08/06/02Jorge Baralt-Torrijos1 Teoría de Conjuntos (IV) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Junio 2002

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos2 Contenido Políadas Relaciones Funciones Operaciones

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos3 Políadas

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos4 Df. EsParOrd EsParOrd(x) =a  y  z (x = Par(SucZ(y))(Par(y)(z))) EsParOrd(x) =s x es un par ordenado

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos5 Df. Prm EsParOrd(x)  [Prm(x) =a  y  z (Par(SucZ(y))(Par(y)(z)) Prm(x) =s el primer elemento de x]

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos6 Df. Sgd EsParOrd(x)  [Sgd(x) =a  y  z (Par(SucZ(z))(Par(y)(z)) Sgd(x) =s el segundo elemento de x]

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos7 Df. ParOrd EsParOrd(x)  y = Prm(x)  z = Sgd(x)  [ParOrd(y)(z) =a Par(SucZ(y))(Par(y)(z))  y,z  =a ParOrd(y)(z)]

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos8 Ts. ParOrd EsParOrd(x)  x =  Prm(x),Sgd(x)   a,b  =  c,d   (a = c  b = d)  a,b  =  b,a   a = b EsElemento(  a,b  ) EsConjunto(  a,b  )

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos9 Df. ParInv EsParOrd(x)  [ParInv(x) =a  Sgd(x),Prm(x)  ParInv(x) =s el par inverso de x]

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos10 Ts. ParInv EsParOrd(x)  EsParOrd(ParInv(x)) EsParOrd(x)  ParInv(ParInv(x)) = x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos11 Df. ParSubyac EsParOrd(x)  [ParSubyac(x) =a Union(x) ParSubyac(x) =s el par subyacente de x]

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos12 Ts. ParSuyac EsParOrd(x)  ParSubyac(ParInv(x)) = ParSubyac(x)

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos13 Df. EsPoliAdi EsPoliAdi(n)(x) =a (¬ EsParOrd(x)  n = 1)  (EsParOrd(x)  (  k)(EsPoliAdi(k)(Prm(x))  n =Suc(k)) ) EsPoliAdi(n)(x) =s x es una políada de adicidad n

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos14 Ts. EsPoliAdi ¬ EsParOrd(a)  EsPolAdi(1)(a)  EsPolAdi(2)(  a,b  )  EsPolAdi(3)(  a,b ,c  )  …

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos15 Políadas de adicidad n  x 1  =a x 1  x 1,x 2  =  x 1 ,x 2   x 1,x 2,x 3  =a  x 1,x 2 ,x 3 ...  x 1,x 2,…,x n  =a  x 1,x 2 ,…,x n 

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos16 Relaciones

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos17 Ax. de Producto Cartesiano  x (EsAgregado(x)   y (y  x   z  u (z  v  u  w  y =  z,u  )))

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos18 Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Fundamentación 3. Diferencia 4. Apareamiento 5. Unión 6. Producto Cartesiano

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos19 Df. PrC PrC(x)(y) =a {z :  u  v (u  x  v  y  z =  u,v  )} PrC(x)(y) =s el producto cartesiano por x de y

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos20 Ts. PrC EsClase(PrC(X)(Y)) X  PrC(X)(X)  X = 0 EsInicial(x)  PrC(x)(y) = 0 EsInicial(y)  PrC(x)(y) = 0

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos21 Ax. de Rotación  x (EsAgregado(x)   y (y  x  z  u  v (y =  v,z,u   z,u,v   x)))

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos22 Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Fundamentación 3. Diferencia 4. Apareamiento 5. Unión 6. Producto Cartesiano 7. Rotación

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos23 Df. Rot Rot(x) =a {y :  z  u  v (y =  v,z,u   z,u,v   x)} Rot(x) =s la rotación de x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos24 Ts. Rot EsClase(Rot(X))  y  n (y  x  EsPolAdi(n)(y)  n  3)  Rot(x) = 0 EsInicial(x)  Rot(x) = 0

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos25 Ax. de Transposición  x (EsAgregado(x)   y (y  x   z  u  v (y =  u,z,v   z,u,v   x)))

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos26 Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Fundamentación 3. Diferencia 4. Apareamiento 5. Unión 6. Producto Cartesiano 7. Rotación 8. Transposición

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos27 Df. Trp Trp(x) =a {y :  z  u  v (y =  u,z,v   z,u,v   x)} Trp(x) =s la transposición de x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos28 Ts. Trp EsClase(Trp(X))  y  n (y  x  EsPolAdi(n)(y)  n  3)  Trp(x) = 0 EsInicial(x)  Trp(x) = 0

