PROGRESIONES: Aritméticas y Geométricas

Progresión Aritmética y Progresión Geométrica También conocida como una sucesión, es un conjunto infinito de números ordenados que tienen un comportamiento común entre si. A los números que forman la sucesión se les llama términos y todas las sucesiones tienen un primer término seguido de otros que cumplen con una regla entre ellos. Una sucesión se puede representar mediante una expresión que permite conocer el valor de cada término sabiendo el lugar (n) que ocupa. Estudiaremos las más conocidas: Progresión Aritmética y Progresión Geométrica

Progresiones A) 1, 6, 11, 16… B) 45, 40, 35, 30 C) 10, 20, 40, 80… D) 24, 12, 6, 3 ¿Cuáles progresiones crecen y cuales decrecen? ¿Qué operaciones aritméticas corresponde a cada progresión?

Progresión Aritmética Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, en la que cualquier término es el resultado de sumar al anterior una cantidad constante (positiva o negativa), llamada diferencia común y se calcula como: Un término n - menos- el que le antecede

Progresión Aritmética Ej.1.- 1, 6, 11, 16… donde se observa que la cantidad constante que se suma es: 5 1 + 5 = 6 6 + 5 = 11 11 + 5 = 16 Ej.2.- y en 45, 42, 39, 36… se observa que la cantidad que se suma es: -3 45 - 3 = 42 42 - 3 = 39 39 - 3 = 36

Progresión Aritmética Una progresión finita es aquella que tiene un número determinado de términos. Una progresión infinita es aquella que tiene un número indefinido de términos.

Progresión Aritmética Para calcular el enésimo término de cualquier progresión aritmética utilizamos: Donde: l = último término n = número de términos a = primer término d = la diferencia común d n a l ) 1 ( - + =

Progresión Aritmética Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24 Veamos: El primer término (a) es 4 y la diferencia común (d) es 4, ya que 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4. El número de términos (n) es 6. Primer término: a = 4 Segundo término: a + d = 4 + 4 = 8 Tercer término: a + 2d = 4 + 2(4) = 12 Cuarto término: a + 3d = 4 + 3(4) = 16 Quinto término: a + 4d = 4 + 4(4) = 20 Sexto término: a + 5d = 4 + 5(4) = 24

Progresión Aritmética Primer Término a Diferencia común d Valor del 8° término l Clasificación de la progresión 12, 18, 24, 30, 36 -3, -3/2, 0, 3/2, 3, 9/2 … 2, 6, 10, 14, 18, 22 ½, 1, 1 ½, 2 ...

Progresión Aritmética Además la suma de los n primeros términos de este tipo de sucesiones se puede calcular como:                          Donde: S = suma de los n términos l = último término n = número de términos a = primer término 2 ) ( a n S + l =

Progresión Geométrica Es una sucesión de números llamados términos, de tal forma que cada uno de ellos, después del primero, se obtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante (entero o fracción, positiva o negativa)  llamada razón común.

Progresión Geométrica Sea la progresión 6/3, 12/3, 24/3… La razón común es r = 2, dado que: (6/3) 2 = 12/3 (12/3) 2 = 24/3 Los elementos de una progresión geométrica son: a = primer término r = la razón común l = último término o enésimo término n = número de términos

Progresión Geométrica Para calcular el enésimo término tenemos: Donde : a = primer término r = la razón común l = último término o enésimo término n = número de términos 1 - = n r a l

Progresión Geométrica La suma de los n primeros términos se podría calcular como: Cuando r = 1 r - a l S - = r 1

Progresiones: Interés Simple Es el rendimiento que da un capital invertido durante un tiempo determinado, invertido a una tasa de interés dada… . Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco paga intereses. Dependiendo de que se retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llama simple si se retiran, compuesto si se dejan en el banco. Ejemplo: ¿En cuánto se convierte un capital de Bs 1.600.000 al 10 % en dos años a interés simple?

Progresiones INTERÉS SIMPLE. El interés total es: 1.600.000 x 0,1 = Bs 160.000 Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo: Bs 1.600.000. En el segundo año, el capital vuelve a producir otros Bs 160.000. En los dos años el interés producido es: 160.000 + 160.000 = Bs 320.000. Por tanto, el capital se convierte en los dos años en: 1.600.000 + 320.000 = Bs 1.920.000

( ) Interés Simple t i C M + = 1 Se puede obtener directamente el interés en los dos años: M = 1.600.000 x 0,1 x 2 = Bs 320.000 En general, si: M es el monto producido después de un tiempo. C es el capital, i es la tasa de interés anual y t es el tiempo en años, entonces el monto generado con interés simple es: ( ) t i C M + = 1

Interés Compuesto Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto, a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto. El intervalo al final del cual capitalizamos el interés, recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

Interés Compuesto Cuatro conceptos son importantes en el interés compuesto: El capital original (C o VA) La tasa de interés por período (i ) El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n). El número de veces por año en los que los intereses se capitalizan, se llama Frecuencia de Capitalización (k). Si el período de capitalización de intereses es mensual, entonces las expresiones siguientes son equivalentes: "el interés es capitalizable mensualmente", "es convertible mensualmente“ o "es compuesto mensualmente“.

Interés Compuesto M = C ( 1 + i ) j i = --- k M = C + I n Donde: M = valor futuro C = valor original o actual n = número de capitalizaciones en el período de inversión i = tasa por período J = tasa nominal (tasa anual) j i = --- k M = C + I

Interés Compuesto Con el interés compuesto, pagamos o ganamos no sólo sobre el capital inicial sino también sobre el interés acumulado,  en contraste con el interés simple que sólo paga o gana intereses sobre el capital inicial.