Liz Lara Nathalie Ortega Joshua Howel Michelle Suira Génesis Contreras Edilma Ortega.

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1 Liz Lara Nathalie Ortega Joshua Howel Michelle Suira Génesis Contreras Edilma Ortega

2 Introducción El trabajo matemático muchas veces nos presenta expresiones compuesta s por polinomios, que pueden ser extensos. Al convertir un polinomio en una expresión con factores (factorizar) podremos simplificarlo cuando se encuentre en una expresión racional, reduciendo esta ultima a una mínima expresión

3 Contenido

4 Factorización Importancia y aplicación del Algebra Factor Común Monomio Factor Común Polinomio Factor Común por agrupación de Términos Diferencia de cuadrado Trinomio cuadrado Perfecto Estas pitufialegre A jugar con el algebra

5  En algebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados(a - b)(a + b).  La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del algebra

6 Algebra es la rama más importante de matemáticas. Su uso está en toda nuestra vida diaria. Ya que su nombre significa “la reducción” (algebra viene del árabe al yabr) es muy útil para simplificar muchos trabajos y cuentas que usamos en todas las cosas. Para nosotros, algebra se aplica cuando hacemos las compras. Como ejemplo; si compramos 5 lápices y 6 borradores, en nuestra mente se representa con 5a + 6b, y si nos da los valores/precios de a y b, nos facilita más para sacar el total de los precios. Otro ejemplo seria hacer inventarios. Cuando hago un inventario, podemos representar los artículos con una letra y numero para su cantidad, ósea 10x puede significar 10 piezas de “x” cosa. Así como los simples usos de ejemplos anteriores, el álgebra también se puede usar en casos más complicados y su función es simplificarlos. También usamos algebra en estudio de otras cosas, como calculo, geometría, física, química, estudio nuclear etc. Siendo capaz de manejar algebra en nuestra vida, podremos ahorrar mucho tiempo de trabajo, asegurar resultados más fiables.

7 La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

8 Es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado, esta formado por el M.C.D. de los coeficientes y letras comunes elevadas a su menor exponente.

9 Ejemplos de Factor común monomio Factorizar 4a 10 + 8a 3 M.C.D. (4, 8) = 4 Variable común con su menor exponente: a 3 Factor común monomio: 4a 3 4a 10 + 8a 3 Luego se divide ------------ = a 7 + 2 4a 3 Entonces: 4a 10 + 8a 3 = 4a 3 (a 7 + 2) Factorizar x 7 + x 3 M.C.D. (1, 1) = 1 Variable común con su menor exponente: x 3 Factor común monomio: x 3 x 7 + x 3 Luego se divide --------- = x 4 + 1 x 3 Entonces: x 7 + x 3 = x 3 (x 4 + 1)

10 Procedimiento para factorizar 1)Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor. 2)Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor. x(a+b)+m(a+b)=(a+b)(x+m)

11 Factorizar a(x + 3) + b(x + 3) Factor común con su menor exponente: (x + 3) a(x + 3) + b(x + 3) Luego se divide = a + b (x + 3) Entonces: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b) Factorizar (2a - 3)(y + 1) - y - 1 Arreglando = (2a - 3)(y + 1) - (y + 1) Factor común con su menor exponente: (y + 1) (2a - 3)(y + 1) - (y + 1) Luego se divide = (2a - 3) - 1 = 2a - 3 - 1 = 2a - 4 (y + 1) Entonces: (2a - 3)(y + 1) - y - 1 = (y + 1)(2a – 4) Factorizar (a + 1) 2 (y + 1) - (a + 1)(y + 1) 2 Factor común con su menor exponente: (a + 1)(y + 1) (a + 1) 2 (y + 1) - (a + 1)(y + 1) 2 Luego se divide= (a + 1) - (y + 1) = (a + 1 - y - 1) = (a - y) (a + 1)(y + 1) Entonces: (a + 1) 2 (y + 1) - (a + 1)(y + 1) 2 = (a + 1)(y + 1)(a - y)

