@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.1 MATRICES U.D. 1 * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.1 MATRICES U.D. 1 * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.2 SISTEMAS MATRICIALES U.D. 1.8 * 2º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.3 Un sistema de ecuaciones lineales queda determinado por sus coeficientes y sus términos independientes. Si situamos dichos coeficientes en una tabla, en el mismo orden en que están situados en el sistema, obtendremos un conjunto ordenado llamado matriz, compuesto por tantas filas como ecuaciones y tantas columnas como incógnitas. Así tendremos la Matriz del sistema o de los coeficientes. Y si a ésta matriz la añadimos la columna de los términos independientes tendremos la Matriz ampliada. Matrices y Sistemas

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.4 Ejemplo: 8.x + 4.y + 3.z = 0 2.x + 3.y + z = 5 x + y – 3.z = 1 La matriz del sistema será: La matriz ampliada será: Matriz Sistema y Ampliada

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.5 ECUACIONES Y SISTEMAS ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Son ecuaciones o sistemas de ecuaciones en las cuales las incógnitas o coeficientes son matrices. Sea A. X = B la ecuación, donde A y B son matrices Despejando X tenemos X = B / A = A –1.B Tendremos que calcular la inversa de la matriz A y luego un producto de matrices.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.6 MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de ecuaciones lineales se puede expresar mediante matrices. En muchos casos ello nos facilitará además la resolución del sistema y demás cálculos. Ejemplo x – 2y + 3z = 4 5x + 6y – 7z = 8  A.X = C 9x – 10y + 11z = 12 1 – 2 + 3x 4 A = 5 + 6– 7X =yC = 8 9– 10+11z12

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.7... Ejemplo Tenemos pues A.X = C De donde X = C / A = A -1. C Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podremos hallar A -1. La matriz inversa multiplicada por la matriz C nos dará la solución del sistema de ecuaciones. Calculamos la matriz inversa mediante Gauss-Jordan: 1 – 2 3100 5 + 6– 7010 9– 1011001 F2=F2 – 5XF1 y F3=F3 – 9XF1 1 – 2 3100 0 16– 22-510 08-16-901

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.8... Ejemplo F3=F3 – 0,5XF2 y F3=F3:16 1 – 2 31 00 0 1– 22/16-5/16 1/160 00– 5-6,5-0,51 F3=F3:(-5) y F1=F1 – 3XF3 1 – 2 0-2,9 -0,3 0,6 0 1– 22/16-5/16 1/160 0011,3 0,1-0,2 F2=F2 + (22/16)F3 y F1=F1 + 2XF2 1 0 00,05 0,1 0,05 0 10 1,475 0,2-0,275 0011,3 0,1-0,2

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.9... Ejemplo 0,05 0,1 0,05 La matriz inversa es A -1 = 1,475 0,2 -0,275 1,3 0,1 -0,2 Las soluciones del sistema serán: 0,05 0,1 0,05 4 X = A -1.C = 1,475 0,2 -0,275. 8 1,3 0,1 -0,2 12 0,2 + 0,8 + 0,6 X = 5,9 + 1,6 – 3,3 5,2 + 0,8 – 2,4 x  x = 1,60 X= y  y = 4,20 z  z = 3,60

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.10 Resolución de sistemas Otro ejemplo x – 2y + 3z = 14 2x – z = – 1  A.X = C – 3y + 2z = 12 1 – 2 + 3x 14 A = 2 0– 1X =yC = –1 0– 3+ 2z12 Tenemos pues A.X = C De donde X = C / A = A -1. C Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podremos hallar A -1. La matriz inversa multiplicada por la matriz C nos dará la solución del sistema de ecuaciones.

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.11 Calculamos la matriz inversa mediante Gauss-Jordan: 1 – 2 3100 2 0– 1010 0– 3 2001 F2=F2 – 2·F1 1 – 2 3100 0 4– 7 – 2 10 0 – 3 2001 F3=F3 + (3/4)·F2 1 – 2 3100 0 4– 7 – 2 10 0 0 – 13/4 – 3/23/41

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.12 F1=F1 + F2 /2 1 0 – 1/201/20 0 4– 7- 2 10 00– 13/4-3/23/41 F1=F1 – F3·(1/2)/(13/4) 1 0 03/13 5/13 - 2/13 0 4– 7- 2 10 0 0– 13/4- 3/2 3/41 F2=F2 – F3·(7) /(13/4) 1 0 03/13 5/134 - 2/13 0 4016/13 -8/13-28/13 0 0– 13/4 - 3/2 3/41 Y finalmente F2 = F2:4 y F3 = F3: (-13/4) 1 0 03/13 5/13 - 2/13 0 104/13 -2/13- 7/13 0 016/13 -3/13- 4/13

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.13... Ejemplo 3/13 5/13 - 2/13 La matriz inversa es A -1 = 4/13 -2/13- 7/13 6/13 -3/13- 4/13 Las soluciones del sistema serán: 3/13 5/13 - 2/13 14 X = A -1.C = 4/13 -2/13 - 7/13. –1 6/13 -3/13 - 4/13 12 42/13 – 5 /13 – 24 /13 X = 56/13 + 2/13 – 84 /13 84/13 + 3/13 – 48 /13 x  x = 13/13 = 1 X= y  y = - 26/13 = -2 z  z = 39 /13 = 3