Grupo de Modelamiento de Sistemas PARTE III: MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOABLES Y MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Grupo de Modelamiento de Sistemas Ingeniería Civil UdeA
Matriz de rigidez en coordenadas globales Como ya se explicó antes, es poco práctico trabajar con matrices en coordenadas locales debido a las diferentes inclinaciones que pueden tener los diversos elementos de la misma. Es posible demostrar que:
Matriz de rigidez en coordenadas globales Pre-multiplicando (2) por la inversa de [T] se obtiene: Sustituyendo (3) en {f}=[k]{u}, se obtiene: Sustituyendo (4) en (1): Tomando en cuenta que se obtiene (6)
Matriz de rigidez en coordenadas globales Partiendo de la expresión anterior, y de las ecuaciones de transformación de coordenadas y de las matrices de rigidez en coordenadas locales, se calcula la matriz de rigidez en coordenadas globales.
Matriz de rigidez en coordenadas globales Armaduras planas
Matriz de rigidez en coordenadas globales Pórticos planos
Matriz de rigidez de la estructura En el análisis de la rigidez los grados de libertad se localizan en los nudos. Si se considera una estructura reticular, al aplicar un desplazamiento unitario a uno de sus nodos, se tendrá que la rigidez del mismo es igual a la que le aportan cada uno de los elementos que llegan a él, considerados en forma separada. Cada término de la matriz de rigidez de la estructura se puede calcular directamente evaluando los extremos de las barras y sumando las rigideces con que contribuye cada uno de ellos
Generación de la Matriz de rigidez de la estructura Numerar los nudos y los elementos Definir el sistema de coordenadas local para cada elemento y local para la estructura. Definir los grados de libertad de la estructura y numerarlos. Es conveniente en cálculos manuales numerar primero los grados libres y dejar de último los grados restringidos o lo contrario. Debe evitarse mezclar la numeración.
Generación de la Matriz de rigidez de la estructura Ensamblar las matrices de rigidez de todos los elementos en coordenadas globales e identificar en ellas el número de grados de libertad a que corresponden cada uno de sus términos. Ensamblar la matriz de rigidez total trasladando uno a uno los términos de las matrices de rigidez de los elementos.
Ejemplo Resuelva la estructura mostrada. El material es acero estructural con E=200 KN/mm2. Las áreas están dadas entre paréntesis en mm2.
Programación en Matlab
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Referencias URIBE, Escamilla Jairo. Análisis de estructuras. Segunda edición. Editorial ECOE. Bogotá. Año 2000. ROCHEL, Awad Roberto. Análisis matricial de estructuras. Texto editado por la Universidad EAFIT en el año de 1993. KASSIMALI, Aslam. Análisis Estructuras. Editorial Thompson. Segunda Edición.2004. McCORMAC, Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega. Primera edición. 1999
Referencias LEET, Kenneth. UANG-CHIA, Ming. GILBERT, Anne M. Fundamentos de Análisis Estructural. Editorial McGraw-Hill. Segunda edición. 2006 McCORMAC, Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega. Tercera edición.2006 HIBBELER, Russell. Structural Analysis. Editorial Pearson. Séptima Edición. 2009.