MÉTODO DE LA REGLA FALSA APROXIMACION DE RAÍCES Norma Jacqueline Herrera Domínguez Alexander Reyes Merino.

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1 MÉTODO DE LA REGLA FALSA APROXIMACION DE RAÍCES Norma Jacqueline Herrera Domínguez Alexander Reyes Merino

2  Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de a a b en mitades iguales, no se toman en cuenta las magnitudes de f(a) y f(b). Por ejemplo, si f(a) está mucho más cercana a cero que f(b), es lógico que la raíz se encuentre más cerca de a que de b. Un método alternativo que aprovecha esta visualización gráfica consiste en unir f(a) y f(b) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las x representa un mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta de una "falsa posición" de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición.

3 Descripción Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a,b] con f(a) y f(b) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz. El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [ak,bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f. A partir de un intervalo [a, b] se calcula un punto interior ck: Dicho punto es la intersección de la recta que pasa por (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante). Se evalúa entonces f(ck). Si es suficientemente pequeño, ck es la raíz buscada. Si no, el próximo intervalo [ak+1, bk+1] será: [ak, ck] si f(ak) y f(ck) tienen signos opuestos; [ck, bk] en caso contrario.

4 Algoritmo Para seguir el algoritmo debemos conocer:  La función. (f(x))  El intervalo [a,b]. (a,b)  La tolerancia. (tol)  El número de iteraciones máximas que puede hacer el algoritmo (num) Conociendo dichos datos se aplica el algoritmo siguiente: 1.- Para i=1 hasta No. Hacer 2.- c=(f(b)*a-f(a)*b)/(f(b)-f(a) 3.- si (b-a)<tol salir (tomar como raíz c) 4.- a) Si f(a)f(c) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del sub intervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga b = c y vuelva al paso 2. b) Si f(a)*f(c) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del sub intervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga a =c y vuelva al paso 2. c) Si f(a)*f(c) = 0, la raíz es igual a c; Salir.

5 Gráficamente

6 Sea f(x)=x^3+4x^2-10=0 Pa=1.2 Pb=1.6 nabf(a)f(b)f(b)af(a)bc=f(b)a-f(a)b/(f(b)-f(a))f(c )10^-5 01.21.6-2.51200000004.3365.2032000000-4.01920000001.3467289720-0.30275035160.1467289720 11.34672897201.6-0.30275035104.3365.8394168226-0.48440056161.3632588317-0.03251946120.0165298597 21.36325883171.6-0.03251946174.3365.9110902943-0.05203113871.3650211439-0.00344879170.0017623122 31.36502114391.6-0.00344879254.3365.9187316800-0.00551806791.3652078942-0.00036525970.0001867503 41.36520789421.6-0.00036525944.3365.9195414293-0.00058441511.3652276711-0.00003867890.0000197769 51.36522767111.6-0.00003867954.3365.9196271819-0.00006188721.3652297654-0.00000409590.0000020943 61.36522976541.6-0.00000409564.3365.9196362628-0.00000655291.3652299872-0.00000043370.0000002218 71.36522998721.6-0.00000043294.3365.9196372245-0.00000069261.3652300106-0.00000004580.0000000234 81.36523001061.6-0.00000004654.3365.9196373260-0.00000007441.3652300131-0.00000000490.0000000025