Estadística Administrativa I 2016-1 Distribuciones de frecuencias

Capítulo III Concepto Distribución de frecuencia cualitativa Distribución de frecuencia cuantitativa Representación gráfica cualitativa Representación gráfica cuantitativa

Distribuciones de frecuencia Cuadro que se utiliza para presentar en forma resumida las variables de un instrumento junto con sus respectivas observaciones. Definición: Agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes, que muestra el número de observaciones que hay en cada clase. También llamada “Tabla de frecuencias”.

Tabla de frecuencias Primer procedimiento para organizar y resumir un conjunto de datos. Cuadro: Organizado en filas y columnas con mínimo de 2 columnas. Primera columna: Siempre esta representada por una de las variables objetos de estudio y las características o clases en que se distribuye. En la construcción de una tabla de frecuencias se debe comprender cómo se utilizan las variables y los niveles de medición.

Tipo de distribuciones de frecuencia Las distribuciones de frecuencia pueden ser diseñadas para variables: Cualitativas Cuantitativas.

Distribución de frecuencias cualitativas Agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes que distribuye los datos de una variable de acuerdo a sus características. Mutuamente excluyente: los resultados solo pueden pertenecer a una clase.

Tabla de frecuencias cualitativas Los niveles de medición que se utilizan con las variables cualitativas son: Nominal Ordinal

Variables cualitativas

Variables cualitativas Nota: Encuesta levantada por estudiantes de Estadística Administrativa I en el año 2013

Frecuencia Número de veces que se repite una observación en la aplicación de un instrumento estadístico.

Frecuencia Concepto: Es el número de veces que se repite una respuesta. Ejemplo: Se aplicó una encuesta a los estudiantes de un curso de Finanzas I contestaron los 74 alumnos Pregunta: ¿Cómo califica al profesor? Variable: Calificación

Ejemplo 3.1 . . . Se levantó una encuesta en el centro comercial Multiplaza y una de las preguntas era el estado civil de los encuestados. Al contar los datos de la encuesta se obtuvo que 25 están soltero, 45 casados, 10 en unión libre, 2 viudos y 12 divorciados. Construir la distribución de frecuencias.

. . . Ejemplo 3.1 Variable : Estado civil Tipo: Cualitativa Características: 5 Soltero 25 Casado 45 Unión libre 10 Viudo 3 Divorciado 12 En total de encuestaron 95 personas

. . . Ejemplo 3.1 Se diseña la tabla de frecuencias en dos columnas, una para las características y otra para los resultados de la encuesta. En este caso el orden de las características es arbitrario.

. . . Ejemplo 3.1 En una encuesta de satisfacción al cliente se preguntó a los visitantes a la recepción ¿Cómo califica el servicio y la atención? Y las características a elegir fueron las siguientes: Excelente Muy bueno Bueno Regular Malo En este caso el orden de las características va a ser ordinal.

. . . Ejemplo 3.1 Los resultados que se obtuvieron se listan a continuación: Construir la distribución de frecuencias.

. . . Ejemplo 3.1 Paso 1: Definir el nombre de la variable. Servicio y atención Paso 2: Definir las categorías Excelente Muy bueno Bueno Regular Malo

. . . Ejemplo 3.1 Paso 3: Contar observaciones por categoría Excelente - - - | Muy bueno - - - |||| Bueno - - - ||||| ||||| Regular - - - ||| Malo - - - ||

. . . Ejemplo 3.1 Paso 4: Distribución de frecuencias

Frecuencia relativa Es la proporción existente entre el dato de cada característica y el tamaño de la muestra. Cada frecuencia se divide entre el total de datos de la muestra y se puede representar en decimales o en forma porcentual.

Frecuencia relativa 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Ejemplo 3.2 . . . Calcular la frecuencia relativa y porcentual de la siguiente distribución: Calcular el total de la distribución

. . . Ejemplo 3.2 Dividir cada frecuencia entre el total de datos de la muestra Multiplicar cada frecuencia por 100

Ejemplo 3.2 . . . A la encuesta levantada por estudiantes de Estadística Administrativa I, calcular la frecuencia relativa y la frecuencia porcentual.

. . . Ejemplo 3.2 Dividir cada frecuencia (encuestados) entre el total de la muestra. Multiplicar la frecuencia relativa por 100.

Distribución de frecuencias cuantitativas Agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes, que muestra el número de observaciones que hay en cada clase. Mutuamente excluyente: los resultados solo pueden pertenecer a una clase.

Tabla de frecuencias cuantitativas Datos numéricos Datos numéricos

Distribución de frecuencias cuantitativas Es el mismo concepto de la distribución de frecuencias cualitativas; pero, en la primera columna se editan datos numéricos organizados por grupos de datos. La forma de la distribución es igual en ambos casos.

