación”  Condiciones o restricciones “Horas de producción limitadas por planta” “La variable número de lotes debe ser positiva” “Número de horas de producción por cada lote del producto i”

23 Programación Lineal - Ejemplo Wyndor Glass CO. (Hillier & Lieberman)- Área (Planta)Producto 1Producto 2 Restricción (Tiemp. de produc. x lote horas) Planta 1 104 Planta 2 02 12 Planta 3 32 18 Ganancia por lote$ 3$ 5 Maximizar Gananc. Tabla de Recursos

24 Programación Lineal - Ejemplo Wyndor Glass CO. (Hillier & Lieberman) - En términos de “prog. lineal”…

25 Programación Lineal - Ejemplo Wyndor Glass CO. (Hillier & Lieberman) -

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30 Región Factible!! “Ahora, que punto máxima la función objetivo?”

31 Programación Lineal - Definición - En general …

32 Programación Lineal - Definición Función Objetivo - Medida de desempeño (global) Ganancia ($) global

33 Programación Lineal - Definición Restricciones - Cantidad de recurso m disponible para asignarse a las actividades Número de horas disponibles por semana para producir los dos productos.

34 Programación Lineal - Definición Restricciones -

35 Programación Lineal - Definición -

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37 Programación Lineal - Ejemplo Terapia de radiación - ÁreaRayo 1Rayo 2 Restricción sobre la dosis promedio total. Kilorads Anatomía sana0.40.5Minimizar Tejido crítico0.30.1 Menor a 2.7 Región del tumor0.5 Igual a 6 Centro del tumor0.60.4 Mayor e igual a 6 Tabla de Recursos

38 Programación Lineal - Ejemplo Terapia de radiación -

39 Escoger puntos en el área factible … Puntos que satisfacen: (6,6) y (7.5,4.5) Que punto minimiza? P(7.5,4.5) -> Minimiza La función objetivo resulta con Z=5.25 R/ El diseño optimo utiliza una dosis total en el punto de entrada de 7.5 Kilorads para el rayo 1 y 4.5 Kilorads para el rayo 2.

40 Programación Lineal - Ejemplo Terapia de radiación -