IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Estas dos fracciones: Representan.

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1 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Estas dos fracciones: Representan la misma porción de un todo, y podemos decir que iguales son iguales 1.- Cuando dividimos el numerador entre el denominador obtenemos lo mismo. Nos detenemos en estas dos observaciones 2.- Cuando multiplicamos los términos cruzados obtenemos lo mismo. FRACCIONES EQUIVALENTES I

2 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) En general dos fracciones : Representan la misma porción de un todo, equivalentes y decimos que son equivalentes 1.- Cuando dividimos el numerador entre el denominador obtenemos lo mismo. Si cumplen que: 2.- Cuando multiplicamos los términos cruzados obtenemos lo mismo. FRACCIONES EQUIVALENTES II

3 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando multiplicamos o dividimos los términos de una fracción se obtienen fracciones equivalentes. Fracción irreducible FRACCIONES EQUIVALENTES III

4 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº: 1 Comprueba de dos formas distintas si son equivalentes. 1.- Cuando dividimos el numerador entre el denominador obtenemos lo mismo. 2.- Cuando multiplicamos los términos cruzados obtenemos lo mismo.

5 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº: 2 Halla tres fracciones equivalentes ampliadas y la fracción irreducible Fracción irreducible

6 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) COMPARACIÓN DE FRACCIONES I Podemos comparar dos fracciones calculando el cociente de sus términos. Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tenga mayor numerador. Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tenga menor denominador.

7 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) COMPARACIÓN DE FRACCIONES II No podemos comparar fracciones que tengan distintos numeradores y distintos denominadores. Para poder comparar estas fracciones necesitamos presentarlas con un mismo denominador. Haremos que todas las fracciones tengan el mismo denominador, que será el m.c.m. (60) Y para ello debemos calcular el m.c.m. de 5, 4, 6 y 12. Por lo que debemos descomponerlos en factores primos.

8 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) COMPARACIÓN DE FRACCIONES III Para que todas las fracciones tengan de denominador 60, buscaremos fracciones equivalentes a las dadas en el ejemplo. Para ello dividiremos 60 por 5,4,6 y 12, y multiplicaremos los resultados por los respectivos numeradores.

9 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) COMPARACIÓN DE FRACCIONES IV Ahora si podemos compararlas. En este momento ya podemos compararlas y ordenarlas de menor a mayor También recordaremos las fracciones equivalentes de las que partíamos. También se pueden ordenar de mayor a menor.

10 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº: 3 Ejercicio nº: 3Compara las siguientes fracciones Las quintas partes son mayores que las octavas partes. Las seis onceavas partes son menores que diez onceavas partes. Las séptimas partes son menores que las cuartas partes.

11 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº: 4 Ejercicio nº: 4Ordena de menor a mayor estas fracciones Para ordenar estas fracciones deben tener el mismo denominador. Por ello calcularemos las fracciones equivalentes, que tengan como denominador el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Recordamos que para calcular le m.c.m., hay que descomponer los denominadores en factores primos, y multiplicaremos los factores comunes y no comunes elevados a la máxima potencia. Colocamos a todas las fracciones el denominador 72. Para calcular los nuevos numeradores dividiremos 72 por sus respectivos denominadores, y el resultado se multiplicara por numerador. Colocamos los nuevos numeradores: 63,90,12 y 16. Y denominador 72. Pero debemos recordar que estas fracciones son las equivalentes de: Si podemos ordenarlos ahora.

12 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) mismo denominadorsumamos o restamos Cuando sumamos o restamos fracciones nos podemos encontrar que tengan el mismo denominador, lo respetamos y operamos (sumamos o restamos) los numeradores. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 3 y 9, que es 3. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES I

13 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) SUMA Y RESTA DE FRACCIONES II distinto denominador: Nos podemos encontrar dos situaciones, SEGUNDO: Cuando tienen distinto denominador: Debemos buscar la forma que todos tengan el mismo denominador. Para la cual calculamos el m.c.m. de los denominadores. Y empezamos por la descomposición de los denominadores en factores primos. El m.c.m. (60) será el denominador común que nos permitirá operar más adelante. Dividimos 60 por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo. Hemos localizado tres fracciones equivalentes a las primitivas pero que tienen el mismo denominador, por lo que podremos operar (sumar o restar) los numeradores.

14 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 5ACalcula y simplifica el resultado. mismo denominador sumamos o restamos Tenemos dos fracciones que tienen el mismo denominador, lo respetamos y operamos (sumamos o restamos) los numeradores. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 8 y 18, que es 2.

15 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 5BCalcula y simplifica el resultado. mismo denominador sumamos o restamos Tenemos dos fracciones que tienen el mismo denominador, lo respetamos y operamos (sumamos o restamos) los numeradores. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 2 y 20, que es 2.

