Tema IX Funciones Exponenciales y Logarítmicas Precálculo.

Presentación del tema: "Tema IX Funciones Exponenciales y Logarítmicas Precálculo."— Transcripción de la presentación:

1 Tema IX Funciones Exponenciales y Logarítmicas Precálculo

2 Función Exponencial La función exponencial básica es f(x) = b x, donde la base b es una constante y el exponente x es la variable independiente. Base Exponente

3 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x

4 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2 0 1 2 3

5 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ 0 1 2 3

6 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ 0 1 2 3

7 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 0 1 2 3

8 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 0 1 2 3

9 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 1 2 3

10 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 1 2 3

11 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 12 2 3

12 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 12 2 3

13 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 12 24 3

14 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 12 24 3

15 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 12 24 38

16 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 12 24 38

17 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 12 24 38

18 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 12 24 38

19 Función Exponencial Consideremos la función f(x) = 2 x xf(x) = 2 x -2¼ ½ 01 12 24 38 Esta recta se conoce como una asíntota, una recta a la cual la función graficada se acerca a medida que los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños.

20 Función Exponencial

21 Graficando Funciones Exponenciales Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala. 1.f(x) = 1.5 x

22 Graficando Funciones Exponenciales Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala. 1.g(x) = 30(0.8) x

23 Graficando Funciones Exponenciales Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala. 1.h(x) = 5(1.2) x

24 Graficando Funciones Exponenciales Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala. 1.f(x) = 10(3/4) x

25 Graficando Funciones Exponenciales Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala. 1.f(x) = 100(1.05) x

26 Crecimiento y Decaimiento Cantidad Final Cantidad Inicial Razón de Cambio Número de Periodos de Tiempo En la fórmula, la base de la expresión exponencial, 1 + r, es llamado el factor de crecimiento. Similarmente, 1 – r, es el factor de decaimiento.

27 Aplicaciones Tony compró una guitarra Gibson del 1959 por $12,000 en el año 2000. Los expertos estiman que su valor aumentará un 14% por año. Utiliza una gráfica para encontrar cuando el valor de la guitarra será $60,000.

28 Aplicaciones La población de una ciudad, la cual era inicialmente 15,500, ha ido disminuyendo a una razón de 3% al año. Escribe una función exponencial y grafica la función. Utiliza la gráfica para predecir cuando la población llegará a los 8,000.

29 Graficando Relaciones Inversas Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance. x01248 y24567

30 Graficando Relaciones Inversas Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance. x13456 y01235

31 Graficando Relaciones Inversas Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance. x01589 y25699

32 Escribiendo Funciones Inversas

33 Escribiendo y Graficando Funciones Inversas

34

35

36 Aplicaciones Juan compró un CD por Internet con un 20% de descuento del precio regular. El pagó $2.50 por el envío. El cargo total fue $13.70 ¿Cuál es el precio regular del CD?

37 Logaritmos Un logaritmo es el exponente al cual se eleva una base específica para obtener un valor dado. Puedes escribir una ecuación exponencial como una logarítmica y viceversa. Ecuación ExponencialEcuación Logarítmica

38 Escribe cada ecuación exponencial en forma logarítmica Ecuación ExponencialForma Logarítmica

39 Propiedades Especiales de Logaritmos FORMA LOGARÍTMICAFORMA EXPONENCIALEJEMPLO Logaritmo de Base b Logaritmo de 1

40 Evaluando Logaritmos Mentalmente

41 Propiedad de Producto de Logaritmos

42 Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible. 1.log 5 625 + log 5 25 2.log 4 2 + log 4 32 3.log 6 4 + log 6 9

43 Propiedad de Cociente de Logaritmos

44 Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible. 1.log 2 32 – log 2 4 2.log 7 49 – log 7 7 3.log 5 100 – log 5 4

45 Propiedad de Potencia de Logaritmos

46 Expresa como un producto. Simplifica si es posible. 1.log 3 81 2 2.log 5 (1/5) 3 3.log 2 32 6 4.log 5 25 2

47 Propiedades Inversas de Logaritmos ÁlgebraEjemplo

48 Propiedades Inversas de Logaritmos Simplifica cada expresión. 1.log 8 8 3x + 1 2.log 5 125 3.log 3 3 11 4.log 3 81

49 Propiedades Inversas de Logaritmos Simplifica cada expresión.

50 Fórmula de Cambio de Base

51 Evalúa las siguientes expresiones. 1.log 9 27 2.log 8 16 3.log 32 8

52 Ecuación Exponencial Una ecuación exponencial es una ecuación que contiene una o más variables como un exponente. Para resolver ecuaciones exponenciales puedes utilizar lo siguiente:

53 Resolviendo Ecuaciones Exponenciales

54

55 Ecuaciones Logarítmicas Una ecuación logarítmica es una ecuación con una expresión logarítmica que contiene una variable. Para resolver ecuaciones logarítmicas puedes utilizar lo siguiente:

56 Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas

57

58

59 Fórmula de Interés Compuesto Donde: A es la cantidad total, P es el principal, r es la taza de interés anual, n es la cantidad de veces que el interés es compuesto al año y t es el tiempo en años.

60 Interés Continuo Asume que se invierte $1 a un 100% de interés (r = 1) compuesto n veces en un año. Lo cual puede ser representado por la función:

61 Interés Continuo A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente. Examinemos la gráfica de f(n).

62 Interés Continuo A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente. Examinemos la gráfica de f(n).

63 El número natural e

64 Graficando Funciones Exponenciales

65

66 Logaritmo Natural

67 Simplificando Expresiones con e o ln Simplifica.

68 Fórmula de Interés Compuesto Continuamente Donde: A es la cantidad total, P es el principal, r es la taza de interés anual, t es el tiempo en años.

69 Aplicaciones a Economía ¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $1000 invertido al 5% durante 10 años compuesto continuamente? ¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $100 invertido al 3.5% por 8 años y compuesto continuamente?

70 Media – Vida La media – vida de una sustancia es el tiempo que le toma a la mitad de la sustancia descomponerse o convertirse en otra sustancia durante el proceso de decaimiento. El proceso de decaimiento natural está modelado por la siguiente función. Cantidad inicial Constante de decaimiento Tiempo Cantidad restante

71 Aplicación a Paleontología Un paleontólogo descubre un fósil de un tigre dientes de sable en California. El analiza el fósil y concluye que el espécimen contiene 15% de su carbono-14 original. El carbono-14 tiene una media vida de 5730 años. Determina la edad del fósil. Determina cuanto le tomaría a una muestra de 650 mg de cromio-51, el cual tiene una media vida de 28 días, para decaer a 200 mg.