TEMA 2 : ALGEBRA DE MATRICES. 1.- Definiciones. 2.- Fórmulas. 3.- Esquema. 4.- Ejercicios.

2.1.NOMENCLATURA Y DEFINICIONES Matriz: Son unas tablas de números dispuestos en filas y columnas. Los son números reales Dimensión de una matriz: La dimensión viene dada así: el número de filas × el número de columnas. Vector Fila: Matriz de dimensión (1×j). Vector Columna: Matriz de dimensión (i×1). Matriz Cuadrada: Matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas.

Matrices iguales: Dos matrices son iguales cuando son de la misma dimensión y además, coinciden término a término. Matriz Traspuesta: La matriz traspuesta de una matriz A es otra matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas y las columnas por filas. La Matriz traspuesta se denota por Matriz Simétrica: Una matriz es simétrica si cumple: Una matriz simétrica ha de ser Cuadrada.

2.2 OPERACIONES CON MATRICES Suma de matrices: Dos matrices se pueden sumar si tienen la misma dimensión y se suman término a término. Producto de un número por una matriz: Se multiplica cada término por el número. Producto de una matriz fila por una matriz columna: El producto de un vector fila por un vector columna, ambos de la misma dimensión, es un número que se obtiene multiplicándolos término a término y sumando los resultados

Producto de Matrices: Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse debe cumplirse la siguiente condición: “El número de columnas de la primera matriz (A) coincida con el número de filas de la segunda (B).” En tal caso, el producto A∙B=C es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera matriz(A) por cada vector columna de la segunda (B). La matriz C resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B.

2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES Propiedades de la suma de matrices: ASOCIATIVA: CONMUTATIVA: ELEMENTO NEUTRO: la matriz O cuyos elementos son todos ceros, sumada con cualquier otra matriz de su misma dimensión, la deja igual. MATRIZ OPUESTA: Propiedades del producto de números por matrices: Sean a, b números reales y A, B matrices: DISTRIBUTIVA I: DISTRIBUTIVA II: PRODUCTO POR EL NÚMERO 1:

Propiedades del producto de matrices: ASOCIATIVA: Esta propiedad nos permite prescindir de los paréntesis cuando multipliquemos matrices siempre y cuando las matrices sean multiplicables. El producto de matrices NO ES CONMUTATIVO en general: Como consecuencia, hemos de mantener el orden en que aparezcan las matrices que han de multiplicarse, utilizamos expresiones del tipo “ La matriz M está multiplicando por la izquierda (o por la derecha)…”

2.4 MATRICES CUADRADAS Las matrices cuadradas de orden m, además de sumarse y multiplicarse por un número, pueden multiplicarse entre sí. Veamos algunas definiciones y propiedades: Matriz Unidad: Matriz cuya diagonal principal son todos unos y el resto de términos son ceros. Matriz Inversa de otra: Algunas matrices cuadradas tienen matriz inversa, pero otras no. La notación si existe de la matriz inversa es A-1 Cumple la siguiente propiedad: El procedimiento para calcularla lo veremos en la unidad 4.

2.5 COMPLEMENTOS TEÓRICOS PARA EL ESTUDIO DE MATRICES Espacio vectorial: Todo conjunto V que cumpla las dos siguientes operaciones se define como Espacio Vectorial: Suma de dos elementos: Producto por un número real: El conjunto de las matrices forman un espacio vectorial. n-Uplas de números reales: Una colección de n números reales dados en un cierto orden se llama n-upla. Tanto las filas como las columnas de las matrices son n-uplas de números reales. Combinación lineal de vectores: Dados El vector formado por Se llama combinación lineal de los vectores

Dependencia e independencia lineal: Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente independientes (L.I.) si ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. El máximo número posible de n-uplas linealmente independientes es n.

el máximo rango posible es 2 2.6 RANGO DE UNA MATRIZ Llamamos rango de una matriz al número de filas (o columnas) que son linealmente independientes. Teorema: En una matriz, el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Según esto, el rango de una matriz es el número de filas o de columnas L.I. Ejemplos: el máximo rango posible es 2 porque

ESQUEMA TEMA 2 ÁLGEBRA DE MATRICES 2.1. NOMENCLATURA Y DEFINICIONES Que es una Matriz Dimensión de una Matriz Matriz Cuadrada. Matrices Iguales. Matriz Traspuesta Matriz Simétrica. 2.2 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices Producto de un número por una matriz Producto de una matriz fila por una matriz columna Producto de Matrices. 2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES Propiedades de la Suma. Asociativa. Conmutativa. Elemento Neutro Opuesta. Propiedades del producto de números por matrices Distributiva I Distributiva II Producto por el número 1 Propiedades del Producto NO Conmutativa. Distributivas. 2.4. MATRICES CUADRADAS Matriz Unidad. Matriz Inversa. 2.5. COMPLEMENTO TEORICO. - Dependencia e independencia Lineal. - Combinación Lineal de vectores. - Espacios Vectoriales. 2.6. RANGO DE UNA MATRIZ