16 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 5CCalcula y simplifica el resultado. mismo denominador sumamos o restamos Tenemos dos fracciones que tienen el mismo denominador, lo respetamos y operamos (sumamos o restamos) los numeradores. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 3 y 6, que es 3.

17 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 6AOpera y simplifica el resultados. Debemos buscar la forma que todos tengan el mismo denominador. Para la cual calculamos el m.c.m. de los denominadores. Y empezamos por la descomposición de los denominadores en factores primos. El m.c.m. (45) será el denominador común que nos permitirá operar más adelante. Dividimos 45 por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo. Hemos localizado dos fracciones equivalentes a las primitivas pero que tienen el mismo denominador, por lo que podremos operar (sumar o restar) los numeradores. No podemos simplificar ya que 46 y 45 son primos entre sí.

18 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 6BOpera y simplifica el resultados. Debemos buscar la forma que todos tengan el mismo denominador. Para la cual calculamos el m.c.m. de los denominadores. Y empezamos por la descomposición de los denominadores en factores primos. El m.c.m. (60) será el denominador común que nos permitirá operar más adelante. Dividimos 60 por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo. Hemos localizado dos fracciones equivalentes a las primitivas pero que tienen el mismo denominador, por lo que podremos operar (sumar o restar) los numeradores. No podemos simplificar, 17 es primo.

19 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 6COpera y simplifica el resultados. Debemos buscar la forma que todos tengan el mismo denominador. Para la cual calculamos el m.c.m. de los denominadores. Y empezamos por la descomposición de los denominadores en factores primos. El m.c.m. (36) será el denominador común que nos permitirá operar más adelante. Dividimos 36 por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo. Hemos localizado los numeradores de tres fracciones equivalentes a las primitivas, y que tienen el mismo denominador, por lo que podremos operar (sumar o restar). No podemos simplificar, 13 es un número primo.

20 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando multiplicamos fracciones obtenemos una nueva fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador el producto de los denominadores. Cuando dividimos fracciones obtenemos una nueva fracción que tiene por numerador el producto de numerador del dividendo (primera fracción) por el denominador del divisor (segunda fracción), por DENOMINADOR el producto del denominador del dividendo (1ª fracción) por el numerador del divisor (2ª fracción) MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES I

21 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando multiplicamos fracciones obtenemos una nueva fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador el producto de los denominadores. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 60 y 30, que es 30. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES II

22 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando dividimos fracciones obtenemos una nueva fracción que tiene por NUMERADOR el producto del numerador del primero por el denominador del segundo, y por DENOMINADOR el producto del denominador del primero por el numerador del segundo. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 45 y 12, que es 3. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES III No podemos simplificarla más. Esta es la fracción irreducible.

23 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando multiplicamos fracciones obtenemos una nueva fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador el producto de los denominadores. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 42 y 24, que es 6. Ejercicio nº 7A Calcula y simplifica el resultado

24 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando multiplicamos fracciones obtenemos una nueva fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador el producto de los denominadores. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 9 y 12, que es 3. Ejercicio nº 7B Calcula y simplifica el resultado

25 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando multiplicamos fracciones obtenemos una nueva fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador el producto de los denominadores. Podemos dividir el numerador por el denominador: Ejercicio nº 7C Calcula y simplifica el resultado

26 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) El triple de cualquier número se halla multiplicándolo por tres. Ejercicio nº 8 Halla el triple y la tercera parte de La tercera parte de cualquier número se halla dividiéndolo por tres. La podemos simplificar dividiendo su numerador y denominador por tres.

27 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando dividimos fracciones obtenemos una nueva fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del denominador de la fracción primera por el numerador de la segunda. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 96 y 12, que es 12. Ejercicio nº 9A Realiza esta división y simplifica el resultado

28 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando dividimos fracciones obtenemos una nueva fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del denominador de la fracción primera por el numerador de la segunda. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 50 y 4, que es 2. Ejercicio nº 9B Realiza esta división y simplifica el resultado

29 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando dividimos fracciones obtenemos una nueva fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del denominador de la fracción primera por el numerador de la segunda. Podemos hallar la fracción irreducible dividiendo el numerador y el denominador por el M.C.D de 7 y 28, que es 7. Ejercicio nº 9C Realiza esta división y simplifica el resultado

30 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Desconocemos la fracción por la que hemos de multiplicar, tendrá la forma a/b. Esta primera fracción no es válida, el numerador 18 no es múltiplo de 4. Ejercicio nº 10 ¿Qué fracción multiplicada por 4/10 da 9/5? Es una fracción irreducible. Buscaremos una fracción equivalente, cuyos términos sean múltiplos de los términos de la fracción primitiva no si y si si Esta segunda fracción no es válida el numerador 27 no es múltiplo de 4, ni 15 lo es de 10. Esta tercera fracción sí es válida el numerador 36 es múltiplo de 4 y el denominador 40 también lo es de 10. Vamos a sustituirla en la primera expresión,

31 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Cuando tenemos una fracción elevada a una potencia la calculamos elevando el numerador y el denominador al exponente de la potencia. Cuando tenemos la raíz de una fracción cuyos términos son cuadrados perfectos calculamos la raíz del numerador y la raíz del denominador. POTENCIAS Y RAÍCES DE FRACCIONES I

32 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 11Calcula.

