GUICEG020EM32-A16V1 Generalidades de los triángulos EM-32.

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1 GUICEG020EM32-A16V1 Generalidades de los triángulos EM-32

2 Síntesis de la clase Recordemos la clase anterior… -¿En qué se diferencia el complemento de un ángulo con el suplemento de este? -¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono?¿y los ángulos exteriores? -¿Qué características tienen los paralelogramos?

3 Aprendizajes esperados Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades. Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades. Clasificar los triángulos según las medidas de sus lados y de sus ángulos. Aplicar propiedades del triángulo rectángulo, en particular, aplicar el teorema de Pitágoras. Aplicar propiedades de triángulos equiláteros e isósceles. Aplicar propiedades generales de triángulos.

4 Pregunta oficial PSU 56. Un niño eleva un volantín de modo que el hilo se extiende en línea recta formando un ángulo de 60º con la horizontal, la longitud del hilo desde la mano del niño al volantín es de 46 metros y la mano del niño está a un metro del suelo, como se representa en la figura 17. ¿A qué altura (h) del suelo se encuentra el volantín? A) A 23 metros B) A 24 metros C) A 33,2 metros D) A 23 metros E) A (23 + 1) metros Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014. ¿Qué teorema(s) conoces respecto a los triángulos rectángulos? ¿Qué función cumple la altura en un triángulo equilátero? Si se dibuja el reflejo del triángulo respecto a la altura de este, ¿qué tipo de triángulo se formaría con la unión de estos triángulos?

5 1. Definición 2. Propiedades y clasificación 3. Triángulo rectángulo 4. Triángulo equilátero

6 1. Definición 1.1 Elementos primarios El triángulo es un polígono de tres lados, cuyos elementos primarios son: Vértices: intersección de dos lados. Lados : segmentos que delimitan el triángulo. AB C a b c Teorema: “La suma de dos lados debe ser siempre mayor que la medida del tercer lado”. ¿Podría dibujarse un triángulo de lados: 9, 2 y 12 cm?

7 1. Definición 1.1 Elementos primarios Ángulos interiores: se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura. Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores. C A B  180°  ´  ´  ´  360°  ’ =  +   ’ =  +   ’ =  +  Relaciones angulares:

8 1. Definición 1.2 Elementos secundarios Segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. AB C hChC D El ortocentro (H) es el punto de intersección de las alturas. AB C H Altura (h)

9 1. Definición 1.2 Elementos secundarios Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. El baricentro o centro de gravedad (G) es el punto de intersección de las transversales de gravedad. tCtC Transversal de gravedad (t c ) El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1. D, E y F: Puntos medios AE = t A BF = t B CD = t C G: Centro de gravedad

10 1. Definición 1.2 Elementos secundarios Recta perpendicular a un segmento, trazada en su punto medio. A B C S El punto de intersección de las simetrales se llama circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. D, F y G: Puntos medios. E: Circuncentro Simetral (S)

11 1. Definición 1.2 Elementos secundarios Rayo que dimidia un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales. B C D A bCbC El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro y corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. E: Incentro Bisectriz (b c )

12 1. Definición 1.2 Elementos secundarios Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos iguales entre sí. El área de cada uno es la cuarta parte del área total del triángulo original. D, E y F: Puntos medios DF, DE y EF: Medianas Mediana (M d )

13 1.3 Ejemplo Según el triángulo de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) c < a II) a > b + c III) α > 75º + 20º 1. Definición Más información en las páginas 71 y 72 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 1 y 3 de tu guía. A)Solo I B)Solo II C)Solo III D)Solo I y II E)Solo I y III ALTERNATIVA CORRECTA A

14 AB C a b c hChC hAhA hBhB Área = base ∙ altura 2 Para obtener el área y perímetro en un triángulo cualquiera se utilizan las siguientes fórmulas: AB C a b c Perímetro = a + b + c 2. Propiedades y clasificación 2.1 Área y perímetro

15 2. Propiedades y clasificación Según ángulosSegún lados Acutángulo Todos sus ángulos interiores son agudos. Rectángulo Tiene un ángulo recto. Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso. Escaleno Todos sus lados y ángulos son distintos. Ejemplo: Isósceles Tiene solo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base. (Base) Equilátero Tiene todos sus lados y ángulos congruentes. 2.2 Clasificación