Ejemplo 3.3 . . . La empresa Automotor se dedica a dar mantenimiento a vehículos de todas las marcas. En el mes anterior se atendieron 176 y las cantidades que ingresaron, como ganancia a la caja, según el rango de pago, fueron las siguientes:

. . . Ejemplo 3.3 Interpretación: Son 8 vehículos que reportaron ganancias entre 200 y 600 lempiras. Son 11 vehículos que reportaron ganancias entre 600 y 1,000 lempiras. El resto se interpreta de la misma manera.

Clases o Intervalos Cada una de las líneas de la distribución recibe el nombre de intervalo o clase. Se cuentan los datos que están en cada uno de ellos para obtener las frecuencias. Se recomienda que se agrupen en intervalos con los mismos tipos de datos.

Ejemplo 3.4 . . . Otro estilo: Si una respuesta es igual a 600, se cuenta en el siguiente intervalo.

Ejemplo 3.4 . . . Otro estilo: Si una respuesta es igual a 600, se cuenta en el siguiente intervalo.

R a n g o 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜=𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 −𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 Es el tamaño de la muestra que existe entre el dato mayor y el dato menor. Esta información es útil cuando se debe construir una distribución de frecuencias de variables cuantitativas. 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜=𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 −𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

Ejemplo 3.5 . . . Se revisaron los expedientes de los niños que asisten al curso de pintura infantil y las edades de los asistentes son: 5 7 4 9 8 6 10 El niño con más edad tiene 10 años y el niño con menos edad tiene 4 años. 𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟=10 𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟= 4 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜=10−4=6

Construcción de tabla o distribución Cuando los datos son recolectados en el campo reciben el nombre de datos brutos, no agrupados o crudos. Primero: El primer paso es determinar cuál es el rango con el que se debe trabajar. Segundo: Crear los intervalos. Como mínimo 5 y máximo 12. Determinar el rango de cada intervalo, al cual se le llama anchura de clase o intervalo Construir los intervalos Contar los números similares y colocar el resultado en la frecuencia.

¿Cuántos intervalos o clases? De acuerdo al número de datos recolectados, se define un aproximado de la cantidad de intervalos que tendrá la distribución. El número de intervalos varía entre 5 y 12. Cálculo: El rango se divide entre el número de intervalos que se considera adecuado y se obtiene el tamaño o anchura de la clase o intervalo. 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒= 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠

Precios pagados en Miles de Lempiras Ejemplo 3.6 . . . En el auto-lote “Mi mejor car” se vendieron 35 carros en el mes de diciembre y los precios que pagaron los clientes oscilaron entre 40 y 120 mil lempiras´. Adjunto se muestran los valores pagados por cada uno de los clientes. Construir la tabla de frecuencias. Precios pagados en Miles de Lempiras 108 110 64 60 95 65 96 118 68 97 104 45 90 84 111 87 114 109 54 91 56 103 113 119 88 89 82 116 48 120

Precios pagados en Miles de Lempiras . . . Ejemplo 3.6 Precios pagados en Miles de Lempiras 108 110 64 60 95 65 96 118 68 97 104 45 90 84 111 87 114 109 54 91 56 103 113 119 88 89 82 116 48 120 El dato mayor es el carro que se vendió a 120 mil. El dato menor es el carro que se vendió a 45 mil. Rango = 120 – 45 = 75 Definir un aproximado de 7 intervalos.

Precios pagados en Miles de Lempiras . . . Ejemplo 3.6 Precios pagados en Miles de Lempiras 108 110 64 60 95 65 96 118 68 97 104 45 90 84 111 87 114 109 54 91 56 103 113 119 88 89 82 116 48 120 Rango = 75 Intervalos ≈ 7 Anchura del intervalo 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎= 75 7 =10.71 Redondear la anchura a cero decimales porque los datos son enteros. 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎=11 La siguiente fase es la construcción de la distribución.

. . . Ejemplo 3.6 El primer dato de la distribución de frecuencias sería 45 y recibe el nombre de límite inferior. Al dato menor se le suma el valor de la anchura (11) para obtener el límite superior del primer intervalo. El límite superior del primer intervalo se convierte en el límite inferior del segundo y se repiten 1. y 2.

. . . Ejemplo 3.6 A 58 sumarle 13 para obtener el segundo intervalo Hacer lo mismo con los demás intervalos hasta que encuentre un intervalo que contiene a 120 que es el dato mayor del rango. Nota: Es permitido que al momento de crear todos los intervalos, se obtenga un intervalo más que el calculado. En este caso, el resultado fue de 7; pero, se aceptarían 8.

. . . Ejemplo 3.6 Lista de intervalos que se obtiene es: El siguiente proceso es determinar las frecuencias; es decir, cuantos automóviles se vendieron por cada intervalo.

