Deformaciones mecánicas ELASTICIDAD Deformaciones mecánicas Copyright © 2005-8 H Pérez-Kraft TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS

ELASTICIDAD Objetivos Comprender y entender que la materia no es totalmente rígida. Diferenciar entre deformaciones mecánicas y deformaciones térmicas. Diferenciar entre las tres deformaciones mecánicas que experimentan los sólidos. Distinguir entre comportamiento elástico, comportamiento plástico y ruptura y cuándo los sólidos los experimentan. Entender el sentido de los módulos elásticos y saber diferenciar entre uno y otro. Poder analizar cualquiera de las tres deformaciones mecánicas de los sólidos.

ELASTICIDAD Entender que el movimiento vibracional de la materia es producido principalmente debido a la elasticidad de la misma.

ELASTICIDAD Deformaciones Cambio en las propiedades físicas de la materia Tipos: Mecánicas Producidas por fuerzas Pueden ser Longitudinales (cambia la longitud) Volumétricas (cambia el volumen) Torsión (se tuerce) Térmicas Producidas por calor Superficiales (cambia el área)

ELASTICIDAD Los sólidos pueden experimentar cualquiera de estas deformaciones tanto mecánicas como térmicas Los fluidos solo pueden experimentar las deformaciones volumétricas tanto mecánicas como térmicas

ELASTICIDAD Elasticidad Propiedad de la materia que le permite regresar a su forma y estado original una vez se le retire eso que la deforma Es responsable por la deformación que puede experimentar la materia El sistema elástico más sencillo es el resorte Su proceso de deformación se rige mediante La Ley de Hooke La magnitud de la fuerza elástica del resorte es directamente proporcional a la posición del mismo en relación a su posición de equilibrio {F=-kx} Para las x’s positivas, las F’s son negativas Para las x’s negativas, las F’s son positivas La fuerza elástica actúa siempre hacia la posición de equilibrio del resorte

ELASTICIDAD La magnitud de la fuerza que la va a producir una deformación al resorte es igual a la magnitud de la fuerza elástica en el resorte cuando éste se encuentre a cierta distancia de su posición de equilibrio {F=kx} Esto es cierto siempre y cuando no se sobrepase el LÍMITE ELÁSTICO del resorte La fuerza máxima o deformación máxima que puede experimentar un resorte sin que se deforme permanentemente Mientras no se sobrepase este límite, el comportamiento del resorte será elástico Si se sobrepasa este límite, el comportamiento del resorte será plástico Recordemos que k representa la constante de fuerza del resorte (que también se conoce como su rigidez) y x representa la distancia del resorte a partir de su posición de equilibrio (que en este caso se conoce como su deformación)

ELASTICIDAD Esto significa que si una fuerza de 500 Nts hace que un resorte se deforme 25 cm, su rigidez es de k = F/x = (500 Nts)/(0.25m) = 2,000 Nts/m Cada 2,000 Nts de fuerza le va a producir al resorte una deformación de 1 m Para cada metro de deformación se necesita una fuerza de 2,000 Nts La Ley de Hooke

ELASTICIDAD Si construímos una gráfica de F vs x Límite de ruptura F Límite Elástico x

ELASTICIDAD Elasticidad en la materia Cuando hablamos de la deformación de los sólidos, los líquidos y los gases ésta no necesariamente es proporcional a la fuerza produciéndola La deformación de la materia puede tener diferentes valores dependiendo de cómo una fuerza única sea aplicada al material Para una persona parada sobre un área grande DL(deformación pequeña en longitud)

ELASTICIDAD DL (deformación grande en longitud) Para la misma persona parada sobre un área pequeña DL (deformación grande en longitud) Bajo el efecto de una misma fuerza deformativa, la deformación es inversamente proporcional al área Como en la deformación de la materia está envuelta el área sobre la cual actúa la fuerza, hablamos de un esfuerzo deformativo (ED) en vez de una fuerza deformativa ED = F/A Se expresa en Nt/m²=Pascal, D/cm² y Lb/ft²

ELASTICIDAD Cuando hablamos de las deformaciones de la materia debemos tener en consideración que los objetos pequeños tienden a deformarse poco y los objetos grandes tienden a deformase mucho Las deformaciones son proporcionales a sus tamaños iniciales No podemos hablar de deformaciones como tal sino que hablamos de deformaciones relativas (DR) Deformaciones en relación a su tamaño inicial Como hay tres tipos de deformaciones mecánicas, hay tres tipos de deformaciones relativas deformación longitudinal relativa = DL/Lo Lo DL F

ELASTICIDAD deformación volumétrica relativa = DV/Vo Vo torsión = f = x/h (para cuerpos rectangulares) x (desplazamiento de una capa en relación a la base fija) h (separación entre los dos niveles) (Ángulo de torsión) [para ángulos pequeños tan f = fradianes = x/h] Vo DV F f

ELASTICIDAD Siempre y cuando el objeto no se deforme permanentemente podemos aplicar la Ley de Hooke haciendo uso de los cambios correspondientes en los términos “El esfuerzo deformativo (ED) es proporcional a la deformación relativa (DR)” Para deformaciones longitudinales F/A es proporcional a DL/Lo Para deformaciones volumétricas F/A es proporcional a DV/Vo Para torsiones F/A es proporcional a f (x/h) el esfuerzo deformativo se conoce como el “stress” mientras que la deformación relativa se conoce como el “strain” “stress” proporcional al “strain”