33 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 11Calcula. No es un cuadrado perfecto, si dividimos, sí.

34 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) operaciones combinadas Cuando realizamos operaciones combinadas con fracciones seguimos los siguientes pasos: OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES I PRIMER corchetes paréntesis En PRIMER lugar resolveremos los corchetes y paréntesis. Si hay varios (unos dentro de otros), empezamos por los del interior. SEGUNDO potencias raíces En SEGUNDO lugar, si los hay, resolveremos las potencias y las raíces. TERCER multiplicacionesdivisiones En TERCER lugar, si los hay, haremos las multiplicaciones y las divisiones, si son consecutivas, empezando por la izquierda. CUARTO sumas restas En CUARTO lugar, las sumas y restas.

35 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 13Sustituye la letra por el número adecuado.

36 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 14ACalcula y simplifica el resultado si es posible. Descomponemos los denominadores en factores primos Calculamos el m.c.m. de los denominadores Dividimos 16 por los denominadores y lo multiplicamos por los respectivos numeradores, para calcular las fracciones equivalentes que permitan las operaciones Colocamos el m.c.m (16) como denominador de todas las fracciones Potencia de una fracción es la fracción de las potencias Desarrollamos las potencias

37 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 14BCalcula y simplifica el resultado si es posible. Dividimos 16 por los denominadores y lo multiplicamos por los respectivos numeradores, para calcular las fracciones equivalentes que permitan las operaciones Colocamos el m.c.m (16) como denominador de todas las fracciones Calculamos las potencias y las raíces. Multiplicamos las fracciones del paréntesis. La potencia de la fracción es la fracción de las potencias. Multiplicación de potencias con el mismo exponente, se multiplican las bases.

38 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 15ACalcula y escribe el resultado como fracción irreducible. Dividimos 56 por los denominadores y lo multiplicamos por los respectivos numeradores, para calcular las fracciones equivalentes que permitan las operaciones Colocamos el m.c.m (56) como denominador de todas las fracciones 3 es lo mismo que 3/1. Desarrollamos las potencias. La potencia de la fracción es la fracción de las potencias. El signo negativo da igual colocarlo en el denominador que en el numerador. Simplificamos dividiendo el numerador y el denominador por 8 (M.C.D.).

39 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 15BCalcula y escribe el resultado como fracción irreducible. Dividimos 36 por los denominadores y lo multiplicamos por los respectivos numeradores, para calcular las fracciones equivalentes que permitan las operaciones Colocamos el m.c.m (36) como denominador de todas las fracciones Simplificamos dividiendo el numerador y el denominador por 18 (M.C.D.).

40 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 15CCalcula y escribe el resultado como fracción irreducible.

41 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 15DCalcula y escribe el resultado como fracción irreducible.

42 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 16AOpera y simplifica.

43 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 16BOpera y simplifica.

44 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 17A Coloca los paréntesis en el lugar adecuado para que se cumpla la igualdad. El paréntesis solo tiene sentido entre las dos primeras fracciones, para que sea la suma, la primera operación a realizar. Ponerla entre las dos últimas no tiene sentido pues la división siempre se haría antes que la suma Observamos que se cumple la igualdad, lo que implica que hemos colocado bien el paréntesis

45 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 17B Coloca los paréntesis en el lugar adecuado para que se cumpla la igualdad. El paréntesis solo tiene sentido cubriendo la suma, para que sea la suma, la primera operación a realizar. Ponerla entre las otras dos no tiene sentido pues las multiplicaciones siempre se harían antes que la suma Observamos que se cumple la igualdad, lo que implica que hemos colocado bien el paréntesis

46 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 18ACalcula y expresa el resultado en forma irreducible. 3 es igual que 30/10

47 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 18BCalcula y expresa el resultado en forma irreducible.

48 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 18CCalcula y expresa el resultado en forma irreducible. 1 es igual que 2/2

49 IES ALFACUARA (Yunquera) MATEMÁTICAS 2º ESO Departamento de Matemáticas. Tema 3º “Fracciones y decimales” (1ª PARTE) Ejercicio nº 18DCalcula y expresa el resultado en forma irreducible. 2 es igual que 24/12