12 Procedimiento para factorizar 1)Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común monomio y como consecuencia un factor común polinomio. 2)2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

13 1): Factorizar ax + bx + aw + bw Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw) Factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b) Factor común polinomio: (a + b) x(a + b) + w(a + b) Luego se divide = x + w (a + b) Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w) 2): Factorizar 2x 2 - 4xy + 4x - 8y Agrupamos ( 2x 2 - 4xy ) + ( 4x - 8y ) Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y) Factor común polinomio: (x - 2y) 2x(x - 2y) + 4(x - 2y) Luego se divide = 2x + 4 (x - 2y) Entonces: 2x 2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4) 3): Factorizar 2 m+n + 8 m+n + 2 m 8 m + 2 n 8 n Agrupamos ( 2 m+n + 2 m 8 m ) + ( 8 m+n + 2 n 8 n ) Factor común en cada binomio: 2 m ( 2 n + 8 m ) + 8 n ( 8 m + 2 n ) Factor común polinomio: ( 2 n + 8 m ) 2 m ( 2 n + 8 m ) + 8 n ( 8 m + 2 n ) Luego se divide = 2 m + 8 n ( 2 n + 8 m ) Entonces: 2 m+n + 8 m+n + 2 m 8 m + 2 n 8 n = ( 2 n + 8 m )(2 m + 8 n )

14 En una diferencia de dos cuadrados perfectos. Procedimiento para factorizar 1)Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos. 2)2) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas.

15 1) Factorizar 25x 2 - 1 La raíz cuadrada de : 25x 2 es 5x La raíz cuadrada de : 1 es 1 Luego 25x 2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1) 2) Factorizar 16x 2 - 36y 4 La raíz cuadrada de : 16x 2 es 4x La raíz cuadrada de : 36y 4 es 6y 2 Luego 16x 2 - 36y 4 = (4x + 6y 2 )(4x - 6y 2 ) 3) Factorizar 121a 2 b 4 c 8 - 144d 10 e 14 La raíz cuadrada de : 121a 2 b 4 c 8 es 11ab 2 c 4 La raíz cuadrada de : 144d 10 e 14 es 12d 5 e 7 Luego 121a 2 b 4 c 8 - 144d 10 e 14 = (11ab 2 c 4 + 12d 5 e 7 )(11ab 2 c 4 - 12d 5 e 7 )

16 Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

17 1: Factorizar x 2 + 10x + 25 La raíz cuadrada de : x 2 es x La raíz cuadrada de : 25 es 5 El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x Luego x 2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 2: Factorizar 49y 2 + 14y + 1 La raíz cuadrada de : 49y 2 es 7y La raíz cuadrada de : 1 es 1 El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y Luego 49y 2 + 14y + 1 = (7y + 1) 2 3: Factorizar 81z 2 - 180z + 100 La raíz cuadrada de : 81z 2 es 9z La raíz cúbica de : 100 es 10 El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z Luego 81z 2 - 180z + 100 = (9z - 10) 2

18  a 2 b - ab 2 =  6p 2 q + 24pq 2 =  x 2 - 8x + 16 =  16y 2 + 24y + 9 =  16x 2 - 25y 2 =  144 - x 2 y 2 =  2x 3 + 10x 2 + x + 5 =  px + py + qx + qy =  2x(a - 1) - 3y(a - 1)=  x(a + 9) - a – 9=

19  Al concluir este proyecto hemos reforzado nuestros conocimientos sobre el algebra.  Nos ha ayudado a entender aquellas pequeñas operaciones que nos era difícil resolver.  No dimos cuenta de donde se origino el algebra-factorización; y de los diferentes casos que hemos dado.  Descubrimos las verdadera definición de lo que es factorización, y que la utilizamos en la vida diaria de cada uno

20

21  ab(a - b)  6pq(p + 4q)  (x - 4) 2  (4y + 3) 2  (4x - 5y)(4x + 5y)  (12 + xy)(12 - xy)  (2x 2 + 1)(x + 5)  (p + q)(x + y)  = (a - 1)(2x - 3y)  = (a + 9)(x - 1)