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos29 Ax. de Dominio  x (EsAgregado(x)   y (y  x   z (z  u  EsParOrd(z)  y = Prm(z))) )

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos30 Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Fundamentación 3. Diferencia 4. Apareamiento 5. Unión 6. Producto Cartesiano 7. Rotación 8. Transposición 9. Dominio

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos31 Df. Dom Dom(x) =a {y :  z (z  x  EsParOrd(z)  y = Prm(z))} Dom(x) =s el dominio de x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos32 Ts. Dom EsClase(Dom(X))  y (y  x  ¬ EsParOrd(y))  Dom(x) = 0 EsInicial(x)  Dom(x) = 0

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos33 Df. Inv Inv(x) =a Dom(Trp(PrC(x)(x))) Inv(x) =s la inversa de x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos34 Ts. Inv EsClase(Inv(X))  y (y  x  ¬ EsParOrd(y))  Inv(x) = 0 EsInicial(x)  Inv(x) = 0

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos35 Df. Rng Rng(x) =a Dom(Inv(x)) Rng(x) =s el rango de x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos36 Df. Cmp Cmp(x) =a Un(Rng(x))(Dom(x)) Cmp(x) =s el campo de x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos37 Df. Nucleo Nucleo(x) =a Inv(Inv(x)) Nucleo(x) =s el núcleo de x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos38 Ts. Nucleo EsAgregado(Nucleo(x))  y (y  x  ¬ EsParOrd(y))  Nucleo(x) = 0 EsInicial(x)  Nucleo(x) = 0

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos39 Df. EsRelacion EsRelacion(x) =a x = Nucleo(x) EsRelacion(x) =s x es una relación

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos40 Ts. EsRelacion EsRelacion(0) EsRelacion(x)  EsInicial(x)  x = 0 EsIndividuo(x)  ¬ EsRelacion(x) EsRelacion(Inv(x)) EsRelacion(Nucleo(x))

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos41 Ts. Núcleo Inv(x) = Inv(Nucleo(x)) Dom(x) = Dom(Nucleo(x)) Rng(x) = Rng(Nucleo(x)) Cmp(x) = Cmp(Nucleo(x))

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos42 Df. PtC PtC(1)(x) =a Dom(PrC(x)(x)) PtC(Suc(Suc(n)))(x) =a PrC(PtC(Suc(n))(x))(x) PtC(Suc(n))(x) =s la potencia cartesiana Suc(n) de x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos43 Df. RstrI RstrI(y)(x) =a {z : EsParOrd(z)  z  x  Prm(z)  y)} RstrI(y)(x) =s la restricción izquierda en y de x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos44 Df. RstrD RstrD(y)(x) =a Inv(RstrI(y)(Inv(x))) RstrD(y)(x) =s la restricción derecha de x en y

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos45 Df. Rstr Rstr(y)(x) =a Intsc(RstrD(y)(x))(RstrI(y)(x)) Rstr(y)(x) =s la restricción de x en y

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos46 Df. Img Img(y)(x) =a Rng(RstrI(x)(y)) Img(y)(x) =s la imagen de x según y

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos47 Funciones

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos48 Df. DomS DomS(x) =a {y :  z (z  x  EsParOrd(z)  y = Prm(z))} DomS(x) =s el dominio de singularidad de x

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos49 Ts. DomS DomS(x)  Dom(x) y  DomS(x)   z (  x) DomS(x) = DomS(Nucleo(x))

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos50 Df. Ap  z (  x)  [Ap(x)(y) =a  z (  x) Ap(x)(y) =s la aplicación de x a y x(y) =a Ap(x)(y)]

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos51 Df. EsUnvc EsUnvc(y)(x) =a Intsc(y)(Dom(x))  DomS(x) EsUnvc(y)(x) =s x es unívoco en y

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos52 Ts. EsUnvc EsUnvc(Dom(x))(x)  DomS(x) = Dom(x) EsUnvc(x)(0)

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos53 Df. EsFuncion EsFuncion(x) =a EsRelacion(x)  EsUnvc(Dom(x))(x) EsFuncion(x) =s x es una función

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos54 Ts. Funcion EsFuncion(x)  DomS(x) = Dom(x)

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos55 Operaciones

08/06/02Jorge Baralt-Torrijos56 Df. EsOperacion EsOperacion(x) =a EsFuncion(x)  EsRelacion(Dom(x)) EsOperacion(x) =s x es una operación