Precios pagados en Miles de Lempiras . . . Ejemplo 3.6 Precios pagados en Miles de Lempiras 108 110 64 60 95 65 96 118 68 97 104 45 90 84 111 87 114 109 54 91 56 103 113 119 88 89 82 116 48 120 Contar los vehículos que se vendieron a un precio entre 45 y 58 mil (pero no igual a 58 mil). 45, 48, 54. Son 3 vehículos La frecuencia es 3

Precios pagados en Miles de Lempiras . . . Ejemplo 3.6 Precios pagados en Miles de Lempiras 108 110 64 60 95 65 96 118 68 97 104 45 90 84 111 87 114 109 54 91 56 103 113 119 88 89 82 116 48 120 De igual manera se llenan los restantes intervalos.

Precios pagados en Miles de Lempiras . . . Ejemplo 3.6 Precios pagados en Miles de Lempiras 108 110 64 60 95 65 96 118 68 97 104 45 90 84 111 87 114 109 54 91 56 103 113 119 88 89 82 116 48 120

Frecuencia relativa Al igual que con las variables cualitativas, en las distribuciones para variables cuantitativas se calcula la frecuencia relativa dividiendo la frecuencia de cada intervalo entre el total de la muestra.

Ejemplo 3.7 . . . En el auto-lote “Mi mejor car” se vendieron 35 carros en el mes de diciembre y los precios que pagaron los clientes oscilaron entre 40 y 120 mil lempiras´. Calcular la frecuencia relativa de la distribución de frecuencias obtenida.

. . . Ejemplo 3.7

. . . Ejemplo 3.7

Frecuencia acumulada Es la suma sucesiva de las frecuencias a través de toda la tabla. El último intervalo contiene el total de datos de la muestra. Se utiliza para interpretar sub-rango de acuerdo a las necesidades del usuario.

Frecuencia acumulada La frecuencia se puede acumularse con las frecuencias de la tabla, relativa o porcentual. La frecuencia acumulada del 1° intervalo es la frecuencia. La frecuencia acumulada del 2° intervalo es la suma del 1° con el 2° intervalo. La frecuencia del 3° intervalo es la suma del 1°, el 2° ý el 3° intervalo.

Ejemplo 3.8 . . . Calcular la frecuencia acumulada y la acumulada porcentual para la distribución de las ventas de automóviles de la empresa “Mi mejor car”.

. . . Ejemplo 3.8 Frecuencia acumulada de los automóviles vendidos.

. . . Ejemplo 3.8 Frecuencia porcentual acumulada de los automóviles vendidos.

Marca de clase Es el punto medio que existe entre el límite inferior y el límite superior de un intervalo dividido por 2. A cada intervalo se le puede calcular su punto medio. Sirve para construir gráficas. 𝑀𝐶= 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟+𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2

Ejemplo 3.9 . . . Calcular la marca clase para la distribución de las ventas de automóviles de la empresa “Mi mejor car”. 𝑀𝐶= 𝐿𝐼+𝐿𝑆 2 Nota: Su importancia radica en la elaboración de gráficas en forma manual.

Ejemplo 3.9 . . . Marca de clases o Punto medio de intervalo.

Ejemplo 3.9 . . . Marca de clases o Punto medio de intervalo.

Representación gráfica Gráficos para variables cualitativas Gráficos para variables cuantitativas

Representación gráfica Es la presentación que se utiliza en forma de dibujos para facilitar la interpretación de los resultados. Los gráficos pueden ser presentado tanto para variables cualitativas como cuantitativas; difieren de acuerdo al estilo de sus datos.

Variables cualitativas Gráfico de barra Gráfico de línea Gráfico tipo pastel o circular

Gráficos Un gráfico es una representación diseñada sobre un plano cartesiano que está formado por dos variable. Uno de los ejes presenta la variable independiente y el otro la variable dependiente.

Tipo de gráfico Barra vertical Barra horizontal Línea Pastel o circular

Barra vertical En el eje horizontal se colocan las características de la variable cualitativa En el eje vertical se colocan las frecuencias correspondientes. Las barras quedan separadas.

Ejemplo 3.10 . . . Se levantó una encuesta en el centro comercial Multiplaza y una de las preguntas era el estado civil de los encuestados. Los resultados que se obtuvieron son los siguientes: Trazar los tres gráficos de barra para variables cualitativas.

. . . Ejemplo 3.10 Trazar el plano cartesiano. Gráfico de barra vertical Colocar las características de la variable en el eje horizontal Dividir el eje vertical de 10 en 10 hasta llegar a 50, ya que la frecuencia más alta es 45.

. . . Ejemplo 3.10 Colocar las frecuencias de cada característica en forma de barra vertical.

