CÁLCULO 3 Departamento de Ciencias Derivada Direccional, Vector Gradiente.

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1 CÁLCULO 3 Departamento de Ciencias Derivada Direccional, Vector Gradiente

2 ¿Qué dirección debe tomar el esquiador si quiere bajar la montaña rápidamente?

3 ¿Qué sucede si queremos saber la razón de cambio de la temperatura cuando viaja al sureste? Las curvas de nivel en la figura unen localidades con la misma temperatura T(x,y), a las 3 pm de un día de octubre. La derivada parcial en un lugar como Reno es la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia si viaja hacia el este desde Reno es la razón de cambio de la temperatura si viaja hacia el norte. y x

4 LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de la derivada direccional usando el cálculo de la gradiente, e interpretando su resultado con las propiedades físicas, de forma coherente.

5 TEMARIO Derivadas Direccional Vector Gradiente. Aplicaciones del Gradiente.

6 Suponer que se está en la colina de la figura adjunta y se quiere determinar la inclinación de la colina respecto al eje z. Si la colina está representada por z=f(x,y) se sabe cómo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes: la pendiente en la dirección de y está dada por la derivada parcial f y y la pendiente en la dirección de x está dada por la derivada parcial f x. Estas dos derivadas parciales pueden usarse para calcular la pendiente en cualquier dirección. DERIVADA DIRECCIONAL

7 Derivadas direccionales Sea z = f(x, y) función de dos variables. Las derivadas parciales f x y f y representan las tasas de cambio de z en las direcciones de x y de y, es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i = (1, 0) y j = (0, 1). Si se quiere determinar la tasa de cambio de z en (x o, y o ) en la dirección de un vector unitario u = (a, b), consideramos el punto P(x o, y o, z o ) sobre la superficie S dada por z = f(x, y). El plano vertical que pasa por P en la dirección u cruza a S en una curva C; la pendiente de la recta tangente a C en P es la tasa de cambio que se busca y se llama derivada direccional de f en la dirección u. http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/ddireccional.htm

8 Definición: Definición: La derivada direccional de la función de varias variables f en el punto P en la dirección del vector unitario u es: siempre que este límite exista. Si la función f tiene dos variables, el punto P es P(x o, y o ) y el vector unitario es u = (a, b), Además, observe que, para l os vectores unitarios i = (1, 0) y j = (0, 1):

9 El siguiente Teorema nos proporciona una manera de calcular la derivada direccional sin tener que usar el límite: Teorema: Teorema: Si z = f(x, y) es función diferenciable de x y de y, entonces f tiene derivada direccional en un punto P(x 0,y 0 ),en la dirección de cualquier vector unitario u = (a, b) y se tiene que: Observación: Si el vector unitario u forma un ángulo con el eje positivo X, entonces podemos escribir y se tiene,

10 Sea f función de varias variables cuyas derivadas parciales existen. El gradiente de f, denotado por, es la función vectorial definida por Vector gradiente Para una función de dos variables definida por z=f(x,y): Para una función de tres variables definida por w=f(x,y,z):

11 La Derivada direccional en Términos del vector Gradiente 

12  El valor máximo de D u f(x 0,y 0 ) se alcanza en la dirección  f(x 0,y 0 ).  La tasa máxima de crecimiento (valor máximo de D u f(x 0,y 0 ) ) es ||  f (x 0,y 0 )||.  El valor mínimo de D u f(x 0,y 0 ) se alcanza en la dirección de -  f(x 0,y 0 ).  La tasa mínima de crecimiento (valor mínimo de D u f(x 0,y 0 ) ) de f en P(x 0,y 0 ) es - ||  f (x 0,y 0 )||. Propiedades del vector gradiente

13 . Determinar si la afirmación es verdadera o falsa. De ser falso, explique por qué o dar un contra ejemplo.

14 REFLEXIONANDO SOBRE LO APRENDIDO ¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían resolver aplicando las derivadas direccionales y el vector gradiente? ¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de ejercicios y problemas? ¿De qué manera resolví las dificultades encontradas?, ¿Qué he aprendido en esta sesión?

15 # CÓDIGOAUTORTÍTULO EDITORIAL 1 515 THOM 2007 THOMAS Calculo en Varias Variables 973-974 2 515 CLA PITA 2009 CLAUDIO PITA. Cálculo Vectorial111-112 3 515 LARS 2008 LARSON, RON Cálculo II895-896 BIBLIOGRAFÍA