Control de Sistemas en Tiempo Discreto Análisis y Proyecto en Espacio de Estado Profesor Responsable: Dr. Ing. Fernando Botterón Curso de Posgrado – Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Misiones

Representación de Espacio de Estados de Sistemas Discretos Se describe por un sistema de n ecuaciones diferencia. Combinadas en una ecuación diferencia vector-matriz. El método de espacio de estado posibilita la inclusión de las condiciones iniciales. Conceptos Estado: Variables de Estado: Vector de Estados: Ecuaciones de Espacio de Estado:

Representación de Espacio de Estados de Sistemas Discretos Para sistemas discretos lineales o no lineales y variantes en el tiempo: Para sistemas discretos lineales y variantes en el tiempo:

Representación de Espacio de Estados de Sistemas Discretos Para sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo:

Solución de la Ecuación de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Para sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo: Por recursividad: De forma genérica:

Solución de la Ecuación de Espacio de Estado en Tiempo Discreto La ecuación de salida resulta: Método de la transformada Z:

Matriz Función Transferencia Discreta Tomando la transformada Z de (1) y (2): La ecuación de salida resulta: Matriz FT Discreta Polinomio Característico, donde los ai dependen de los parámetros de G.

Discretización de ecuaciones de Espacio de Estado en tiempo continuo Aproximación de Euler

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Sistema SISO LIT modelado por la siguiente ec. de espacio de estados (1) Solución de (1) está dada por: (2) Se asume que: En tiempo discreto, (1) resulta: (3)

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Utilizamos la (2) para obtener la solución de la ec. de estado discreta: to = 0 y en t = (k+1)T, se tiene: to = 0 y en t = (kT), se tiene: Se llega a la siguiente expresión:

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto La última se puede escribir: donde: Haciendo un cambio de variables l = (T - t), la matriz H resulta: A-1 debe poseer inversa para la solución de H

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Cálculo de eAT por expansión en serie de Taylor: Cálculo de eAT por la Transformada de Laplace: siendo:

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Si se cumple que: Sustituyéndose en la (3) los resultados anteriores para G y H: Se obtiene finalmente el mismo resultado que utilizando Euler: Con Matlab: ZOH

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación Se puede extender el análisis realizado anteriormente, utilizando la ecuación (2), para modelar el atraso de implementación Td: 1°) entre los instantes donde se aplica u[(k−1)T], t0 = kT y t = (kT + Td): (4) 2°) entre los instantes donde se aplica u(kT), t0 = (kT + Td) y t = (k+1)T : (5) Sustituyendo (4) en (5) y mediante simplificaciones, se llega a:

La ec. de estado que incluye el atraso de implementación digital, resulta:

Modelos de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Diferentes Estrategias de Muestreo - 2 muestras x periodo de conmutación

Modelos de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Diferentes Estrategias de Muestreo - Promedio de 2 muestras

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras Solución de la ecuación de espacio de estado (2) en el intervalo de discretización Tm, incluyéndose el atraso de implementación Td = T/2 1°) La ec. de espacio de estado discreta para este caso es: (1) 2°) El promedio de 2 muestras en el instante kT, es: (2) 3°) El promedio de 2 muestras en el instante (k+1)T, es: (3) Usamos la (1) para obtener la evolución de los estados entre instantes de muestreo:

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras 4°) La evolución de los estados entre kT y (k+T/2) está dada por: (4) 5°) La evolución de los estados entre (k+T/2) y (k+1)T está dada por: (5) 6°) Utilizado la ecuación (3) obtenemos: Sustituyéndose (4) en la última ecuación, se llega a: (6)

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras Debe relacionarse x(kT) con x(kT) promedio, la que resulta: Finalmente, reemplazándose esta última en la (6), obtenemos:

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras Las matrices útiles para el proyecto de realimentación de estados: (7) (8) (9)

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras Resultados experimentales que validan el modelo presentado Muestras Muestras Tensión en el capacitor del filtro LC Corriente en el inductor del filtro LC

Diseño en Espacio de Estado: u(kT) escalar y no limitada Reubicación de Polos Se asume: - Todas las variables de estado son medibles. - Todas las variables de estado están disponibles para su realimentación Ubicaciones deseadas de polos de lazo cerrado: - Obtenidas en base a especificaciones de desempeño transitorio y al periodo de muestreo T. u(kT) escalar y no limitada

Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos Si se elige a u(k) = -K × x(k): Diseñar K para la estabilidad asintótica y especificaciones deseadas. Hay diferentes métodos.

Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos + Referencia u(k) = K0 r(k) - K x(k) Diseñar K para la estabilidad asintótica y especificaciones deseadas. Diseñar K0 para eliminar el error de régimen estacionario.

Diseño en Espacio de Estado: Sistema de Seguimiento - Servo u(k) = K1 v(k) - K x(k) Diseñar las matrices de ganancias K1 y K2 para: estabilidad asintótica; especificaciones transitorias deseadas.