ELASTICIDAD El esfuerzo deformativo por unidad de deformación relativa es constante para un material en específico Se conoce como el módulo elástico Es el equivalente a la rigidez en el resorte Como hay tres tipos de deformaciones mecánicas, tienen que haber tres tipos de módulos elásticos Se requieren diferentes esfuerzos deformativos para producir cada una de estas deformaciones Módulos elásticos Módulo de Young E (para deformaciones longitudinales) Módulo volumétrico B (para deformaciones volumétricas) Módulo de torsión S (para torsiones) Se expresan en las mismas unidades que el esfuerzo deformativo ya que las deformaciones relativas no poseen unidades Nts/m²=Pa, D/cm² y Lbs/ft²

ELASTICIDAD De acuerdo a la lógica B > E > S Producir una deformación en las tres dimensiones debe requerir un esfuerzo deformativo mayor que producir una deformación en una dimensión Producir una deformación en una de las dimensiones debe requerir un esfuerzo deformativo mayor que deslizar una capa del material en relación a otra En una deformación volumétrica o longitudinal hay que vencer las fuerzas intermoleculares En una deformación por torsión no hay que vencer estas fuerzas: solo rotar unas moléculas del material en relación a las otras

ELASTICIDAD Comparación entre los diferentes módulos MATERIAL YOUNG (E) VOLUMÉTRICO (B) TORSIÓN (S) acero 20x10^10 Pa 16x10^10 Pa 7.5x10^10 Pa aluminio 7x10^10 Pa 2.5x10^10 Pa cobre 11x10^10 Pa 14x10^10 Pa 4.4x10^10 Pa hierro 21x10^10 Pa 16x10^10Pa 7.7x10^10 Pa Latón 9x10^10 Pa 6x10^10 Pa 3.5x10^10 Pa níquel 17x10^10 Pa 7.8x10^10 Pa plomo 1.6x10^10 Pa 4.1x10^10 Pa 0.6x10^10 Pa vidrio 5x10^10 Pa Los módulos tienen valores extremadamente grandes ya que representan el esfuerzo deformativo que se necesitaría para producir una unidad de deformación relativa

ELASTICIDAD Para analizar cada una de estas deformaciones usamos las ecuaciones F/A = E DL/Lo F/A = B DV/Vo F/A = S f = S (x/h) En el caso de las deformaciones longitudinales y volumétricas, la fuerza debe actuar perpendicular a la superficie (F┴A) En el caso de las deformaciones por torsión, la fuerza debe actuar paralela a la superficie (F║A)

ELASTICIDAD Comportamientos Elástico Plástico Ruptura Cuando el esfuerzo deformativo no sobrepasa el límite elástico Plástico Cuando el esfuerzo deformativo sobrepasa el límite elástico pero el sólido no se rompe Ruptura Cuando el esfuerzo deformativo sobrepasa el límite de ruptura Esfuerzo deformativo máximo que puede aguantar la materia sin que ésta se rompa También se conoce como fortaleza última

ED = [19,600/.00785) Nt/m² = 2.5E6 Nt/m² = 2.5 MPa ELASTICIDAD Ejemplo #1 Una viga de acero con un diámetro de 10 cm y una longitud de 2.5 m sostiene una carga de 2,000 kg. Determine: El esfuerzo deformativo sobre la columna ED = F/A  Y DR  Y DL/Lo F = Wt = mg = (2,000)(9.8) Nts = 19,600 Nts A = pd²/4 = p(.10)²/4 m² = 0.00785 m² ED = [19,600/.00785) Nt/m² = 2.5E6 Nt/m² = 2.5 MPa La deformación relativa DR = DL/Lo  ED/Y DR = (2.5E6)/(20E10) = 1.25E(-5)

DL = (DR)Lo  (FLo)/(AY) ELASTICIDAD La deformación de la columna DL = (DR)Lo  (FLo)/(AY) DL = [1.25E(-5)](2.5 m) = 3.12E(-5) m DL = - 0.0000312 m La longitud final de la columna Lf = Li + DL Lf = 2.5 + (-0.0000312) = 2.4999688 m La deformación relativa en términos de % % = (DL/Lo) x 100% = DR x 100% % = (.0000312/2.5)*100% = 0.00125%

DV = [6.07E(-7)] (.25x.60x.48) m³ = 4.37E(-8) m³ ELASTICIDAD Ejemplo #2 Un bloque rectangular de plomo con dimensiones de 25 cm x 60 cm x 48 cm se encuentra bajo una esfuerzo deformativo de 24,900 Nt/m². Calcule: su deformación relativa DR = DV/Vo  ED/B DR = 24,900/4.1E10) = 6.07E(-7) su deformación volumétrica DV = DR Vo  (FVo)/(AB) DV = [6.07E(-7)] (.25x.60x.48) m³ = 4.37E(-8) m³ La fuerza deformativa sobre la superficie mayor F = (ED) A  [(DR)(B)]A F = (24,900) (0.6x0.48) Nts = 7,200 Nts

ELASTICIDAD Ejemplo #3 Un bloque de aluminio de 10 cm de largo, 20 cm de ancho y 15 cm de alto experimenta una fuerza paralela a su superficie superior y la misma se desplaza 0.0037 cm. Calcule: su ángulo de torsión = x/h  ED/S = 0.0037/15 = 2.47E(-4) rad El esfuerzo deformativo sobre el bloque ED = S f  DR S ED = (2.5E10)(0.000247) Pa = 6,180 Pa La fuerza deformativa F = (ED) A  S f A F = (6,180) (0.1x0.2) Nts = 124 Nts