. . . Ejemplo 3.10 Colocar las etiquetas de las frecuencias sobre las barras.

. . . Ejemplo 3.10 Trazar el plano cartesiano. Gráfico de barra horizontal Colocar las características de la variable en el eje vertical Dividir el eje horizontal de 10 en 10 hasta llegar a 50, ya que la frecuencia más alta es 45.

. . . Ejemplo 3.10 Colocar las frecuencias de cada característica en forma de barra horizontal.

. . . Ejemplo 3.10 Trazar el plano cartesiano. Gráfico de línea Colocar las características de la variable en el eje horizontal Dividir el eje vertical de 10 en 10 hasta llegar a 50, ya que la frecuencia más alta es 45.

. . . Ejemplo 3.10 Colocar un punto en la línea de intersección entre la característica y su frecuencia respectiva.

. . . Ejemplo 3.10 Unir los puntos trazados para formar la línea.

. . . Ejemplo 3.10 Gráfico de barra circular La mejor herramienta para este tipo de gráfico es la computadora.

Variables cuantitativas Histograma Polígono Ojiva

Histograma Gráfica de barra formada por los límites del intervalo de clase y las frecuencias respectivas. Las frecuencias pueden ser absolutas o relativas (%) Las barras deben ser unidades debido a que las variables son continuas.

Ejemplo 3.12 . . . Construir el histograma de la distribución de frecuencias de la empresa “Mi mejor car”.

. . . Ejemplo 3.12 Histograma 8 7 6 5 5 Vehículos vendidos 3 1 45 56 67 78 89 100 111 122 Precio de automóviles

Polígono Es la gráfica de línea formada por los puntos medios de las clases o intervalos y las frecuencias. Las frecuencias pueden ser absolutas o relativas (%).

Ejemplo 3.13 . . . Construir el polígono de la distribución de frecuencias de la empresa “Mi mejor car”.

Ejemplo 3.13 . . . Polígono

. . . Ejemplo 3.13 Polígono 8 7 6 5 5 Vehículos vendidos 3 1 50.5 61.5 72.5 83.5 94.5 105.5 116.5 Precio de automóviles

Ojiva Las ojivas se construyen con los límites superiores de los intervalos de frecuencia y las frecuencias acumuladas. Las frecuencias acumuladas pueden ser absolutas o relativas.

Ejemplo 3.14 . . . Graficar la ojiva para la siguiente distribución de frecuencias.

. . . Ejemplo 3.14 Acumular la frecuencia absoluta. Generar un intervalo ficticio al inicio y al final de la tabla.

. . . Ejemplo 3.14 Tabla con frecuencias acumuladas

. . . Ejemplo 3.14 Ojiva 35 28 Vehículos vendidos 22 14 9 8 3 56 67 78 89 100 111 122 Precio de automóviles

Prácticas

Práctica # 1 Se obtuvo una muestra en un supermercado sobre la compra de abarrotes en una mercadito local. Se obtuvieron los siguientes resultados: Gasto en lempiras 271 363 159 76 277 337 295 319 250 279 205 266 199 177 163 232 303 192 181 321 309 501 278 50 41 335 116 500 151 240 474 297 170 188 320 429 294 570 342 235 434 123 325 Trazar las gráficas Histograma Polígono Ojiva

Desarrollo práctica # 1 Dato mayor: 570 Dato menor: 41 Rango: 529 Gasto en lempiras 271 363 159 76 277 337 295 319 250 279 205 266 199 177 163 232 303 192 181 321 309 501 278 50 41 335 116 500 151 240 474 297 170 188 320 429 294 570 342 235 434 123 325 Dato mayor: 570 Dato menor: 41 Rango: 529 Intervalos: 6 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎= 529 6 =88

Desarrollo práctica # 1 Construir los intervalos y contar los datos de cada clase. |||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| ||| || |

Desarrollo práctica # 1 Histograma Frecuencias absolutas

Desarrollo práctica # 1 Histograma Frecuencias porcentuales

Desarrollo práctica # 1 Polígono Frecuencias absolutas

Desarrollo práctica # 1 Polígono Frecuencias porcentuales

Desarrollo práctica # 1 Polígono Frecuencias porcentuales

Desarrollo práctica # 1 Ojiva Frecuencias absolutas

Desarrollo práctica # 1 Ojiva Frecuencias porcentuales

Desarrollo práctica # 1 Ojiva Frecuencias porcentuales

Para más información leer la página web F i n a l Para más información leer la página web www.lbanegas.com 𝐵𝑖𝑏𝑙𝑖𝑜𝑔𝑟𝑎𝑓í𝑎 Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill David M. Levine, Timothy C. Krehbiel, Mark L. Berenson. 2006. Estadística para Administración. (4° edición). Naucalpan de Juárez, México.: Pearson Prentice Hall