16 2.3 Ejemplo En la figura, el segmento AD es transversal de gravedad y su medida es 5 cm. Si el perímetro del triángulo ADC mide 16 cm, entonces el perímetro del triángulo ABC mide Más información en la página 72 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 6 y 8 de tu guía. A) 5 cm B)10 cm C)18 cm D)19 cm E)24 cm ALTERNATIVA CORRECTA E 2. Propiedades y clasificación

17 3. Triángulo rectángulo 3.1 Teorema de Pitágoras Hipotenusa Cateto 1 Cateto 2 Los catetos corresponden a los lados del triángulo que forman el ángulo recto. La hipotenusa corresponde al lado del triángulo opuesto al ángulo recto. En todo triángulo rectángulo se cumple que: “el cuadrado de la hipotenusa es igual la suma de los cuadrados de los catetos.” + =

18 3.2 Propiedades A C B 3. Triángulo rectángulo Triángulo rectángulo isósceles t C : transversal Si M es punto medio de AB, entonces AM MB CM Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

19 3.3 Ejemplo En el triángulo CDA de la figura, AB = 2 y BC = 3. El valor de x es Más información en la página 73 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 16 y 19 de tu guía. ALTERNATIVA CORRECTA B 3. Triángulo rectángulo A) cm B) cm C) cm D) 5 cm E)Ninguno de los valores anteriores

20 4.1 Propiedades AB BC CA 4. Triángulo equilátero Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales coinciden sobre la misma recta. Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden. 30º 60º h aa a 2 a 2 con a: lado del triángulo Área (A) y altura (h) de un triángulo equilátero

21 4. Triángulo equilátero Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita h = r + 2 r  h = 2 3r h = 3r Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita 4.2 Relaciones en la circunferencia

22 4.3 Ejemplo En un triángulo equilátero MNR, se representa el centro de gravedad mediante un punto F. Si MF = 6, entonces el perímetro del triángulo es Más información en la página 73 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 11 y 13 de tu guía. ALTERNATIVA CORRECTA B A) B) C) D) 18 E) 27 4. Triángulo equilátero

23 Pregunta oficial PSU 56. Un niño eleva un volantín de modo que el hilo se extiende en línea recta formando un ángulo de 60º con la horizontal, la longitud del hilo desde la mano del niño al volantín es de 46 metros y la mano del niño está a un metro del suelo, como se representa en la figura 17. ¿A qué altura (h) del suelo se encuentra el volantín? A) A 23 metros B) A 24 metros C) A 33,2 metros D) A 23 metros E) A (23 + 1) metros Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014. ALTERNATIVA CORRECTA E

24 Síntesis de la clase Recordemos… -¿Cuáles son los elementos secundarios de un triángulo? -¿Qué tipos de triángulos conoces? -¿En qué consiste el teorema de Pitágoras? -¿Cómo se determina la altura de un triángulo equilátero?

25 Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, resolveremos el Generalidades y ángulos en la circunferencia

26 Tabla de corrección NºClaveUnidad temáticaHabilidad 1 E Ángulos y polígonos Aplicación 2DÁngulos y polígonosASE 3AÁngulos y polígonosAplicación 4CÁngulos y polígonosAplicación 5BÁngulos y polígonosASE 6 D Ángulos y polígonos ASE 7EÁngulos y polígonosAplicación 8AÁngulos y polígonosASE 9 E Ángulos y polígonos ASE 10DÁngulos y polígonosAplicación 11AÁngulos y polígonosASE 12BÁngulos y polígonosAplicación

27 Tabla de corrección NºClaveUnidad temáticaHabilidad 13 C Ángulos y polígonos ASE 14EÁngulos y polígonosComprensión 15CÁngulos y polígonosComprensión 16AÁngulos y polígonosAplicación 17CÁngulos y polígonosASE 18AÁngulos y polígonosASE 19AÁngulos y polígonosAplicación 20BÁngulos y polígonosASE 21CÁngulos y polígonosASE 22DÁngulos y polígonosASE 23CÁngulos y polígonosASE 24DÁngulos y polígonosASE 25DÁngulos y polígonosASE

28 Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414 ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Equipo Editorial Matemática

29 Cuenta regresiva Volver a: 1. Definición 2. Propiedades y clasificación 3. Triángulo rectángulo 4. Triángulo equilátero 5. Pregunta oficial PSU