Generación de variables aleatorias SIMULACION DE SISTEMAS Generación de variables aleatorias Mg. Samuel Oporto Díaz

Temario Fecha S Temario LB PC Trabajo Final M 05/may 1   Fecha S Temario LB PC Trabajo Final M 05/may 1 Modelado y simulación 12/may 2 Formulación del problema 5% 19/may 3 Proyectos de simulación PC1 26/may 4 Generación de Números Aleatorias LB1 02/jun 5 Generación de Variables Aleatorias Descripción del sistema 10%  09/jun 6 Simulación por eventos PC2 16/jun 7 Colas con un servidor LB2 Modelo de colas 20%  23/jun 8 Colas con servidores en serie PARCIAL 30/jun 9 Colas con servidores en paralelo  LB3 Análisis de datos 20% 07/jul 10 Simulación de Inventarios PC3 14/jul 11 Modelo en arena 21/jul 12 LB4 28/jul 13 Simulación de Sistemas complejos PC4 04/ago 14 Exposición Final 25% 11/ago 15 FINAL

Objetivo Exponer las técnicas para la generación de variables aleatorias.

Tabla de Contenido Método de la transformada inversa

Mapa Conceptual del Curso Modelado y Simulación Proyectos Generación Valores de Variables Aleatorias por Eventos Sistema de Colas con Servidores en Serie Un servidor Sistemas de Colas con Servidores en Paralelo Sistemas de Inventarios Revisión Periódica Sistemas de Inventarios Punto de Repedido Sistemas Complejos: Cadena de Almacenes Sistemas Complejos: Cadena de Producción

Generación de Variables Aleatorias Mapa Conceptual Xi+1=(aXi+c) mod m Números Aleatorios Validación de Series de NA Parámetros Variables U (0,1) Generación de Variables Aleatorias

Motivaciones Las fuentes de aleatoriedad tienen diferentes distribuciones de probabilidad. No necesariamente todas las distribuciones son uniformes. Es necesario generar números con distribuciones de probabilidad particulares. Intuitivamente las Variables Aleatorias se generan desde los Números Aleatorios.

Métodos Método de la Transformada Inversa

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

Transformada Inversa Sea f(x) la distribución a generar. Utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución f(x). F(x)  (0-1) F(x) = R x = F-1 (R) Dificultad: Algunas veces es difícil encontrar la transformada inversa

Transformada Inversa x F(x) R x = F-1(R) x f(x) x Distribución uniforme F(x) R x = F-1(R) x f(x) x x

Ejemplo 1 λ e-λx si x ≥ 0 0 si x ≥ 0 f(x) = F(x) = ∫λ e-λt dt = 1 - e-λx Integral de 0 a x R = 1 - e-λx e-λx = 1 – R e-λx = 1 - R x = - 1/λ ln R R y 1 – R tienen una distribución uniforme Por lo que es indistinto usarlos

Ejemplo 2 1 . b - a si a ≤ x ≤ b si a > x > b f(x) = 1 . b - a 1 . b - a si a ≤ x ≤ b si a > x > b f(x) = 1 . b - a x - a. b - a F(x) = ∫ dt = x - a. b - a = R x = a + (b – a) R

Ejemplo 3 Diseñar un generador de variables aleatorias para: e-55x x! Se trata de una distribución Poisson

Generando la distribución de frecuencias de la VA obtenida Ejemplo 3 Calculando la distribución de probabilidad y la distribución acumulada. Generando 50 números aleatorios distribuidos uniformemente y buscando en P(X < x) Generando la distribución de frecuencias de la VA obtenida

Ejercicio 4 Diseñar un programa en EXCEL para generar VA con distribución: Poisson Uniforme Exponencial Normal Empírica

Ejercicio 5 Para la siguiente distribución de probabilidad f(x)= ⅔x , si 0 ≤ x < 1 ⅔ , si 1 ≤ x < 1½ 1⅔ - ⅔x , si 1½ ≤ x < 2½ 1 ½ 1½ 2 2½ ⅔ x f(x )

Ejercicio 5 Calcular: La función de distribución acumulada (defina esta función por cada rango), apoye sus resultados con una gráfica. La función para generar valores aleatorios, dado una variable aleatoria R con distribución uniforme. Generar 10 valores de la variable aleatoria para los siguientes números aleatorios. 0.8191 0.7084 0.4739 0.3617 0.0511 0.9358 0.3175 0.7858 0.6605 0.6238

Ejercicio 5